[PDF] Correction du devoir commun TS 15 décembre 2012

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Correction du devoir commun TS15 décembre 2012

Exercice 1 (9 points)Polynésie, juin 2012

Partie A

On considère l"algorithme suivant :

Les variables sont le réelUet les entiers naturelsketN. Entrées: Saisir un nombre entier naturel non nulN. début

Affecter àUla valeur 0

pourkallant de 0 àN-1faire

Affecter àUla valeur 3U-2k+ 3

Sorties: AfficherU

Algorithme 1:

Affichage en sortie lorsqueN= 3 :

N= 3 U= 0

Pourk= 0 àk= 2 :

k= 0

U= 3U-2k+ 3

= 3k= 1

U= 3U-2k+ 3

= 3×3-2×1 + 3 = 10k= 2

U= 3U-2k+ 3

= 3×10-2×2 + 3 = 29 fin duPour

Affichage :U= 29

Partie B

On considère la suite (un) définie paru0= 0 et, pour tout entier natureln,un+1= 3un-2n+ 3.

1. Calcul deu1etu2:

u

1= 3u0-2×0 + 3

= 3×0 + 3 = 3u

2= 3u1-2×1 + 3

= 3×3-2 + 3 = 10 on a doncu1= 3 etu2= 10

2. a. Démontrons par récurrence que, pour tout entier natureln,un?n:

On appelleP(n) la propriétéun?n.

•Initialisation :n0= 0

u

0= 0 doncu0?0 doncP(0) est vraie.

•Hérédité :

on suppose queP(k) est vraie, c"est-à-dire queuk?k; a-t-on alorsP(k+1) vraie aussi, c"est-à-direuk+1?k+ 1?

SiP(k) est vraie alorsuk?k

donc 3uk?3k d"où 3uk-2k+ 3?3k-2k+ 3 doncuk+1?k+ 3 or, 3?1 donck+ 3?k+ 1 doncuk+1?k+ 1 doncP(k+ 1) est vraie. •Conclusion :Pour tout entier natureln, on aun?n. b. Déduction de la limite de la suite (un) :

Pour tout entier natureln, on aun?net limn→+∞n= +∞donc d"après un théorème de

comparaison, lim n→+∞un= +∞

3. Démontrons que la suite (un) est croissante :

Pour tout entier natureln, on aun+1-un= 3un-2n+ 3-un = 2un-2n+ 3 or, d"après la question 2. a., pour tout entier natureln, on aun?n donc 2un?2n d"où 2un-2n?0 donc 2un-2n+ 3?3 d"oùun+1-un>0 doncun+1> un donc (un) est croissante (strictement).

4. Soit la suite (vn) définie, pour tout entier natureln, parvn=un-n+ 1.

a. Démontrons que la suite (vn) est une suite géométrique : Pour tout entier natureln, on avn+1=un+1-(n+ 1) + 1 = 3un-2n+ 3-n-1 + 1 = 3un-3n+ 3 = 3(un-n+ 1) = 3vn v

0=u0-0 + 1

= 0 + 1 = 1 Pour tout entier natureln, on avn+1= 3vndonc la suite (vn) est géométrique de raisonq= 3 son premier terme estv0= 1. b. Déduisons-en que, pour tout entier natureln,un= 3n+n-1 : (vn) est géométrique de raisonq= 3 et de premier termev0= 1 donc pour tout entier natureln, on avn=v0×qn = 3 n or,vn=un-n+1??un=vn+n-1 donc pour tout entier natureln, on aun= 3n-n+ 1.

5. Soitpun entier naturel non nul.

a. Pourquoi peut-on affirmer qu"il existe au moins un entiern0tel que, pour toutn?n0, u n?10p?

On a montré dans la questionB2. b. que limn→+∞un= +∞; par définition , cela signifie

que pour tout réelA(et aussi grand soit-il), à partir d"un certain rang, tous lesun appartiennent à l"intervalle [A; +∞[. PrenonsA= 10p; il existe un entiern0tel que pour tous les entiersn?n0, on aun?10p. On s"intéresse maintenant au plus petit entiern0. b. Détermination à l"aide de la calculatrice cet entiern0pour la valeurp= 3 : 10

3= 1000

D"après la calculatrice,u6= 734 etu7= 2193 donc à partir den0= 7, on aun?103. c. Montrons que quelque soitp?N?u3p?10p; déduisons-en quen0?3p: u

3p= 33p+ 3p-1

= (3

3)p+ 3p-1

= 27 p+ 3p-1 or, quel que soitpdansN?, on a 27
p?10pet 27p+ 3p-1?10p+ 3p-1?10pdoncu3p?10p. La suite (un) est croissante donc, pour toutntel quen?3p, alorsun?u3pet donc u n?10ppour toutn?3p. n

0étant la plus petite de ces valeurs, on a doncn0?3p.

d. Proposition d"un algorithme qui, pour une valeur depdonnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entiern0tel que, pour toutn?n0, on aitun?10p:

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nulp.

Traitement

Affecter àUla valeur 0

Affecter àkla valeur 0

Tant queU <10p

Affecter àUla valeur 3U-2k+ 3

Affecter àkla valeurk+ 1

Fin tant que

Sortie

Afficherk

Exercice 2 (9 points)Pondichery, avril 2012

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soitzun nombre complexe. On rappelle que

zest le conjugué dezet que|z|est le module dez. On admet l"égalité :|z|2=z z. Montrons que, siz1etz2sont deux nombres complexes, alors|z1z2|=|z1||z2|: |z1z2|2=z1z2 z1z2 =z1z2 z1z2 =z1 z1z2z2 =|z1|2× |z2|2 = (|z1| × |z2|)2 or, le module d"un nombre complexe est un réel positif; donc pour tous nombres complexesz1etz2, on a : |z1z2|2= ([z1||z2|)2et les nombres|z1z2|et|z1||z2|sont positifs; on a donc|z1z2|=|z1||z2|.

Autre méthode * :On posez1=a1+ib1etz2=a2+ib2

z

1z2= (a1+ib1)(a2+ib2)

=a1a2+ia1b2+ia2b1+i2b1b2 =a1a2-b1b2+i(a1b2+a2b1) |z1z2|=? (a1a2-b1b2)2+ (a1b2+a2b1)2 (a1a2)2-2a1a2b1b2+ (b1b2)2+ (a1b2)2+ 2a1b2a2b1+ (a2b1)2 a21a22+b21b22+a21b22+a22b21 |z1||z2|=? a21+b21?a22+b22 (a21+b21)(a22+b22) a21a22+a21b22+b11a22+b21b22 on a effectivement|z1z2|=|z1||z2|

*Il est préférable d"utiliser la première méthode qui utilise la propriété rappelée et admise dans

l"énoncé; une telle propriété est parfois appelée pré-requis dans les ROC. Partie B : Étude d"une transformation particulière Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct(O;?u;?v), on désigne parAetBles points d"affixes respectives 1 et-1. Soitfla transformation du plan qui à tout pointMd"affixez?= 1, associe le pointM?d"affixez?tel que : z ?=1-z z-1

1.zC=-2 + i.

a. Calcul de l"affixezC?du pointC?image deCpar la transformationf, et placement des pointsCetC?dans le repère donné en annexe : z

C?=1-zC

zC-1

1-(-2 +i)

-2-i-1 3-i -3-i (3-i)(-3 +i) (-3-i)(-3 +i) -9 + 3i+ 3i-i2 (-3)2+ (-1)2 -8 + 6i 10 =-4 + 3i

5Le pointC?a pour affixezC?=-45+35i

b. Montrons que le pointC?appartient au cercleCde centreOet de rayon 1 : OC ?=|zC?-zO| =????-4

5+35i????

?-4 5? 2 +?35? 2 16

25+925

1 = 1 OC ?= 1 doncC?appartient au cercle de centreOet de rayon 1. c. Montrons que les pointsA,CetC?sont alignés : z # »AC=zC-zA =-2 +i-1 =-3 +iz # »AC?=zC?-zA -4

5+35i-1

-9 5+35i 3

5(-3 +i)

on az# »AC?=3

5z# »ACdonc# »AC?=35# »ACdonc les vecteurs# »ACet# »AC?sontcolinéaires

donc les pointsA,CetC?sont alignés.

2. Détermination et représentation sur la figure donnée en annexe l"ensemble Δ des points du

plan qui ont le pointApour image par la transformationf: z ?=zA??1-z z-1= 1 ??1-z= z-1 etz-1?= 0 ??2 =z+ zetz?= 1 ??2 =x+iy+x-iyetz?= 1 ??2 = 2xet (x;y)?= (1; 0) ??x= 1 et (x;y)?= (1; 0) L"ensemble Δ des points du plan qui ont le pointApour image par la transformationfest la droite d"équationx= 1 privée du pointA(1; 0).

3. Montrons que, pour tout pointMdistinct deA, le pointM?appartient au cercleC:

OM ?=|z?-zO| =????1-z z-1???? |1-z| |z-1| |1-z| |z-1| |1-z| |z-1| =????1-z z-1???? =| -1| = 1OM?= 1 doncM?appartient au cercleC.

4. Montrons que, pour tout nombre complexez?= 1,z?-1z-1est réel.

Que peut-on en déduire pour les pointsA,MetM??

Pour toutz?= 1, on az?-1

z-1=1-z z-1-1 z-1 1-z z-1- z-1 z-1 z-1 1-z- z+ 1 z-1 z-1 2-z- z z-1×1z-1 2-z- z zz-z-z+ 1 A partir de là, deux démarches sont possibles : on a doncz?-1 z-1=2-(z+ z) zz-(z+z) + 1 or, d"après le cours,z+ z= 2Re(z); c"est donc un nombre réel.

De même,z

zest un réel.

Le quotient

z?-1 z-1est donc réel. Autre méthode :on posez=x+iyoùxetysont des nombres réels. z ?-1 z-1=2-x-iy-x+iyx2+y2-x-iy-x+iy+ 1 2-2x x2+y2-2x+ 1 xetysont des réels donc le quotientz?-1 z-1est un nombre réel.

Il existe donc un réelktel quez?-1

z-1=k

On a doncz?-1 =k(z-1)

d"oùz# »AM?=kz# »AM donc# »AM?=k# »AM d"où# »AM?et# »AMsont colinéaires donc les pointsA, M,etM?sont alignés

5. On a placé un pointDsur la figure donnée en annexe. Construire son imageD?par la trans-

formationf.

Dans ce qui précède, on a montré que :

- L"imageM?d"un pointMdistinct deAappartient au cercle de centreOet de rayon 1. - Le pointA, un pointMdistinct deAet son imageM?sont alignés. L"imageD?du pointDest donc située à l"intersection du cercle de centreOet de rayon 1 et de la droite (AD). ?u?v O C++ DC C A D

Exercice 3 (2 points)Détermination par la méthode la mieux adaptée du nombre de solution de l"équation

2x3-3x2-1 = 0.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative même infructueuse,

sera prise en compte dans l"évaluation Soit la fonctionf:x?-→2x3-3x2-1fest définie et dérivable surR. f ?(x) = 6x2-6x = 6x(x-1) racines : 0 et 1 (N. B. : le calcul de Δ est super-inutile ici!) x signe def?(x) variations def -∞0 1+∞ 0-0+ -1-1 -2-2 a= 2 a >0 f(0) = 2×03-3×0-1 =-1f(1) = 2×13-3×12-1 =-2

Limite en-∞:

limx→-∞2x3=-∞ lim x→-∞?-3x2-1?=-∞)))) donc par somme, limx→-∞f(x) =-∞

Limite en +∞:

limx→+∞2x3= +∞ lim x→+∞?-3x2-1?=-∞)))) forme indéterminée du type " +∞ - ∞» orf(x) =x3? 2-3 x-1x3? lim x→+∞x3=-∞ lim x→+∞? 2-3 x-1x3? = 2)))) donc par produit, limx→+∞f(x) = +∞ •Sur ]- ∞; 1], le maximum defest-1 donc pour toutxde ]- ∞; 1], on af(x)?-1 donc l"équationf(x) = 0 n"a pas de solution sur cet intervalle. •festcontinuesur [1; +∞[ (car c"est une fonction polynôme), feststrictement croissantesur [1; +∞[, f(1) =-2 et limx→+∞f(x) = +∞,

0 est compris entre-2 et +∞donc d"après lethéorème des valeurs intermédiaires dans le

cas des fonctions strictement monotones, l"équationf(x) = 0 admet une unique solution dans l"intervalle [1; +∞[. •L"équationf(x) = 0 admet donc une unique solution surR.

Questions faciles que tout élève doit savoir traiter :Exercice 1 :Partie APartie B1. 2. a. b. 3. 4. a. c.Exercice 2 :Partie B1. a. b. c. 2. 3.Exercice 3Il faut commencer par retravailler en priorité ces questions et les refaire jusqu"à ce que vous soyez

capables de les faire correctement.

Ca fait quand même 13,25/20!

quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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[PDF] u n 2 )= 3un 1 )- 2un

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[PDF] un+1=3un-2n+3

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