Intégration TD4 Espaces Lp (1)
Intégration TD4. Espaces Lp. (1) Soit (X µ) un espace mesuré
MESURE INTEGRATION
https://www.i2m.univ-amu.fr/perso/thierry.gallouet/licence.d/mes-int-pro.pdf
Mesure et Intégration
applications les espaces les plus populaires sont les espaces de Lebesgue L p
Intégration et Probabilités – TD 1 Espaces mesurés Quelques
Intégration et Probabilités – TD 4 Soit (fn)n?0 une suite de fonctions positives dans l'espace Lp(µ) 1 ? p < +?. Montrer que si fn ? f dans Lp
Analyse fonctionnelle approfondie et calcul des variations 4M025
Dans un espace métrique la continuité en un point est équivalente à la continuité séquentielle. (3.3.1) à la puissance p
1 Généralités
UNS - Calcul intégral. L3 2018-2019. Feuille de TD 4 : Fonctions mesurables Toute fonction est mesurable : pour toute fonction f on a f?1(F) = E et ...
TD 4 Convolution
http://math.univ-lyon1.fr/~mironescu/resources/maths4_td_4_support.pdf
Théorie de lintégration
TD4 Application de la théorie de l'intégration . Le chapitre 5 présente les espaces Lp et différentes convergences de fonctions intégrables.
L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés
Exercice 0.6 . Soit (?T ) un espace mesurable
Analyse Fonctionnelle
13 déc. 2015 Les espaces lp pour tout 1 ? p ? +? munis de leurs normes respectives sont complets (ce sont donc des. Banach). — L'espace l2 est un ...
Espaces de Lebesgue - univ-toulousefr
que l’espace des fonctions intégrables lui-même Toutes ces bonnes propriétés (qu’il faudra encore compléter dans des cours ultérieurs) fourniront les cadres de travail adéquats pour beaucoup de problèmes d’analyse 5 1 Les Espaces de Lebesgue Lp Soit (XMµ) un espace mesuré
Feuille de TD 4 : Espaces Lp - Université Sorbonne Paris Nord
Feuille de TD 4 : Espaces Lp Exercice 1 Soit f?Lp(R) avec 1 0 tel que Z +? a f(t)pdt 1 p ?? 4 En d´eduire que F(x) = +?o(x(p?1)/p) Exercice 2 Pour 1 ?p
Comment calculer l’espace des fonctions intégrables?
En plus de l’espace des fonctions intégrables, qu’on avait noté L1(X,M,µ) (ou L1(X) s’il n’y a pas d’ambiguïté), on introduit les espaces suivants : Dé?nition 5.1. Soit p ? [1,+?[. Étant donnée une fonction f mesurable de X dans R (ou dans C), on note ?f?p= ??
Comment ordonner les espaces?
Le premier cas où on peut ordonner les espaces Lp(X) concerne les mesures ?nies. Cela inclut donc la mesure de Lebesgue sur les segments de R (ou plus généralement sur les compacts de Rd), mais aussi toutes les mesures de probabilités. Proposition 5.25. On suppose que µ(X) < +?. Soient p,q ? [1,+?].
Comment calculer la dualité d'un espace ?
1 . en prenant m =2 n , ceci donne exactement Z 2 0 jf (x ) Xn p = n (f jep)ep(x )j2dx ! 0 ; quand n ! + 1 : 6.3 Dualité dans les espaces Lp,1 p 1 6.3.1 Dualité pour p =2 Soit (E ;T ;m ) un espace mesuré. On note H = L2 K(E ;T ;m ), avec K= R ou C .
Qu'est-ce que l'espace LPX?
On vient de décrire une situation où plus p est grand, plus l’espace Lp(X) est petit. Il y a aussi des situations où plus p est grand, plus Lp(X) est grand. Le cas typique est celui des suites, où de façon générale de tous les espaces munis d’une mesure de comptage.
Intégration TD4
EspacesLp(1)
Préparation à l"agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org1 Construction et complétude :
?f?p:=? X |f|pdμ? 1p en convenant que(+∞)1p = +∞etinf∅= +∞. On définit : L p(μ) :={f:X→Cmesurable;?f?p<∞},L∞(μ) :={f:X→Cmesurable;?f?∞<∞}Exercice 1 :
Soitp?[1,∞], pour quelles valeurs dea,b?Ra-t-on : f a,b(x) :=1x aln(x)b1[e,+∞[(x)?Lp(R)?On traitera les différents cas qui se présentent, et on pourra utiliser pour certains d"entre eux :
ddt ln1-βt1-β?1tlnβt,ddt
(ln(lnt)) =1tlnt.Remarque :Dans le cas d"une intégration sur]0,1[, on se ramène au cas précédent par inversion de la
Soientf,g:X→Rmesurables, etp,q≥1tels que1p +1q = 1. Alors : 1.Mon trerque, p ourtout r?]p,q[
Oùθ?]0,1[est défini par1r
=θp +1-θq 2.Soit f:R→Rmesurable. Que peut-on dire de la nature géométrique et topologique de l"ensemble :
- sip >1, il y a égalité si et seulement sig= 0μ-p.p. ouf=λgpour un certainλ?R+.- sip= 1, il y a égalité si et seulement sifg≥0μ-p.p.1
L"inégalité de Minkowski prouve (entre autre!) queLp(μ)est un espace vectoriel. Il faut travailler encore
un peu plus pour obtenir la structure d"EVN :? · ?pn"est pas une norme surLp(μ). On définit donc une relation d"équivalence surLp: f≂g??f=g μ-p.p.Cette relation est compatible avec l"addition et la multiplication par un scalaire, on peut donc munir
l"ensemble des classes d"équivalence : L p(μ) :=Lp(μ)/≂d"une structure deC-espace vectoriel. Commef≂g? ?f?p=?g?p, on peut définir? · ?psurLp(μ), et
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Riesz-Fischer. 1.T raiterle cas p=∞.
2. (a) Justifier l"existence d"une sous-suite (fnk)k?Ntelle que pour toutk?N: k (b)On p osegk(x) :=k?
i=1|fni+1(x)-fni(x)|.Montrer que(gk(x))k?N?converge presque sûrement vers une limite finieg(x)et montrer que la fonctiongainsi définie presque partout appartientàLp(μ).
(c) En déduire que (fnk(x))nconverge presque sûrement vers une limitef(x), que celle-ci définit un élément deLp(μ), limite de(fn)ndans cet espace. f nk-→k→∞f μ-p.p. 1. Construire une suite (fn)n?NdeL1(]0,1[)qui converge dans cet espace, mais pas presque partout. 2.En déduire qu"il n"existe pas de top ologiesur l"espace des fonctions telle que la con vergenceau sens
de cette topologie coïncide avec la convergence presque partout. 22 Quels liens entre les espacesLp?
Exercice 5 :Inclusions
1.Démon trerque si μ(X)<∞alors les espacesLp(μ)s"injectent continûment par ordre décroissant
d"exposant. 2. P ourp?=q?[1,∞], démontrer queLp(R)?Lq(R)n"est jamais vrai. Que dire dans le cas des p(N)?Exercice 6 :Topologie
Constuire une suite de deL1(R)∩L2(R)convergente dansL1(R)et pas dansL2(R), une autre convergente
dansL2(R)et pas dansL1(R).Remarque :De manière plus générale, pourp < q, les deux normes?·?pet?·?qne définissent jamais la
même topologie surLp(R)∩Lq(R).Exercice 7 :Pourquoi la notationL∞?
SoitΩun ouvert borné deRn.
1. Soit f?L∞(Ω)∩Lp(Ω), pour toutp≥1. montrer que : ?f?∞= limp→∞?f?p. Remarque :Ce résultat s"étend bien sûr au cas d"une mesure finie quelconque. 2. 3.En utilis antla fonction lnsur]0,1[, montrer que le résultat précédent n"est plus vrai si l"on suppose
simplement quef?Lp(Ω)pour toutp?[1,∞[.3 Sous-espaces denses dans lesLp(Ω):
On rappelle le :Lemme fondamental d"approximation :[2], p.71Soitf: (X,A)→R,RouC, mesurable. Il existe une suite(fn)n≥1de fonctions étagées, telle que,pour toutx?X,limn→+∞fn(x) =f(x). En outre,(a)Si f≥0, on peut choisir la suite(fn)n≥1croissante et positive.(b)Si fest bornée, on peut choisir la suite(fn)n≥1de sorte qu"il y est convergence uniforme surX.Remarque :L"essentiel de la démonstration repose sur l"approximation d"une fonction mesurable positive
par les sommes : n2n-1? k=0k2 n1{k2 n}(x) +n1{f(x)≥n}(x) Exercice 8 :Densité des fonctions en escaliers et des fonctions continues[2], p.165Soitp?[1,∞[.
1. V érifierque l"ense mbledes fonctions étagées de Lp(R)est dense dansLp(R). 2.On souhaite prouv erla densité des fonc tionsen escaliers (com binaisonslinéaires finies d"indi catrices
d"intervalles). (i) Prouv erqu"il su ffitd"appro cherles indicatrices 1A, avecAmesurable de mesure finie. (ii)Soit 1Aune telle indicatrice, en utilisant la régularité extérieure de la mesure de Lebesgue,
approcher1Apar une suite(1On)n?Nd"indicatrices d"ouverts bornés. Approcher ensuite celles- ci par des indicatrices d"intervalles (penser aux composantes connexes..) et conclure. 3.En déduire que l"ensem bledes fonctions con tinuesà supp ortcompact e stégalemen tdense dans
L p(R).Remarque 1 :
On peut obtenir les mêmes résultats dansRd. D"autre part, on peut démontrer directement la densité des
fonctions Lipschiztiennes, voir [2], p.177. 3Remarque 2 :
En réalité il existe un résultat de densité beaucoup plus puissant :C∞c(Ω), l"ensemble des fonctions
infiniment dérivables et à support compact dans un ouvertΩ?Rd, est non vide (ce qui n"est trivial
a priori!) et dense dans tous lesLp(Ω), pourp <∞. L"outil fondamental permettant d"aboutir à ces
résultats est la convolution.Exercice 9 :Applications
1. Soit f?Lpfixée. Montrer que?τyf-f?p-→y→00, oùτyf(x) =f(x-y). 2. Soit f?L1(R), etˆfsa transformée de Fourier. Montrer que : lim |ξ|→∞ˆf(ξ) = 0.Références
[1] W. R udin.Analyse réelle et complexe (3ième éd ition). [2] Marc Briane, Gilles P agès.Théorie de l"in tégration(4ième édition). 4quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] Integration und Subversion - Kritische Bildungstheorie
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