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Développements limités

Aimé Lachal

Cours de mathématiques

1 ercycle, 1reannée

Sommaire

1Formule de Taylor-Young

Rappels

Énoncé

Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young

Cas des fonctions usuelles

2Développements limités

DL en un point

DL en l"infini

Cas particulier des DL

0et DL1Quelques propriétés

Opérations

Sommaire

1Formule de Taylor-Young

Rappels

Énoncé

Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young

Cas des fonctions usuelles

2Développements limités

1. Formule de Taylor-Younga) Rappels

Rappels

Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un

voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.Plus précisément, on a même

festnnnfois dérivable enx0x0x0

=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,

au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0.En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une

fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.1

1. Formule de Taylor-Younga) Rappels

Rappels

Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un

voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.Plus précisément, on a même

festnnnfois dérivable enx0x0x0

=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,

au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0.En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une

fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.1

1. Formule de Taylor-Younga) Rappels

Rappels

Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un

voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.Plus précisément, on a même

festnnnfois dérivable enx0x0x0

=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,

au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0.En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une

fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.1

1. Formule de Taylor-Younga) Rappels

Rappels

Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un

voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.Plus précisément, on a même

festnnnfois dérivable enx0x0x0

=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,

au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0.En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une

fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.1

1. Formule de Taylor-Younga) Rappels

Rappels

Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un

voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.Plus précisément, on a même

festnnnfois dérivable enx0x0x0

=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,

au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0.En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une

fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.1

1. Formule de Taylor-Youngb) Énoncé

Théorème 1.1 (Formule de Taylor-Young à l"ordrennn)Soitx02Retfune fonction définie sur un voisinage dex0.

Sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors

f(x) =x!x0f(x0)+f0(x0)(xx0)+f00(x0)2 (xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o(xx0)n x!x0n X k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+o(xx0)n:Autre formulation :en posanth=xx0, f(x0+h) =h!0f(x0) +f0(x0)h+f00(x0)2 h2++f(n)(x0)n!hn+ohn h!0n X k=0f (k)(x0)k!hk+ohn:Exemple 1.2 (Formule de Taylor-Young aux ordres 1 et 2)

1Ordre1:sifestdérivable enx0x0x0, alors

f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +o(xx0):2Ordre2:sifestdeux fois dérivable enx0x0x0, alors f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +f00(x0)2 (xx0)2+o(xx0)2:2

1. Formule de Taylor-Youngb) Énoncé

Théorème 1.1 (Formule de Taylor-Young à l"ordrennn)Soitx02Retfune fonction définie sur un voisinage dex0.

Sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors

f(x) =x!x0f(x0)+f0(x0)(xx0)+f00(x0)2 (xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o(xx0)n x!x0n X k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+o(xx0)n:Autre formulation :en posanth=xx0, f(x0+h) =h!0f(x0) +f0(x0)h+f00(x0)2 h2++f(n)(x0)n!hn+ohn h!0n X k=0f (k)(x0)k!hk+ohn:Exemple 1.2 (Formule de Taylor-Young aux ordres 1 et 2)

1Ordre1:sifestdérivable enx0x0x0, alors

f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +o(xx0):2Ordre2:sifestdeux fois dérivable enx0x0x0, alors f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +f00(x0)2 (xx0)2+o(xx0)2:2

1. Formule de Taylor-Youngb) Énoncé

Théorème 1.1 (Formule de Taylor-Young à l"ordrennn)Soitx02Retfune fonction définie sur un voisinage dex0.

Sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors

f(x) =x!x0f(x0)+f0(x0)(xx0)+f00(x0)2 (xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o(xx0)n x!x0n X k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+o(xx0)n:Autre formulation :en posanth=xx0, f(x0+h) =h!0f(x0) +f0(x0)h+f00(x0)2 h2++f(n)(x0)n!hn+ohn h!0n X k=0f (k)(x0)k!hk+ohn:Exemple 1.2 (Formule de Taylor-Young aux ordres 1 et 2)

1Ordre1:sifestdérivable enx0x0x0, alors

f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +o(xx0):2Ordre2:sifestdeux fois dérivable enx0x0x0, alors f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +f00(x0)2 (xx0)2+o(xx0)2:2

1. Formule de Taylor-Youngb) Énoncé

Théorème 1.1 (Formule de Taylor-Young à l"ordrennn)Soitx02Retfune fonction définie sur un voisinage dex0.

Sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors

f(x) =x!x0f(x0)+f0(x0)(xx0)+f00(x0)2 (xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o(xx0)n x!x0n X k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+o(xx0)n:Autre formulation :en posanth=xx0, f(x0+h) =h!0f(x0) +f0(x0)h+f00(x0)2 h2++f(n)(x0)n!hn+ohn h!0n X k=0f (k)(x0)k!hk+ohn:Exemple 1.2 (Formule de Taylor-Young aux ordres 1 et 2)

1Ordre1:sifestdérivable enx0x0x0, alors

f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +o(xx0):2Ordre2:sifestdeux fois dérivable enx0x0x0, alors f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +f00(x0)2 (xx0)2+o(xx0)2:2

1. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young

Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur

]x0;x[]x0;x[]x0;x[(ou plus simplement sifest(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur[x0;x][x0;x][x0;x]), alors

9t2]0;1[;f(x) =nX

k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f

(k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0:Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange

(f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuvent

être "très» éloignés);

la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).3

1. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young

Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur

]x0;x[]x0;x[]x0;x[(ou plus simplement sifest(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur[x0;x][x0;x][x0;x]), alors

9t2]0;1[;f(x) =nX

k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f

(k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0:Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange

(f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuvent

être "très» éloignés);

la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).3

1. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young

Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur

]x0;x[]x0;x[]x0;x[(ou plus simplement sifest(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur[x0;x][x0;x][x0;x]), alors

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k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f

(k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0:Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange

(f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuvent

être "très» éloignés);

la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).3

1. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young

Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur

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k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f

(k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0:Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange

(f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuvent

être "très» éloignés);

la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).3

1. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young

Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur

]x0;x[]x0;x[]x0;x[(ou plus simplement sifest(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur[x0;x][x0;x][x0;x]), alors

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k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f

(k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0:Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange

(f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuvent

être "très» éloignés);

la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).3

1. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles

Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2

Pour tout2R,

(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)

11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)

11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)

ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)4

1. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles

Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2

Pour tout2R,

(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)

11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)

11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)

ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)4

1. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles

Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2

Pour tout2R,

(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)

11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)

11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)

ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)4

1. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles

Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2

Pour tout2R,

(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)

11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)

11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)

ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)4

1. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles

Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2

Pour tout2R,

(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)

11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)

11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)

ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)4

1. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles

Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2

Pour tout2R,

(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)

11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)

11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)

ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)4

Sommaire

1Formule de Taylor-Young

2Développements limités

DL en un point

DL en l"infini

Cas particulier des DL

0et DL1Quelques propriétés

Opérations

2. Développements limitésa) DL en un point

Définition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).

On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n:

Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).Autre formulation : en posanth=xx0,

f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)

La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DL

n(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n.Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera

rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que les propriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.5

2. Développements limitésa) DL en un point

Définition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).

On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n:

Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).Autre formulation : en posanth=xx0,

f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)

La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DL

n(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n.Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera

rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que les propriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.5

2. Développements limitésa) DL en un point

Définition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).

On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n:

Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).Autre formulation : en posanth=xx0,

f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)

La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DL

n(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n.Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera

rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que les propriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.5

2. Développements limitésa) DL en un point

Définition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).

On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n:

Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).Autre formulation : en posanth=xx0,

f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)

La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DL

n(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n.Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera

rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que les propriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.5

2. Développements limitésa) DL en un point

Définition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).

On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n:

Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).Autre formulation : en posanth=xx0,

f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)

La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DL

n(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n.Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera

rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que les propriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.5

2. Développements limitésb) DL en l"infini

Remarque 2.3 (Développement limité en l"infini) Étant donnée une fonctionfdéfinie au voisinage de1, le changement de variable X=1=xpermet d"obtenirun développement limité defffen l"infinià partir d"un DL n(0)def(1=x), c"est-à-dire une écriture valable au voisinage de l"infini de la forme f(x) =x!1a0+a1x +a2x

2++anx

n+o1x n :Exemple 2.4 (Développement asymptotique et asymptote) Si une fonctiongdéfinie au voisinage de l"infini est telle queg(x)=xadmette un DL

2(1)de la formea0+a1x

+a2x 2+o1x 2 , on peut écrire g(x) =x!1a0x+a1+a2x +o1x :Cette écriture est appeléedéveloppement limité généraliséoudéveloppement

asymptotiqueet met en évidence uneasymptotepourgd"équationy=a0x+a1.De plus le signe du coefficienta2indique laposition localeau voisinage de1de

la courbe représentative degpar rapport à cette asymptote.Par exemple, au voisinage de+1, sia2>>>0 (resp.a2<<<0), alors la courbe est

au-dessus(resp.au-dessous) de son asymptote.6

2. Développements limitésb) DL en l"infini

Remarque 2.3 (Développement limité en l"infini) Étant donnée une fonctionfdéfinie au voisinage de1, le changement de variable X=1=xpermet d"obtenirun développement limité defffen l"infinià partir d"un DL n(0)def(1=x), c"est-à-dire une écriture valable au voisinage de l"infini de la forme f(x) =x!1a0+a1x +a2x

2++anx

n+o1x n :Exemple 2.4 (Développement asymptotique et asymptote) Si une fonctiongdéfinie au voisinage de l"infini est telle queg(x)=xadmette un DL

2(1)de la formea0+a1x

+a2x 2+o1x 2 , on peut écrire g(x) =x!1a0x+a1+a2x +o1x :Cette écriture est appeléedéveloppement limité généraliséoudéveloppement

asymptotiqueet met en évidence uneasymptotepourgd"équationy=a0x+a1.De plus le signe du coefficienta2indique laposition localeau voisinage de1de

la courbe représentative degpar rapport à cette asymptote.Par exemple, au voisinage de+1, sia2>>>0 (resp.a2<<<0), alors la courbe est

au-dessus(resp.au-dessous) de son asymptote.6

2. Développements limitésb) DL en l"infini

Remarque 2.3 (Développement limité en l"infini) Étant donnée une fonctionfdéfinie au voisinage de1, le changement de variable X=1=xpermet d"obtenirun développement limité defffen l"infinià partir d"un DL n(0)def(1=x), c"est-à-dire une écriture valable au voisinage de l"infini de la forme f(x) =x!1a0+a1xquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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