[PDF] [PDF] Correction du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 10 juin 2011

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?Correction du baccalauréat S (obligatoire)

Polynésie?

10 juin 2011

Exercice 15 points

Commun à tous les candidats.

1.

Méthode 1 :

Le dessin suggère de considérer la rotation

de centre A et d"angle

2. Son écriture com-

plexe est :z?-zA=i(z-zA)??z?-2+5i= i (z-2+5i).

L"image B

?du point B dans cette rotation a donc pour affixe : z

B?-2+5i=i(7-3i-2+5i)??

z

B?=2-5i+5i-2=0.

L"image de B dans la rotation de centre A et

d"angle

2est le point O. Ceci démontre que

le triangle ABO est isocèle et rectangle en A. -2 -4 -62 4 6 ?O A B

Méthode 2 : OA

2=|zA|2=22+52=29;

AB

2=|zB-zA|2=|7-3i-2+5i|2=|5+2i|2=25+4=29;

OB

2=|zB|2=|7-3i|2=72+32=49+9=58.

D"une part AO

2=AB2??AO=AB??ABO est isocèle en A;

D"autre part 29+29=58??AO2+Ab2=OB2??ABO est rectangle en A d"après la réciproque du théorème de Pythagore.

Méthode 3 :

SoitZ=zO-zA

zB-zA=-2+5i5+2i=i(2i+5)2i+5=i.

On aZ=AO

AB=1, soit AO = AB;

De plus arg(Z)=?--→AB ,--→AO?

2ce qui montre que l"angle?BAO est droit. Le

triangle ABO est donc rectangle isocèle en A.

Méthode 4 :zO-zA

zB-zA=zO-zAzB-zA=i signifie que O est l"image de B dans la rotation de centre

A et d"angle

2.

2.Soient A et B les points d"affixes respectives i et-2i.

On a|z-i| = |z+2i| ??AM= BM??M?Δmédiatrice de [AB]. mais comme A et B appartiennent à l"axe des ordonnées, la médiatrice de [AB] (d"équationy=-1

2est parallèle à l"axe des abscisses. La proposition est vraie.

3.z=3+i?

3, donc|z|2=9+3=12=?2?3?2?|z|=2?3. On peut en facorisant

ce module écrire : z=2? 3? ?3

2+i12?

=2?3?cosπ6+isinπ6?=2?3eiπ6.

Donc, pourn?N,z3n=?

2?

3eiπ6?3n=?2?3?3nei3nπ6=?2?3?3neinπ2. Or einπ2

est égal à i,-1,-i ou 1 suivant les valeurs denet la puissance n"est donc un nombre imaginaire que pournimpair. La proposition est fausse.

Correctiondu baccalauréat SA. P.M. E. P.

4.Soitzun nombre complexe non nul d"argumentπ2. On peut donc écrirez=ρi

avecρréel positif non nul. Donc|i+z|=1+|z| ?? |i+ρi|=1+|ρi| ?? |i(1+ρ)|=1+|ρi| ??1+ρ=1+ρ qui est bien vraie.

La proposition 4 est vraie.

5.Soitzun nombre complexe non nul.

Si le module dezest égal à 1 alorszs"écritz=eiθ, avecθ?R.

Doncz2+1

2cos2θqui est un réel.

Exercice 25 points

Enseignementobligatoire

1.On a l"arbre pondéré suivant :

G 1 0,1G 2 0,8 G20,2

G10,9G

2 0,6 G20,4

2.On ap2=p(G1∩G2)+p?

G1∩G2?

=p(G1)×pG1(G2)+p?G1?

×p(G1)(G2)=

0,1×0,8+0,9×0,6=0,08+0,54=0,62.

3.Il faut trouverpG2?

G1? =p?

G1∩G2?

p(G2)=0,540,62=2731.

4.La probabilité que le joueur ne gagne aucune des trois parties est égale à 0,9×

0,4×0,4=0,144.

La probabilité qu"il gagne au moins une partie est donc égaleà

1-0,144=0,856.

5.À la partien, on a l"arbre suivant :

G n pnG n+1 0,8

Gn+10,2

Gn1-pnG

n+1 0,6

Gn+10,4

Onadoncpn+1=p(Gn∩Gn+1)+p?

Gn∩Gn+1?

=p(Gn)×pGn(Gn+1)+p?Gn? p 1

5pn+35.

Polynésie210 juin 2011

Correctiondu baccalauréat SA. P.M. E. P.

6.InitialisationOn a bien34-134?

15? 1 =34-1320=15-1320=220=110=0,1=p1.

Hérédité

Supposons qu"il existea?N,a>1 tel quepa=3

4-134?

15? a D"après la formule démontrée à la question 4 : p a+1=1

5pa+35=15?

34-134?

15? a? +35=35×14+35-134?
15? a+1 =320+1220- 13 4? 15? a+1 =34-134? 15? a+1 . La propriété est vraie au ranga+1. On a donc démontré par récurrence que pourn?N?,un=3

4-134?

15? n

7.Comme-1<1

5<1, on a limn→+∞?

15? n =0, donc limn→+∞un=34=0,75.

8.On a :3

4-pn<10-7??34-?34-134?

15? n? <10-7??134? 15? n <10-7?? ?1 5? n <413×10-7??(par croissance de la fonction logarithme népérien) nln?1 5? ln?4×10-7 13? ln?15? Or ln?4×10-7 13? ln?15? ≈10,7.

Doncu11approche la limite3

4à moins de 10-7.

Exercice 25 points

Enseignementde spécialité

1.u1=10u0+21 oru0=1 doncu1=10×1+21=31;

u

2=10u1+21=10×31+21=331;

u

3=10u2+21=10×31+21=3331.

2. a. •Initialisation 100+1-7=10-7=3=3×1=3u0donc on a bien la propriété vraie au rang 0. •Hérédité : Supposons que pour un entier natureln, 3un=10n+1-7 alors

70+63=10(n+1)+1-7

La propriété est donc bien héréditaire. •La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, elleest donc vraie pour tout natureln: 3un=10n+1-7. b.Pour tout natureln,10n+1-1

10-1=k=n?

k=010kdonc 3un=k=n? k=09×10k-6= k=n? k=19×10k+10-6=k=n? k=19×10k+3=99...93 et doncun=k=n? k=13×10k+1=

33...3

nchiffres1 avecnchiffres 3.

3.u2=331 avec?

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