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Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 05 - Denombrement05.1Un jeu comporte 32 cartes (4 couleurs, 8 cartes par couleur). Une main est constituee de 8 cartes non

ordonnees. 1.

Q uele stl en ombred emai nsp ossibles?

2. Com biende mai nscon tiennentau moi nsu nc urou u ned ame? 3. Com bienne con tiennentp asp lusde de uxcou leurs? 4.

Com biende mai nscon tiennentl esq uatreAs ?

5.

Com biende mai nscon tiennentq uatret re

esd ontl ad ame? 6.

Com biende mai nsn econ tiennentp asd ec ur?

7.

Com biende mai nscon tiennentau pl ust roisc arreaux?1.Une mai ncor respond au nec ombinaisonde 8 c artespar mil es32 p ossibles,c aron l esc hoisits imultanement,

donc il n'y a pas d'ordre intervenant. Il y a donc nalement 32

8mains possibles.

2. Not onsAl'ensemble des mains contenant au moins un cur et notonsBl'ensemble des mains contenant au moins une dame. On chercheCard(A[B). Or, l'evenement contraire estA[B=A\B.

Combien vautCard(A\B)?

On cherche donc les mains qui ne contiennent aucun cur et aucune dame. Il y a 21 cartes repondant a cette condition, le nombre de mains possibles est donc21 8

AinsiCard(A\B) =21

8, doncCard(A[B) =32

821
8 3. O nc hercheCard(A[B) ouAdesigne l'ensemble des mains contenant exactement une couleur, etB

designe l'ensemble des mains contenant exactement deux couleurs. Ces deux ensembles etant disjoints, on

aCard(A[B) =Card(A) +Card(B).

PourCard(A), on choisit une couleur (4 possiblites), puis pour cette couleur, il n'y a qu'une possibilite :

prendre toutes les cartes de la couleur. AinsiCard(A) = 4. PourCard(B), on commence par choisir les deux couleurs (4

2= 6 possibilites), puis une fois que les deux

couleurs sont choisies, on peut faire n'importe quelle main avec les 16 cartes de ces deux couleurs, sauf les

deux mains ne comprenant qu'une seule couleur : Il y a donc

Card(B) =4

2 16 8 2

Ainsi Le nombre cherche est :

Card(A) +Card(B) =4 + 6

16 8

24.Il su td oncde c hoisirl es4 au trescar tes,par mil es28 p ossibles.Il y a don c

28

4possibilites.

5.

Il fau tc hoisirl adam ed et re

e: u nep ossibilite.P uis,i lf autc hoisirl est roisau trest re es: 7

3possibilites.

Puis, il faut choisir les quatre autre cartes parmi les 24 qui ne sont pas des tre es :24 4 possibilites.

Finalement le nombre de possibilites est

7 3 24
4.

2010-2011 Lycee du Parc 1/7

Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 05 - Denombrement6.Il su td oncde c hoisir8 c artesp armile s24 q uine son tp asde sc urs,i ly a d onc

24

8possibilites.

7. O ns eparel esm ainscon tenantau pl ust roiscar reauxen pl usieursgr oupes: l esmai nsq uin econ tiennentau cunc arreau: i ly a 24 8 possibilites.

l esmai nsq uicon tiennentex actementu ncar reau: on c hoisitu ncar reau,pu ison c hoissitl es7 au tres

cartes, il y a8 1 24
7 possibilites.

l esm ainsq uic ontiennente xactementd euxcar reaux: on c hoisitl esd euxcar reaux,pu ison c hoisitl es6

autres cartes, il y a8 2 24
6 possibilites

l esmai nsqu ic ontiennentex actementt roiscar reaux: on c hoisitl est roisc arreaux,p uison c hoisitl es5

autres cartes, il y a8 3 24
5 possibilites.

Ainsi le nombre de possibilites est :

24
8 +8 1 24
7 +8 2 24
6 +8 3 24

505.2On dispose de 10 livres, dont 4 de maths et 4 d'economie.

1. Com bieny a-t -ilde fa consd er angerle sl ivress uru ne etagere? 2.

Com bieny a-t -ild efa consd esor teq uel esl ivresd emat hsr estentgrou pes?et q u'al af oisl esl ivresd e

maths et les livres d'economie restent groupes? 3.

Com bieny a-t -ilde fa consd er angerl esli vressu rl 'etagere,de sor teq uel es8 li vresde mat hsou economie

restent groupes ensemble, mais en alternant?1.Ran gerl es10 l ivressu rl 'etagerer evient ac hoisiru nep ermutationde s10 l ivres( ordonnert ousl esl ivres),

il y a donc 10! possibilites. 2.

O nagit d' abordc ommesi le sli vresde mat hsfor maientu ngr osl ivre: on d oitdon csi mplementc hoisir

un ordre entre 7 livres (les 6 livres et le bloc "maths") : il y a 7! possibilites. Une fois cet ordre choisi, on

ordonne les 4 livres de maths a l'interieur du bloc de maths, il y a 4! possibilites.

Au nal, il y a 7!4! possibilites.

Si on souhaite que les livres de maths restent groupes, on agit d'abord comme si les livres de maths

formaient un gros livre et de m^eme pour l'economie : on doit donc simplement choisir un ordre entre 4

livres (le bloc "maths", le bloc "economie", et les deux livres restants) : il y a 4! possibilites. Une fois cet

ordre choisi, on ordonne les 4 livres de maths a l'interieur du bloc de maths, il y a 4! possibilites, puis on

ordonne les 4 livres d'economie a l'interieur du bloc d'economie, il y a 4! possibilites.

Au nal, il y a 4!4!4! possibilites.

3. O nagi td' abordc ommesi l esl ivresd emat hs/ecof ormaientu ngros li vre: on d oitd oncsi mplement

choisir un ordre entre 3 livres (le bloc "maths/eco" et les deux livres restants) : il y a 3! possibilites.

Une fois cet ordre choisi, on choisit le 1er livre du groupe maths/eco : il y a 8 possibilites, le choix du

premier livre determine l'alternance maths/economie pour les livres suivants. Le deuxieme livre a 4 pos-

sibilites (dans l'autre categorie), puis les livres ont respectivement 3;3;2;2;1;1 possibilites. Au nal, il y

a 3!843322 = 23!4!4! possibilites.

2010-2011 Lycee du Parc 2/7

Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 05 - Denombrement05.3Un tiroir contient 5 paires de chaussettes noires, 3 paires vertes et 3 paires rouges. Chaque paire de

chaussettes contient un pied droit et un pied gauche. On choisit simultanement 2 chaussettes au hasard dans le

tiroir. 1.

Com bieny a-t -ilde t iragesp ossibles?

2. Com biende t iragesam enentd euxc haussettesn oires?de uxc haussettesde m ^emecou leur? 3. Com biende t iragesam enentd euxpi edsgauc hes?un pi edgau chee tun pi edd roit? 4.

Com biende t iragesp ermettentd er econstitueru nepai red ec haussettesnoi res?1.Il y a 10 c haussettesn oires,6 v ertese t6 rou ges.O nc hoisirs imultanement2 c haussettesau has ardp armi

les 22 possibles, il y a donc22

2=22212

= 1121 possibilites. 2. Com biende t iragesam enentd euxc haussettesn oires? Il sut de choisir deux chaussettes parmi les 10 noires :10

2= 45 possibilites.

Combien de tirages avec deux chaussettes de m^eme couleur?

1er cas : les tirages avec deux chausettes noires : 45 possibilites

2eme cas : les tirages avec deux chaussettes vertes :6

2= 15 possibilites

3eme cas : les tirages avec deux chaussettes rouges :6

2= 15 possibilites

Ainsi, il y a au nal 45 + 15 + 15 = 75 possibilites. 3. Il y a ex actement11 p airesde c haussettesen t out,d onc11 c haussettesgau ches.Il y a don c11 2= 55 possibilites.

Il y a exactement 11 chaussettes gauches, et 11 chaussettes droites. Pour eectuer un tel tirage, il faut

choisir 1 chaussette gauche (11 possibilites), puis choisir 1 chaussette droite (11 possibilites). Il y a donc

11

2= 121 possibilites.

4.

P ourr econstituerun ep aired ec haussettesnoi res,i lf autc hoisiru np iedgauc henoi ret u npi edgau che

noir. Il y a 5 chaussettes gauches noires et 5 chaussettes droites noires, il y a donc 25 tirages qui permettent

de reconstituer une paire de chaussettes noires.05.4Une urne contient 5 boules blanches et 8 boules noires, a priori indiscernables l'une de l'autre. On tire

successivement 6 boules dans l'urne avec remise. Un resultat est une succession de boules blanches et noires.

1.

Com biende r esultatson t:

(a)

5 b oulesnoi reset 1 b ouleb lanchedan sc etor dre?

(b) au p lus1 b oulen oire? (c)

3 b oulesb lancheset 3 b oulesn oires?

(d) au moi ns1 b oulebl anche? 2.

M ^emesq uestionsa vecde st irages:

su ccessifssan sr emise. su ccessifsa vecr emise,b oulesn umerotees( discernables) su ccessifssan sr emise,b oulesn umerotees si multanement,b oulesn umerotees.2010-2011 Lycee du Parc 3/7

Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 05 - Denombrement1.Si l est iragesson tsu ccessifsa vecre miseet si l esb ouless onti ndiscernables,u nr esultates tun esu ited e

"Noir" et "Blanc" : L'ensembleEde tous les tirages possibles est donc l'ensembleE=fN;Bg6, ensemble des 6-listes de l'ensemblefN;Bg. En particulier, on aCard(E) = 26. (a) Soi tA1l'ensemble des resultats obtenant 5 boules noires puis 1 boule blanche. AlorsCard(A1) = 1 puisqueAne contient qu'un element : le tirage (N;N;N;N;N;B). (b) S oitA2l'ensemble des resultats ayant au plus 1 boule noire. AinsiA2=C[DouCdesigne l'ensemble des resultats ayant exactement 0 boule noire etDceux ayant exactement 1 boule noire. Card(C) = 1 puisqueCne contient que l'element (B;B;B;B;B;B). De plus, pour choisir un element deDqui contient une boule noire (et donc cinq boules blanches), il sut de choisir la place de la boule noire : il y a6

1= 6 elements dansD.

Au nal, on a doncCard(A2) = 1 + 6 = 7.

(c) S oitA3l'ensemble des resultats ayant 3 boules blanches et 3 boules noires. Pour choisir un element deA3, il sut de choisir la place des 3 boules blanches sur les 6 places possibles : il y a6 3= 20 possibilites. AinsiCard(A3) = 20. (d) S oitA4l'ensemble des resultats ayant au moins une boule blanche. Alors le complementaire de cet ensemble estA

4: l'ensemble des resultats n'ayant aucune boule blanche.A

4ne contient qu'un seul

element qui est (N;N;N;N;N;N), doncCard(A

4) = 1. On en deduit queCard(A4) =Card(E)

Card(A

4) = 261.

2.

Si l est iragesson tsu ccessifss ansre misee tsi l esb oulesson ti ndiscernables,u nr esultates tu nesu itede

6 "Noir" ou "Blanc" ne pouvant pas contenir plus de 5 boules blanches. L'ensembleEde tous les tirages

possibles est donc l'ensembleE=fN;Bg6n f(B;B;B;B;B;B)g, qui est de cardinal 261. (a) Soi tA1l'ensemble des resultats obtenant 5 boules noires puis 1 boule blanche. AlorsCard(A1) = 1 puisqueAne contient qu'un element : le tirage (N;N;N;N;N;B). (b) S oitA2l'ensemble des resultats ayant au plus 1 boule noire. AinsiA2=C[DouCdesigne l'ensemble des resultats ayant exactement 0 boule noire etDceux ayant exactement 1 boule noire. Card(C) = 0 puisqu'aucun resultat ne peut contenir 6 boules blanches. Pour choisir un element de Dqui contient une boule noire (et donc cinq boules blanches), il sut de choisir la place de la boule noire : il y a6

1= 6 elements dansD.

Au nal, on a doncCard(A2) = 0 + 6 = 6.

(c) S oitA3l'ensemble des resultats ayant 3 boules blanches et 3 boules noires. Pour choisir un element deA3, il sut de choisir la place des 3 boules blanches sur les 6 places possibles : il y a6 3= 20 possibilites. AinsiCard(A3) = 20. (d) S oitA4l'ensemble des resultats ayant au moins une boule blanche. Alors le complementaire de cet ensemble estA

4: l'ensemble des resultats n'ayant aucune boule blanche.A

4ne contient qu'un seul

element qui est (N;N;N;N;N;N), doncCard(A

4) = 1. On en deduit queCard(A4) =Card(E)

Card(A

4) = (261)1 = 262.

3.

Si l est iragess ontsu ccessifsa vecr emiseet si l esb oulesson tn umerotees,un r esultates tu nesu itede 6 ele-

ments de l'ensemblefN1;N2;N3;N4;N5;N6;N7;N8;B1;B2;B3;B4;B5g. L'ensembleEde tous les tirages

possibles est donc l'ensemble des 6-listes de cet ensemble contenant 13 elements. On a doncCard(E) = 136.

(a) Soi tA1l'ensemble des resultats obtenant 5 boules noires puis 1 boule blanche. Il faut choisir suc-

cessivement chacune des boules noires (8 possibilites a chaque fois), puis choisir la boule blanche (5

possibilites). Ainsi,Card(A1) = 855. (b) S oitA2l'ensemble des resultats ayant au plus 1 boule noire. AinsiA2=C[DouCdesigne l'ensemble des resultats ayant exactement 0 boule noire etDceux ayant exactement 1 boule noire. Pour choisir un element deC, il sut de choisir successivement 6 boules blanches (avec repetition possible), on a doncCard(C) = 56. Pour choisir un element deDqui contient une boule noire (et donc cinq boules blanches), on commence par choisir la place de la boule noire (il y a6 1= 6

2010-2011 Lycee du Parc 4/7

Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 05 - Denombrementpossibilites), puis on choisit quelle sera la boule noire (il y a 8 possibilites), puis on choisit les 5 boules

blanches qui completent le resultat (5 poossibilites pour chaque boule).

Au nal, on a doncCard(A2) = 56+ 6855= 5553

(c) S oitA3l'ensemble des resultats ayant 3 boules blanches et 3 boules noires. Pour choisir un element deA3, on commence par choisir la place des 3 boules blanches sur les 6 places possibles : il y a6

3= 20 possibilites. Puis, on choisit successivement quelles sont les 3 boules blanches (5 possibilites

a chaque fois), enn on choisit sucessivement quelles sont les 3 boules noires (8 possibilites a chaque

fois). Au nal, on aCard(A3) = 205383. (d) S oitA4l'ensemble des resultats ayant au moins une boule blanche. Alors le complementaire de cet ensemble estA

4: l'ensemble des resultats n'ayant aucune boule blanche. Pour choisir un element

deA

4, il sut de choisir 6 boules noires successivement, doncCard(A

4) = 86. On en deduit que

Card(A4) =Card(E)Card(A

4) = 13686.

4.

Si l est iragesson tsu ccessifss ansr emiseet si l esb oulesson tn umerotees,u nr esultates tu nes uited e

6 elements distincts de l'ensemblefN1;N2;N3;N4;N5;N6;N7;N8;B1;B2;B3;B4;B5g. L'ensembleEde

tous les tirages possibles est donc l'ensemble des 6-arrangements de cet ensemble contenant 13 elements.

On a doncCard(E) =A613= 1312111098.

(a)

Soi tA1l'ensemble des resultats obtenant 5 boules noires puis 1 boule blanche. Il faut choisir 5 boules

noires dans l'ordre et sans remise(A58= 87654 possibilites), puis choisir la boule blanche (5 possibilites). Ainsi,Card(A1) =A585. (b) S oitA2l'ensemble des resultats ayant au plus 1 boule noire. AinsiA2=C[DouCdesigne l'ensemble des resultats ayant exactement 0 boule noire etDceux ayant exactement 1 boule noire. Pour choisir un element deC, il sut de choisir successivement 6 boules blanches sans repetition : ce n'est pas possible puisqu'il n'y a que 5 boules blanches, on a doncCard(C) = 0. Pour choisir un element deDqui contient une boule noire (et donc cinq boules blanches), on commence par choisir la place de la boule noire (il y a6

1= 6 possibilites), puis on choisit quelle sera la boule noire (il y a

8 possibilites), puis on choisit l'ordre des 5 boules blanches qui doivent toutes appara^tre une et une

seule fois, (5! poossibilites au total).

Au nal, on a doncCard(A2) = 685! = 86!

(c)

S oitA3l'ensemble des resultats ayant 3 boules blanches et 3 boules noires. Pour choisir un element de

A

3, on commence par choisir la place des 3 boules blanches sur les 6 places possibles : il y a6

3= 20 possibilites. Puis, on choisit successivement quelles sont les 3 boules blanches dans l'ordre (543 possibilites), enn on choisit sucessivement quelles sont les 3 boules noires (876 possibilites).

Au nal, on aCard(A3) = 20876543 = 108!.

(d) S oitA4l'ensemble des resultats ayant au moins une boule blanche. Alors le complementaire de cet ensemble estA

4: l'ensemble des resultats n'ayant aucune boule blanche. Pour choisir un element deA

4, il sut de choisir 6 boules noires successivement sans remise, doncCard(A

4) = 87 3.

On en deduit queCard(A4) =Card(E)Card(A

4) =A613A68.

5.

Si l est iragess ontsi multaneset si l esb oulesson tn umerotees,un r esultates tu ne nsembled e6 elements

distincts de l'ensemblefN1;N2;N3;N4;N5;N6;N7;N8;B1;B2;B3;B4;B5g. L'ensembleEde tous les ti-

rages possibles est donc l'ensemble des 6-combinaisons de cet ensemble contenant 13 elements. On a donc

Card(E) =13

6. (a) Soi tA1l'ensemble des resultats obtenant 5 boules noires et 1 boule blanche (il n'y a plus d'ordre possible ici). Il faut choisir 5 boules noires parmi les 8 possibles (8 5=8

3= 56 possibilites), puis

choisir la boule blanche (5 possibilites). Ainsi,Card(A1) = 565. (b) S oitA2l'ensemble des resultats ayant au plus 1 boule noire. AinsiA2=C[DouCdesigne l'ensemble des resultats ayant exactement 0 boule noire etDceux ayant exactement 1 boule noire. Pour choisir un element deC, il sut de choisir une poignee 6 boules blanches dans l'urne : ce n'est pas possible puisqu'il n'y a que 5 boules blanches, on a doncCard(C) = 0. Pour choisir un

2010-2011 Lycee du Parc 5/7

Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 05 - Denombrementelement deDqui contient une boule noire (et donc cinq boules blanches), on choisir la boule noire

(8 possibilites), puis on choisit la poignee de 5 boules blanches, (5

5= 1 poossibilite).

Au nal, on a doncCard(A2) = 8

(c) S oitA3l'ensemble des resultats ayant 3 boules blanches et 3 boules noires. Pour choisir un element deA3, on choisit les 3 boules blanches parmi les 5 possibles (5 3=5

2= 10 possibilites), puis on

choisit les 3 boules noires parmi les 8 possibles(8

3= 56 possibilites). Au nal, on aCard(A3) = 560.

(d) S oitA4l'ensemble des resultats ayant au moins une boule blanche. Alors le complementaire de cet ensemble estA

4: l'ensemble des resultats n'ayant aucune boule blanche. Pour choisir un element deA

4, il sut de choisir 6 boules noires dans l'urne, doncCard(A

4) =8 6=8

2= 28. On en deduit

queCard(A4) =Card(E)Card(A

4) =13

628.05.5Dans une assemblee denmembres, on doit designer un bureau depmembres, dont une personne doit

^etre le president. 1. Com biende bu reauxp eut-ond esigner( sansc onsidererl epr esident)? 2. O nd esigned' abordl ebu reau,p uisl ep residentpar mil ebu reau.C ombieny a- t-ilde c hoixd ebu - reau+president? 3.

O nd esigned 'abordl ep resident,pu isl esp ersonnesq uil 'accompagnentd ansle bu reau.Com bieny t -t-il

de choix bureau+president? 4.

Q uellei dentitea-t -ond emontre?1.Un b ureaue stu ne nsembled eppersonnes parmi lesnpossibles. Il y a doncn

p bureaux possibles. 2.

O nc hoisitd 'abordl eb ureau: i ly a

n ppossibilites. Puis, une fois le bureau choisi, on choisit un president parmi lespmembres du bureau : il y a doncppossibilites pour le choix du president au sein du bureau.

Au nal, il y a doncpn

ppossibilites pour le choix bureau+president. 3.

O nc hoisitd' abordl ep residentdan sl' assemblee: i ly a npossibilites. Puis, une fois le president choisi,

il nous faut choisir lesp1 personnes qui vont l'accompagner dans le bureau, on doit choisir cesp1 personnes parmi lesn1 personnes restantes dans l'assemblee. Il y a doncnn1 p1possibilites pour le choix bureau+president. 4.

Le nom bred ep ossibilitesb ureau+presidentn edoi ta p rioripas d ependred ece q u'onc hoisite np remier:

bureau puis president, ou l'inverse president puis bureau. Ainsi, les deux nombres trouves dans les questions

2 et 3 doivent ^etre egaux :

pn p =nn1 p1

On a donc retrouve que

n p =np n1 p105.6Soitn>2. On a un ensembleEdenpersonnes. Chacune envoie une lettre et une seule a l'une des n1 autres personnes. 1.

Com bieny a-t -ilde si tuationsp ossibles?

2. Zo ees tu ned ec esp ersonnes.P ourt outj2J0;n1K, determiner le nombre total de situations possibles ou Zoe recoit exactementjlettres. Quelle identite a-t-on demontre?2010-2011 Lycee du Parc 6/7 Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 05 - Denombrement1.P ourc hoisirun es ituation: on c hoisit aqu il ap ersonne1 a e nvoyes al ettre: el lea vaitn1 possibilites p uis,on c hoisit aq uil ap ersonne2 a en voyesa l ettre: el lea vaitn1 possibilites p uis,on c hoisit aq uil ap ersonnena envoye sa lettre : elle avaitn1 possibilites

Au nal, il y a donc (n1)nsituations possibles.

2. O nse x ej2J0;n1K. NotonsAjl'ensemble des situations ou Zoe recoit exactementjlettres. Pour choisir une situation de l'ensembleAj, : on c hoisitqu ellesson tl esjpersonnes qui ont envoye une lettre a Zoe : il y an1 jpossibilites.

P uis,p ourc hacuned ec esjpersonnes, elle n'ont qu'une possibilite pour envoyer leur lettre : a Zoe.

P uis,p ourl esn1jautres personnes (qui ne sont pas Zoe et qui n'ont pas envoye a Zoe), chacune a envoye une lettre a quelqu'un qui n'est pas Zoe, chacune de ces personnes avait doncn2 possibilites. E nn,Zo een voiesa l ettre au ned esn1 personnes : il y an1 possibilites.

Au nal,Card(Aj) =n1

j(n2)n1j(n1).

Clairement, siEdesigne l'ensemble des situations possibles, on a (A0;A1;:::;An1) qui forme une parti-

tion de l'ensembleE. Ainsi

Card(E) =n1X

j=0Card(Aj) autrement dit(n1)n=n1X j=0 n1 j (n2)n1j(n1)Remarquons que cette identite est bien vraie d'apres le bin^ome de Newton. En eet : n1X j=0 n1 j (n2)n1j(n1) = (n1)n1X j=0 n1 j 1 j(n2)n1j= (n1)(n2+1)n1= (n1)n

2010-2011 Lycee du Parc 7/7

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