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AN13

Développements limités

Version du 07-10-2022 à 08:05

1. Idée directrice des développ ementslimités Introduction - D"une somme géométrique à une approximation polynomiale Pour toutx̸= 1, on sait que :1 +x+x2+x3+x4=1-x51-x =11-x-x51-x qui donne :∀x̸= 1,11-x|{z} f(x)= 1 +x+x2+x3+x4|{z} expression poynomialeP(x)+ x51-x|{z} " Écart » entre

CfetCP.

On constate que :∀x̸= 1,11-x= 1 +x+x2+x3+x4+x4×x1-x|{z} -→x→00 |{z} -→x→00 |{z}

L"écart entreCfetCg

tend vers0lorsquextend vers0

On vient donc d"obtenir :∀x̸= 1,11-x= 1 +x+x2+x3+x4+x4×ε(x)oùε(x)-→x→00.

En généralisant on a :∀x̸= 1,11-x= 1 +x+x2+...+xn+xn×ε(x)oùε(x)-→x→00etn∈N.

Les courbes représentatives des fonctionsx7-→11-xetx7-→1+x+...+xnont tendance à se " rapprocher » plus

nest grand :xy -10112 n= 1xy -10112 n= 2xy -10112 n= 3xy -10112 n= 4xy -10112 n= 7xy -10112 n= 12On peut dire que1+x+...+xnest une " bonne » approximation polynomiale au voisinage de0de11-x.□

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Version du 07-10-2022 à 08:051

2.Développ ementlimité en 0d"une fonctionContexte

Dans ce paragraphe et sauf mention contraire,Idésigne un intervalle deRtel que0∈Iou est une borne finie deI,

et on considèref:I-→Retn∈N. On s"intéresse ainsi au " comportement » defau voisinage de 0. □Définition 1 - Développement limité en 0 On dit quefadmet un développement limité d"ordre nen 0, en abrégéDLn(0), lorsqu"il existe un poly-

Partie régulière

duDLn(0)+ox→0(xn)Lorsque ce développement limité existe, il est unique et c"est dans ce cas la meilleure approximation polynomiale de

degréndefau voisinage de0.Illustration

Donner le...

DL

4(0)dex7-→11-x.Dans l"exemple introduction, on a vu que, pour toutx̸= 1,

11-x= 1 +x+x2+x3+x4+ox→0x4

|{z} C"est le développement limité en0à l"ordre 4 recherché□

Théorème 1 - Développement limité en 0 dex7-→11-xLeDLn(0)de la fonctionx7-→11-xest :1

1-x= 1 +x+x2+x3+...+xn+ox→0(xn)

nX k=0x k! +ox→0(xn)Composition dans un développement limité Siuest une fonction définie sur un voisinage dea et telle queu(x)-→x→a0,alorson a : 1

1-u(x)=1 +u(x) +u(x)2+

...+ (u(x))n+ox→a((u(x))n)Développement limité en0dex7-→11 +xLeDLn(0)de la fonctionx7-→11 +xest :1

1 +x= 1-x+x2+...+ (-1)nxn+ox→0(xn)

nX k=0(-1)kxk! +ox→0(xn)□ LeDL5(0)dex7-→11 +xest :11 +x=1-x+x2-x3+x4-x5+ox→0x5CPGE-BL - Mathématiques

Version du 07-10-2022 à 08:052

3.Préalable à la manipulation des o rdresdes DLn(0)Proposition 1 - Sens de la notationox→0(xn)et souplesse d"écritureSoitn∈N. On rappelle que :

f(x) =ox→0(xn) On en déduit notamment que :Absorption des puissances

Sif(x) =ox→0(xn)alorsp ourtout p∈N,x

p×f(x) =ox→0(xn)Éléments de preuve:

Puisquef(x) =xn×ε(x), on a :x

p×f(x) =xn×xp×ε(x)|{z} =ε1(x)-→x→00Comparaison en0des puissances dex|(p,q)∈N2Sip < qalorsx q=ox→0(xp).

Éléments de preuve:

On a clairement quexqx

p=xq-pavecq-p >0.Absorption des puissances |λ∈R|(p,n)∈N2λ×xp×ox→0(xn) =ox→0(xn)o

x→0(xp)×ox→0(xn) =ox→0(xn)On comprendra cette dernière relation par " un pro- duit de quelque chose négligeable devantxppar quelque chose de négligeable devantxnest négli- geable devantxn»□ Exemple 1 - Obtention d"un développement limité par produit

En remarquant que

11-x2=11-x×11 +x, déterminer leDL4(0)dex7-→11-x2.Comme

11-x= 1 +x+x2+ox→0x2et11 +x= 1-x+x2+ox→0x2, il vient en développant :

11-x×11 +x= 1-x+x2+ox→0x2+x-x2+x3+x×ox→0x2+x2-x3+x4

= 1 +x2+x4+ox→0x2×

1 +x+x2-x3+x4+ox→0x2

|{z} =-→x→01 |{z} =ox→0(x2)Donc :

11-x2= 1 +x2+x4+ox→0x2, mais ce n"est pas leDL4(0)recherché.Pourquoi?

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Version du 07-10-2022 à 08:053

Théorème 2 - Troncature d"un développement limité en0Sifadmet unDLn(0)de partie régulièreP,alorsp ourtout k∈J0;nK,fadmet unDLk(0)dontla partie régulière

est obtenue en tronquantPau degrék.

□Application|[3356]| 1| Troncature deDLn(0)Pour chaque fonctionfdonnée ci-après dont on donne unDL4(0), former alors son

DL

3(0)puis sonDL2(0):

(1).f(x) = 1 +x2 +x3+x43 +ox→0x4 (2).f(x) =-2 + 3x-x2+x4+ox→0x4

□Proposition 2 -DLn(0)d"une fonction paire/impaire |Dfsymétrique par rapport à0Cas d"une fonction paire

Sifest une fonctionpaireadmettant unDLn(0)

de partie régulièreP,alorsPn"est formé que demonômes de degré pair.Cas d"une fonction impaire

Sifest une fonctionimpaireadmettant un

DL n(0)de partie régulièreP,alorsPn"est formé que demonômes de degré im- pair. Remarque 1 - Parité/Imparité de la partie régulière

Cependant, la parité ou l"imparité de la partie régulière d"unDLn(0)ne donne aucune indication

quant à une éventuelle parité/imparité de la fonction.

Par exemple, on peut montrer que :

x3-1cos(x)|{z} f(x)=-1 +x22 |{z} partie régulière+ox→0x2 |{z} DL

2(0)def. La partie régulière de ceDL2(0)est

x7-→ -1 +x22 et c"est une fonction paire, mais pourtantfne l"est absolument pas! □CPGE-BL - Mathématiques

Version du 07-10-2022 à 08:054

4.Développ ementlimité en un p ointquelconque

Contexte

Dans ce paragraphe et sauf mention contraire, on considèrea∈R,Iest un intervalle deRtel quea∈Iou est une

borne finie deI, etfdésigne une fonctionf:I-→Retn∈N.

□Introduction - Déphasage de la fonction vers0pourI= [α,β]Poura∈Iou borne finie deIf:I-→Rx7-→f(x)xy

C f•a∈I•α•β I= [α;β]Déphasage de la fonction d"origine I

0={t∈R, a+t∈I}

f 0:I

0-→Rt7-→f0(t) =f(a+t)ty

C

0= [α-a;β-a]La fonctionf0est définie sur un intervalleI0contenant0ou un voisinage de0.

□Définition 2 - Développement limité ena∈Iou borne finie deIOn dit quefadmet un dévelopement limité à l"ordrenau voisinage dea, en abrégéDLn(a)lorsque la fonctionf

0admet un développement limité d"ordrenen0.Lien entre leDLn(a)defet leDLn(0)def0| Pourf:x7-→f(x)Étape1| Changement de variable |x=t+af(x) =f(t+a)|{z}

=f0(t)On a clairement équivalence entre "xtend versa» et "ttend vers0»Étape2| Travail surf0(t)On cherche leDLn(0)def0(t)c"est à dire : f =f(x)=P(t)|{z} =P(x-a)+ot→0(tn) |{z} o x→a((x-a)n)

et donc :f(x) =P(x-a) +ox→a((x-a)n)En pratique, on se ramènera toujours à un développement limité en0à l"aide du changement de

variablex=t+a.CPGE-BL - Mathématiques

Version du 07-10-2022 à 08:055

Illustration

On admet que leDL2(0)de la fonctiont7-→et

est : e t= 1 +t+t22 +ot→0t2Donner leDL2(2)x7-→ex.On posex=t+ 2

On a donc :f(x) =f(t+ 2)=e

t+2=e

2×etEn notantf0(t) =e

2et, on a donc :

f

0(t) =e

2

1 +t+t22

+ot→0t2Par suite, on a donc :f(x) =e 2

1 + (x-2) +(x-2)2!

+ox→2 (x-2)2□ Application|[3357]| 2|DL2(-1)dex7-→11-xDéterminer leDL2(-1)de la fonctionx7-→11-x. □CPGE-BL - Mathématiques

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5.F ormuled eT aylor-Youngp ourles développ ementslimités

Théorème 3 - Formule de Taylor-Young-ADMISSifune fonction de classeC nsur un intervalleIetaun point intérieur àIfadmet unDLn(a)donné par : f(x) =f(a) +f′(a)(x-a) +f′′(a)2 X k=0f (k)(a)k!(x-a)k+ox→a((x-a)n)Utilisation de la formule

de la fonctionfdont on cherche leDLn(a).Cependant, elle permet d"obtenir le développement limité de quelques fonctions classiques dont

le calcul des dérivées successives ne pose pas de problème commex7-→ex,x7-→cos(x)et

x7-→sin(x).□ Théorème 4 - Développement limité en 0 de la fonction exponentielle

La fonctionx7-→exest de classeC∞surRet

admet ainsi unDLn(a)en touta∈Ret à tout ordren∈N.DL n(0)dex7-→exe x= 1 +x+x22! +x33! +...+xnn!+ox→0(xn) nX k=0x kk!! +ox→0(xn)□ Proposition 3 - Developpement limité de cosinus et sinus

Les fonctionsx7-→cos(x)etx7-→sin(x)sont de classeC∞surRet admettent ainsi unDLn(a)en touta∈Ret à

tout ordren∈N.DL

2n+1(0)dex7-→cos(x)cos(x) = 1-x22!

+x44! +...+ (-1)nx2n(2n)!+ox→0x2n+1 nX k=0(-1)kx2k(2k)!! +ox→0x2n+1DL

2n+2(0)dex7-→cos(x)sin(x) =x-x33!

+x55! +...+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+ox→0x2n+2 nX k=0(-1)kx2k+1(2k+ 1)!! +ox→0x2n+1□

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Version du 07-10-2022 à 08:057

Application|[4733]| 3| Utiliser des développements limités usuelsÉcrire leDL4(0)de la fonctionx7-→ex2

et celui de a fonctionx7-→cos(3x) □6.Obtention de développ ementslimités pa rop érations

Contexte

Dans ce paragraphe et sauf mention contraire,fetgsont deux fonctions admettantDLn(0)dont on notePetQ leurs parties régulères respectives.

Les résultats qui vont suivre nous permettrons d"obtenir le développement limité d"autres fonctions à partir de dévelop-

pements limités d"un catalogue de fonctions usuelles. □Proposition 4 - Combinaison linéaire et produits de développements limités

Combinaison linéaire deDLn(0)La fonctionλf+µgoù(λ,µ)∈R2admet unDLn(0)de partie

régulièreλP+µQ.

(λf+µg)(x) =λP(x) +µQ(x) +ox→0(xn)Produit de deuxDLn(0)La fonctionf×gadmet unDLn(0)de partie ré-

gulière le polynômeP×Qtronqué de tous les mo- nômes de degré strictement supérieur àn.

En travaillant avec des développements limités defetgdu même ordre pour ces deux opérations

on " maîtrise » l"ordre duDLn(0)même si l"on peut optimiser les calculs en anticipant les modifications d"ordre par opérations. □CPGE-BL - Mathématiques

Version du 07-10-2022 à 08:058

Application|[4734]| 4| Opérations sur les développements limités(1).Former lesDL3(0)des fonctionsx7-→11-xetx7-→x1-x2.

(2).En déduire leDL3(0)des fonctionsx7-→41-x-3x1-x2etx7-→x(1-x)(1-x2) □Proposition 5 - Existence du développement limité d"un quotient Sigest une fonction qui admet unDLn(0)avecg(0)̸= 0,alorsla fonction 1 gadmet unDLn(0).Exploitation du résultat lorsqueg(x)-→x→01On remarquqe que

1g(x)=11-(1-g(x)).

Commeg(x)-→x→01,on a1-g(x)-→x→00et on peut utiliser le résultat rencontré pourx7-→11-u(x)avecu(x)-→x→00.

□CPGE-BL - Mathématiques

Version du 07-10-2022 à 08:059

Application|[4735]| 5| Développement limité d"un quotientFormer leDL3(0)de la fonctionx7-→1e

x-x□Proposition 6 - Développement limité d"une composée

SoitIetJdeux intervalles tels que0est intérieur àIetJet on considèref:I-→Retg:J-→Ravecf(I)⊂J.Sifetgadmettent unDLn(0)de parties régulièresPetQavecf(0) = 0,alorsla fonction g◦fadmet unDLn(0)

de partie régulièrele polynômeQ◦Ptronqué au degrén.

Illustration

On rappelle que :

e t= 1 +t+t22 +t36 +ot→0t3 sin(t) =t-t36 +ot→0t3Former leDL3(0)dex7-→esin(x).On a clairement quesin(x)-→x→00.

LeDL3(0)dex7-→esin(x)est donc :

e sin(x)= 1+ x-x36 +12 x-x36 2 +16 x-x36 3

+ox→0x3On développe cette expression en ne gardant que les termes de degré3en utilisant la règle des deux doigts et on ordonne

ses calculs... e x= 1 +x-x36 +12 x2 16 x3+ox→0x3 = 1 +x+12 x2+ox→0x3□

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Version du 07-10-2022 à 08:0510

Proposition 7 - Intégration d"un développement limité Soientn∈N,Iun intervalle ouvert contenant0etf:I-→R.Sifest de classeC

1surIet sif

′admet unDLn(0)de partie régulièreP,alorsfadmet unDL n+1(0)dont la partie régulières"ob- tient par primitivation deP.∀x∈I, f(x) =f(0)+Z x 0

P(t)dt+ox→0xn+1□

Application|[3364]| 6| Intégrer unDLn(0)On sait que :

11-x= 1 +x+x2+x3+ox→0x3.

Former alors leDL4(0)de la fonctionx7-→ln(1-x). □7.Développ ementslimités usuels en 0 Théorème 5 - Logarithme népérien |n∈N∗DL n(0)dex7-→ln(1-x)ln(1-x) =-x-x22 -x33 -...-xnn +ox→0(xn) -nX k=1x kk +ox→0(xn)DL n(0)dex7-→ln(1 +x)ln(1 +x) =x-x22 +x33 -x44 +...+ (-1)n-1xnn +ox→0(xn) nX k=1(-1)k-1xkk +ox→0(xn)□

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Version du 07-10-2022 à 08:0511

Théorème 6 - Du côté des puissances

Cas général |α∈Rréel FIXÉ|n∈N(1 +x)α=1 +

α1!

x+α(α-1)2! x2+...+α(α-1)...(α-n+ 1)n!xn+ox→0(xn)Casα=12 12 x-18 x2+116 x3+ox→0x3Casα=-12 x+38 x2-516 x3+ox→0x3□ 2. □CPGE-BL - Mathématiques

Version du 07-10-2022 à 08:0512

9.Étude lo caled"une fonction

Remarque 2 - Lien dérivabilité etDLn(a)La mise en parallèle de la définition de la dérivabilité et de la définition des développements limités permet de dire que :

(fest dérivable ena)⇔(fadmet unDL1(a)) □Théorème 7 - Lien entre développement limité et tangente Sifadmet un développement limité enx0à l"ordrepde la forme : f(x) =a0+a1(x-x0) +ap(x-x0)p+ox→x0((x-x0)p)avecap̸= 0etp≥2alors

•Cfadmetenx0une tangenteTd"équation :y=a0+a1(x-x0)•la position locale deCfpar rapport àTest donnée par le signe deap(x-x0)p.

On retiendra que :f(x) =a0+a1(x-x0)|{z}

Équation réduite de

la tangenteTenx0+ap(x-x0)p |{z}

Position locale deCf

par rapport àT+ox→x0((x-x0)p) □Éléments de preuve: xy C fT:y=a0+a1(x-x0)•∆(x)• xx

0•f(x0)∆(x) =f(x)-(a0+a1(x-x0))

=ap(x-x0)p+ox→x0((x-x0)p) =ap(x-x0)p1 +1a p×ox→x0(x-x0) |{z} -→x→x01 Donc∆(x)etap(x-x0)psont de même signe au voisinage

dex0.Visualisation | Illustration | Étude de la position d"une courbe par rapport à sa tangente

∆(x)etap(x-x0)p sont de même signe au voisinage dex0.Signe dex7-→(x-x0)p| Interprétationpest pairSigne constant C fest toujours du même côté deTpimpairChange de signe enx0C ftraverseT.CPGE-BL - Mathématiques

Version du 07-10-2022 à 08:0513

a p>0|ppairxy C fT x

0•f(x0)a

p>0|pimpair | Point d"inflexionxy C fT x

0•f(x0)a

p<0|ppairxy C fT x

0•f(x0)a

p<0|pimpair | Point d"inflexionxy C fT x

0•f(x0)Proposition 8 - Cas particulier

Sifadmet unDL2(x0)de la formef(x) =a0+a2(x-x0)2+ox→x0

(x-x0)2aveca2>0,alorsfadmet unminimum localenx0.En un tel point,Cfadmet une tangente horizontale d"équationy=a0.xy

C fT x

0•f(x0)□

Application|[3365]| 8| Position d"une courbe par rapport à sa tangenteÉtudier l"existence d"une tangenteTau point d"abscisse 0 et la position relative de cette dernière

par rapport à la courbe représentativeChde la fonctionh:x7-→41-x-x1-x2. □CPGE-BL - Mathématiques

Version du 07-10-2022 à 08:0514

10.Comp ortementà l"infini d"une fonction

Définition 3 - Limite finie en+∞ou en-∞Asysmptote horizontale en+∞Lorsquef: [α;+∞[-→Rest telle quef(x)-→x→+∞

ℓ∈R, on dit queCfadmet la droite déquationy=ℓ comme asymptote horizontale en+∞.xy C

fy=ℓAsysmptote horizontale en-∞Lorsquef: ]-∞;α]-→Rest telle quef(x)-→x→-∞

ℓ∈R, on dit queCfadmet la droite déquationy=ℓ comme asymptote horizontale en-∞.xyC fy=ℓPosition de la courbe par rapport à une asymptote horizontale

La position de la courbe représentativeCfd"une fonctionfpar rapport à une asymptote horizontale, est donnée par

le signe de la différence∆(x) =f(x)-ℓ, étant entendu que c"est au voisinage de±∞que l"on souhaite préciser la

position de l"une par rapport à l"autre. □Définition 4 - Asymptote oblique en+∞On suppose quef: [α;+∞[-→R. On dit queCfadmet la droiteDd"équationy=ax+bpour asymptote oblique en+∞lorsquef(x)-(ax+b)-→x→+∞0. Cette définition s"adapte pour une asymptote oblique en-∞.xy C fy=ax+bPosition de la courbe par rapport à une asymptote oblique

La position de la courbe représentativeCfd"une fonctionfpar rapport à une asymptote obliqueDd"équationy=ax+b

est donnée par le signe de la différence∆(x) =f(x)-(ax+b), étant entendu que c"est au voisinage de+∞que l"on

souhaite préciser la position de l"une par rapport à l"autre.Illustration

La droite d"équationy= 2x-2est-

elle asymptote oblique en+∞pourCf où f:x7-→2x2+ 2x+ 1x+ 2?Étudier alors leur position relative.On a clairement : ∀x >-2, f(x)-(2x-2) =2x2+ 2x+ 1x+ 2-2x+ 2

2x2+ 2x+ 1-(2x-2)(x+ 2)x+ 2

=5x+ 2CPGE-BL - Mathématiques

Version du 07-10-2022 à 08:0515

Comme

5x+ 2-→x→+∞0, on en déduit queCfadmet la droite d"équationy= 2x-2pour asymptote oblique en+∞.

De plus, il est immédiat que :∀x >-2,5x+ 2>0

DoncCfest au-dessus de son asymptote en+∞.Plan d"obtention de l"équation réduite d"une asymptote oblique

f(x)-→x→+∞?ℓ∈Rpas de limitexy C fy=ℓAsymptote horizontale d"équationy=ℓ±∞f(x)x -→x→+∞?pas de limite +∞0 a∈R∗xyC fBranche parabolique de direction(Oy)xy C fBranche parabolique de direction(Ox)f(x)-ax-→x→+∞?pas de limiteb∈R±∞ xy C fy=ax+bAsymptote oblique d"équation y=ax+bxyC fy=axBranche parabolique de direction la droite d"équationy=ax□

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Version du 07-10-2022 à 08:0516

11.Développ ementlimité et recherche d"asymptote ob lique

Définition 5 - Notion de développement limité en+∞| Développement asymptotiqueOn dit quef: [α;+∞[-→Rad-

met un développement limité d"ordre nen+∞ou encore développement aysmptotique en+∞lorsqu"il existe (a0, ..., an)∈Rn+1tel que au voi- sinage de+∞on ait :f(x) =c 0+a1x +a2x +...+anx n+ox→+∞ 1x nCela revient à dire que la fonctionx7-→f1x admet unDLn(0).Développement asymptotique dex7-→ln 2 +1x

à l"ordre 3En remarquant que

12x-→x→+∞0, en utilisant leDL3(0)det7-→ln(1 +t), on peut écrire :

ln 2 +1x = ln(2) + ln

1 +12x

= ln(2) + 12x -12 12x 2 +13 12x 3 +ox→+∞ 1x 3 = ln(2) +

12x-18x2+124x3+ox→+∞

1x 3

□Théorème 8 - Développement limité en+∞et asymptote obliqueSif: [α;+∞[est telle que la fonctionx7-→f(x)x

admet un développement limité en+∞de la formef(x)x =a0+a1xquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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