Équations et inéquations du second degré PDF

SECOND DEGRE (Partie 2)

Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : L'équation 3x2 ? 6x ? 2 = 0 est une équation du second degré.

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Résolution dans R de l'équation x2 +2x?3 = 0 : (Par rapport aux formules on a ici : a = 1

SECOND DEGRE (Partie 2)

Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : L'équation 3x2 ? 6x ? 2 = 0 est une équation du second degré.

Le second degré - Lycée dAdultes

Comme le nombre de solutions de cette équation dépend du signe de ? cette quantité est appelé discriminant. Paul Milan. 4 sur 21. Première S. Page 5. 2

Équations et inéquations du second degré

1.1 Définition vocabulaire. Une équation du second degré

Thème 5: Équations du 2ème degré

Introduction : Une équation du second degré en x est une équation qui peut se 5.1 Équation du 2ème degré (résolution à l'aide de la factorisation).

Première ES Cours second degré 1 I Equations du second degré

I Equations du second degré. Forme canonique d'un polynôme du second degré. Définition : La fonction qui à tout réel x associe ax² + bx + c

Algèbre - Cours de première année

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Chapitre 1 - Second degré

Désignons par (E) l'équation du second degré suivante : A partir de la forme canonique et en s'appuyant sur le cours de 2nd nous re-.

SECOND DEGRÉ (Partie 1)

Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation x = ? b. 2a.

1.1Dénition,vocabulaire

ax ax

2+bx+c.

1.OnsouhaiterésoudredansR,3x25x4=0.

Posonsf(x)=3x25x4,alorspourtoutréelx,

f(x)=3x25 3x43, orx25

3xestledébutd'uncarré,carx253x=x56

22536.

Ainsipourtoutréelx,

f(x)=3hx5 6

2253643i

f(x)=3hx5 6

27336i

f(x)=3h x5 6p 73
6 x56+p 73
6i f(x)=3h x5+p 73
6 x5p 73
6i 73

6ouàx=5p

6.Deplusonaobtenuunefactorisation

def(x).

2.OnsouhaiterésoudredansR,2x2+3x+4=0.

f(x)=2x2+3 2x+2, orx2+3 2916.

Ainsipourtoutréelx,

f(x)=2hx+3 4

2916+2i

f(x)=2hx+3 4

2+2316i

1.2.2Casgénéral

Posonsf(x)=ax2+bx+c,a6=0.

1.1ereétape:Formecanoniquedef(x)

Puisquea6=0,f(x)=ax2+b

ax+ca;orx2+bax=x+b2a

2b24a2carx2+baxestledébutdu

développementdex+b 2a 2.

Seconddegrépage1/4

Doncf(x)=ahx+b2a

2b24a2+cai

=ahx+b2a

2b24a2+4ac4a2i

=ahx+b2a

2b24ac4a2i

]estlaformecanoniquedef(x).

2.1iemeétape:Résolution

Onpose=b24ac,ainsif(x)=ahx+b

2a 24a2i
-Si<0,alors n'apasdesolution. -Si=0,alorsf(x)=ax+b 2a

2,ainsif(x)=0équivautàax+b2a

2=0équivautàx+b2a=0

soitx=b 2a. -Si<0,alors=(p )2etf(x)=ahx+b2a 2(p )2 4a2i =ax+b2a 2q 2a2 a x+b 2a+p 2a x+b2ap 2a =a xbp 2a x+b+p 2a

Sil'onposex1=bp

2aetx2=b+p

2a,alorsf(x)=a(xx1)(xx2).

Dénition1

2+bx+c.Onlenote(lire"delta").

2.L'expressionahx+b

2a 24a2i
estlaformecanoniquedef(x).

Lorsque<0,l'équationn'apasderacine.

Lorsque=0,l'équationauneracine,b

2a. x 1=bp

2a;x2=b+p

2a duthéorème. x23x+4=03x272x+4948=03x2x4=0 a=1,b=3,c=4 =(3)2414=7 <0,pasdesolution.a=3,b=72,c=4948 =7 2

2434948=0

=0,unesolutionb

2a=712.

a=3,b=1,c=4 =(1)243(4)=49 >0,deuxsolutions: x 1=bp 2a=1 x 2=b+p 2a=43

4x25=07x2+3x=03(x1)(x+2)=0

Propriété1

x1+x2=baetx1x2=ca. x0+x0=baetx0x0=ca.

Seconddegrépage2/4

Preuve

x1+x2=bp

2a+b+p

2a=2b2a=baetx1x2=bp

2ab+p

2a=b24a2=4ac4a2=ca.

Lecalculesttrivialpourledeuxièmecas.

a=4alors4est

3Factorisationetsignedutrinôme

3.1Factorisationdutrinôme

Théorème2Notonsf(x)=ax2+bx+c,a6=0

-Lorsque=0,f(x)=ax+b 2a

2estlaformefactoriséedef(x).

formefactoriséedef(x).

3.2Signedutrinôme

Théorème3

1.Lorsque<0,f(x)esttoujoursdusignedea.

2aauquelcasf(x)=0.

dea.

Preuve

-Cas<0:laformecanoniquedef(x)estahx+b2a 24a2i
.Comme<0lenombreentre 2a 2i doncf(x)estdusignedeasaufpourx=b2a oùilestnul. suivant: x1x1x2+1 asignedeasignedeasignedea xx10++ xx20+ (xx1)(xx2)+00+ f(x)signedea0signedea0signedea

4Fonctiontrinômeduseconddegré

Théorème4

lebas"sia<0.Sonsommetapourabscisseb courbe.

Seconddegrépage3/4

Preuve

détailléeencours. commun. points.

Letableausuivantillustrelescaspossibles:

>0=0<0 signedef(x)

00signedea

signede-ax 1x1 0 x

0signedea

signedea courbespoura>0xy Ox1x2 b2a f(b 2a) xy

Ox0=b2axy

Ob2af(b

2a) courbespoura<0xy

Ox1x2b2af(b

2a) xy O x0=b2axy O b2a f(b 2a)

Seconddegrépage4/4

quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

[PDF] Équations et inéquations du second degré

1.1Dénition,vocabulaire

2+bx+c.

1.OnsouhaiterésoudredansR,3x25x4=0.

Posonsf(x)=3x25x4,alorspourtoutréelx,

3xestledébutd'uncarré,carx253x=x56

22536.

Ainsipourtoutréelx,

2253643i

27336i

6ouàx=5p

6.Deplusonaobtenuunefactorisation

2.OnsouhaiterésoudredansR,2x2+3x+4=0.

Ainsipourtoutréelx,

2916+2i

2+2316i

1.2.2Casgénéral

Posonsf(x)=ax2+bx+c,a6=0.

1.1ereétape:Formecanoniquedef(x)

Puisquea6=0,f(x)=ax2+b

2b24a2carx2+baxestledébutdu

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Doncf(x)=ahx+b2a

2b24a2+cai

2b24a2+4ac4a2i

2b24ac4a2i

2.1iemeétape:Résolution

Onpose=b24ac,ainsif(x)=ahx+b

2,ainsif(x)=0équivautàax+b2a

2=0équivautàx+b2a=0

Sil'onposex1=bp

2aetx2=b+p

2a,alorsf(x)=a(xx1)(xx2).

Dénition1

2+bx+c.Onlenote(lire"delta").

2.L'expressionahx+b

Lorsque<0,l'équationn'apasderacine.

Lorsque=0,l'équationauneracine,b

2a;x2=b+p

2434948=0

2a=712.

4x25=07x2+3x=03(x1)(x+2)=0

Propriété1

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Preuve

2a+b+p

2a=2b2a=baetx1x2=bp

2a=b24a2=4ac4a2=ca.

Lecalculesttrivialpourledeuxièmecas.

3Factorisationetsignedutrinôme

3.1Factorisationdutrinôme

Théorème2Notonsf(x)=ax2+bx+c,a6=0

2estlaformefactoriséedef(x).

3.2Signedutrinôme

Théorème3

1.Lorsque<0,f(x)esttoujoursdusignedea.

2aauquelcasf(x)=0.

Preuve

4Fonctiontrinômeduseconddegré

Théorème4

Seconddegrépage3/4

Preuve

Letableausuivantillustrelescaspossibles:

00signedea

0signedea

Ox0=b2axy

Ob2af(b

Ox1x2b2af(b

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