[PDF] [PDF] Brevet mathématiques métropole 2010 - Epsilon 2000

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3ème 2010 - Métropole

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ENONCE

Activités numériques

Exercice 1

On considère le programme de calcul ci-dessous :

Choisir un nombre de départ

Multiplier ce nombre par

( 2)

Ajouter 5 au produit

Multiplier le résultat par 5

Ecrire le résultat obtenu

1) a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.

b) Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ?

2) Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le nombre obtenu soit 0 ?

3) Arthur prétend que, pour n'importe quel nombre de départ x, l'expression

22( 5)xx

permet d'obtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?

Exercice 2

L'eau en gelant augmente de volume. Le segment de droite ci-dessous représente le volume de glace (en

litres) obtenu à partir d'un volume d'eau liquide (en litres).

1) En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :

a) Quel est le volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide ? b) Quel volume d'eau liquide faut-il mettre à geler pour obtenir 10 litres de glace ?

2) Le volume de glace est-il proportionnel au volume d'eau liquide ? Justifier.

3) On admet que 10 litres d'eau donnent 10,8 litres de glace. De quel pourcentage ce volume d'eau

augmente-t-il en gelant ?

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Activités géométriques

Exercice 1

Dans la figure ci-contre :

ABCD est un carré de côté 9 cm ;

Les segments de même longueur sont

codés.

1) Faire une figure en vraie grandeur.

2) a) Calculer JK.

b) L'octogone IJKLMNOP est-il un octogone régulier ? Justifier la réponse. c) Calculer l'aire de l'octogone IJKLMNOP.

3) Les diagonales du carré ABCD se coupent en S.

a) Tracer sur la figure en vraie grandeur le cercle de centre S et de diamètre 9 cm.

b) Le disque de centre S et de diamètre 9 cm a-t-il une aire supérieure à l'aire de l'octogone ? Justrifier

la réponse.

Exercice 2

SABC est une pyramide à base triangulaire ABC

telle que :

2AB cm

4,8AC cm

5,2BC cm

La hauteur SA de cette pyramide est 3 cm.

1) Dessiner en vraie grandeur le triangle ABC à partir des deux points B et C donnés sur l'annexe 1.

2) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

3) On veut construire un patron en vraie grandeur

de la pyramide SABC. Le début de ce patron est dessiné ci-contre à main levée. Compléter le dessin de la feuille annexe 1 pour obtenir le patron complet, en vraie grandeur de la pyramide.

4) Calculer le volume de SABC en

3cm On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule : 1

3V B h

, où B est l'aire d'une base et h la hauteur associée.

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Problème

Une entreprise doit rénover un local.

Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40 m, la largeur est 5,20 m et la

hauteur sous plafond est 2,80 m.

Il comporte une porte de 2 m de haut sur 0,80 m de large et trois baies vitrées de 2 m de haut sur 1,60 m

de large.

Première partie :

Peinture des murs et du plafond

Les murs et le plafond doivent être peints. L'étiquette suivante est collée sur les pots de la peinture

choisie.

1) a) Calculer l'aire du plafond.

b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre le plafond ?

2) a) Prouver que la surface de mur à peindre est d'environ 54 m².

b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre les murs ?

3) De combien de pots de peinture l'entreprise doit-elle disposer sur ce chantier ?

Peinture pour murs et plafond

Séchage rapide

Contenance : 5 litres

Utilisation recommandée :

1 litre pour 4 m²

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Deuxième partie :

Pose d'un dallage sur le sol

1) Déterminer le plus grand diviseur commun à 640 et 520.

2) Le sol du local doit être entièrement recouvert par des dalles carrées de même dimension. L'entreprise

a le choix entre des dalles dont le côté mesure 20 cm, 30 cm, 35 cm, 40 cm ou 45 cm.

a) Parmi ces dimensions, lesquelles peut-on choisir pour que les dalles puissent être posées sans

découpe ? b) Dans chacun des cas trouvés, combien faut-il utiliser de dalles ?

Troisième partie :

Coût du dallage

Pour l'ensemble de ses chantiers, l'entreprise se fournit auprès de deux grossistes. Les tarifs proposés pour

des paquets de 10 dalles sont :

1) Quel est le prix pour une commande de 9 paquets :

a) avec le grossiste A ? b) avec le grossiste B ?

2) Exprimer en fonction du nombre n de paquets :

a) Le prix AP en euros d'une commande de n paquets avec le grossiste A ; b) Le prix BP en euros d'une commande de n paquets avec le grossiste B.

3) a) Représenter graphiquement chacun de ces deux prix en fonction de n dans le repère donné sur la

feuille annexe 2. b) Quel est, selon le nombre de paquets achetés, le tarif le plus avantageux ?

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Feuille annexe 1 : à rendre avec la copie

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Feuille annexe 2 : à rendre avec la copie

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CORRIGE

ACTIVITES NUMERIQUES

Exercice1

1) a)

2 ( 2) 4

4 5 1 1 5 5 u

Quand le nombre de départ est 2, on obtient 5.

b)

3 ( 2) 6

6 5 1 1 5 5 u

Quand le nombre de départ est 3, on obtient

5

2) 1ère méthode : en "remontant" le programme de calcul :

0:5 0 0 5 5

5:( 2) 2,5

2ème méthode : en résolvant une équation

On appelle x le nombre choisi au départ. En appliquant le programme de calcul à x, on obtient successivement : 22
25

5 ( 2 5) 10 25

xx x xx u

On veut obtenir 0, donc on doit avoir

10 25 0x

10 25 25 0 25

10 25

252,510

x x x Il faut donc choisir 2,5 au départ pour obtenir 0. 3)

2 2 2 2 2 2 2( 5) 2 5 5 10 25 10 25x x x x x x x x x

Les calculs obtenus à la question 2 (2ème méthode) prouvent qu'Arthur a raison.

Exercice 2

1) a) A partir de 6 litres de liquide, on peut obtenir 6,5 litres de glace.

b) Pour obtenir 10 litres de glace, il faut geler 9,25 litres d'eau environ.

2) Le volume de glace est proportionnel au volume d'eau liquide car la représentation graphique est une

droite passant par l'origine. 3)

10,8 10 0,8

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En gelant, le volume d'eau augmente de 0,8 L.

0,8100 810

Le volume d'eau augmente de 8% en gelant.

ACTIVITES GEOMETRIQUES

Exercice 1

2) a) JBK est un triangle rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore :

2 2 2 2 2 2 2 33
18 18

JB BK JK

JK JK JK

b) L'octogone IJKLMNOP n'est pas régulier car tous ses côtés ne sont pas de la même longueur (

IJ JK car

3IJ cm

et

18JK cm

c) ( ) ( ) 4 ( )Aire IJKLMNOP Aire ABCD Aire JBK

2( ) 9 9 81Aire ABCD cm

233( ) 4,522

JB BKAire JBK cm

donc

2( ) 81 4 4,5 63Aire IJKLMNOP cm

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3) a) Voir figure

b) Le disque a un rayon de 4,5 cm.

224,5 63,6Airedu disque cm u |

L'aire du disque est donc supérieure à l'aire de l'octogone.

Exercice 2

1)

2) Dans le triangle ABC, [BC] est le côté le plus long.

22

2 2 2 2

5,2 27,04

2 4,8 4 23,04 27,04

BC AB AC donc

2 2 2BC AB AC

. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle

ABC est rectangle en A.

3) Voir figure.

4)

1()3SABCV Aire BAC AS

22 4,8( ) 4,822

AB ACAire BAC cm

314,8 3 4,83SABCV cm

Le volume de la pyramide mesure

34,8cm

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PROBLEME

Première partie

1) a)

6,4 5,2 33,28

L'aire du plafond mesure

233,28m

b)

33,28:4 8,32

Il faut 8,32 L de peinture pour peindre le plafond. 2) a)

2(6,4 5,2 6,4 5,2) 2,8 23,2 2,8 64,96Airelatérale m

20,80 2 1,6Airedela porte m

2' 1,60 2 3,2Aired unebaievitrée m

264,96 1,6 3 3,2 53,76Airedela surfaceà peindre m

donc l'aire de la surface à peindre vaut environ 254m
b)

53,76:4 13,44

il faut 13,44 L de peinture pour peindre les murs (13,5 L si on prend 254m
3)

8,32 13,44 21,76

21,76:5 4,352

Il faut 5 pots de peinture pour ce chantier.

Deuxième partie

1) On utilise l'algorithme d'Euclide :

640 520 1 120

520 120 4 40

120 40 3 0

u u donc (640;520) 40PGCD

2) a) Pour que les dalles puissent être posées sans découpe, le côté du carré doit être un diviseur commun

à 640 et 520. On peut donc choisir des dalles de 20 cm ou 40 cm de côté. b)

640:20 32

520:20 26

32 26 832

Si les dalles mesurent 20 cm de côté, il en faut 832.

640:40 16

520:40 13

16 13 208

Si les dalles mesurent 40 cm, il en faut 208.

Troisième partie

1) Pour 9 paquets :

a) Grossiste A : b) Grossiste B :

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2) Pour n paquets :

a) 48APn
b)

42 45BPn

3) a) b) Les droites se coupent pour 7,5n

Jusqu'à 7 paquets, le tarif A est le plus avantageux. A partir de 8 paquets, le tarif B est le plus avantageux.

Tarif A

Tarif B

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