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Brevet - 1 - C. Lainé

Liban juin 2010

CORRECTION DU BREVET 2010

Troisième Liban

I - ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

Exercice 1

1) On choisit 5 comme nombre ; on lui soustrait 7, on obtient alors

2- car 5 7 2- = -.

Ensuite, on calcule le carré de

2-, on obtient le nombre 4.

Donc, en choisissant le nombre 5 au départ, le programme B donne le nombre 4

2) On choisit 2- comme nombre ; on lui ajoute 5, on obtient alors 3.

Ensuite, on calcule le carré de 3, on obtient le nombre 9. Donc, en choisissant le nombre 2---- au départ, le programme A donne le nombre 9.

3) a) Soit x le nombre choisi. Après avoir ajouté 5, on obtient 5x+. Puis, on calcule le carré

de ce nombre, ce qui donne 25x+.
On est alors amené à résoudre l"équation

25 0x+ =.

Or

25 0x+ = équivaut à 5 0x+ =, c"est-à-dire à 5x= -.

Donc il faut choisir le nombre

5---- pour que le résultat du programme A soit 0.

b) Soit y le nombre choisi. Après avoir soustrait 7, on obtient 7y-. Puis, on calcule le carré

de ce nombre, ce qui donne 27y-.
On est alors amené à résoudre l"équation

27 9y- =.

Or

27 9y- = équivaut à 7 3y- = - ou 7 3y- =, c"est-à-dire à 3 7 4y= - + = ou

3 7 10y= + =.

Donc il faut choisir les nombres 4 ou 10 pour que le résultat du programme B soit 9.

4) Pour obtenir le même résultat avec les deux programmes, on est amené à résoudre

l"équation

2 25 7x x+ = -.

Or

2 25 7x x+ = - équivaut à 2 210 25 14 49x x x x+ + = - +, c"est-à-dire à

10 14 49 25x x+ = -, ou encore à 24 24x=. Donc ()()

2 25 7x x+ = - équivaut à 24124x= =.

Il faut donc choisir le nombre 1 pour que les deux programmes donnent le même résultat.

Exercice 2

1) Il y a 20 boules dans le sac. Comme chacune de ces boules a la même probabilité d"être

tirée, alors la probabilité que la boule tirée soit rouge est égale à 10

20, c"est-à-dire à 1

2.

2) Il y a 10 boules noires ou jaunes dans ce sac. Donc la probabilité que la boule tirée soit

noire ou jaune est égale à 10

20, c"est-à-dire à 1

2.

3) La somme des deux probabilités trouvées dans les deux questions précédentes est

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égale à 1. En effet,

1 112 2+ =.

Le résultat était prévisible car la réunion des deux événements précédents " obtenir

une boule rouge » et " obtenir une boule noire ou jaune » est égale à l"univers de l"expérience.

4) Soit x le nombre de boules bleues. Il y a alors 20x+ boules dans ce sac.

Comme chacune de ces boules a la même probabilité d"être tirée, alors la probabilité de tirer

une boule bleue est égale à 20 x x+.

Comme cette probabilité est égale à

1

5, on est amené à résoudre l"équation 1

20 5 x x=+. Or 1 20 5 x x=+ équivaut à 5 20x x= +, c"est-à-dire à 4 20x=, ou encore à 2054x= =.

Il y a donc 5 boules bleues.

Exercice 3

1) Comme

()2 3f x x= - +, alors la valeur de a est 2----.

2) L"image de 0 par f est ()0f. Or ()0 2 0 3 3f= - ´ + =. Donc l"image de 0 par f est 3.

3) ()()1 2 1 3 2 3 5f- = - ´ - + = + =. Donc la droite qui représente la fonction f passe par

le point () 1; 5----B.

4) Résolvons l"équation ()4f x=.

Or ()4f x= équivaut à 2 3 4x- + =, c"est-à-dire à 2 4 3 1x- = - =, ou encore à 1 1

2 2x= = --.

L"antécédent de 4 par la fonction f est 1

2----.

5) ()0 2 0 3 3f= - ´ + =. Donc la droite qui représente la fonction f coupe l"axe des

ordonnées en () 0 ; 3E.

Brevet

Liban

II - ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

Exercice 1

Figure 1

Le triangle ABC est

rectangle en A ?

Numéro (s) de la ou

des propriétés permettant de le prouver

Exercice 2

1) Le triangle A

IK est rectangle en

Or 6 6182´= ; donc l"aire du triangle

2) Le volume de la pyramide A

Or ( )18 6

3 3aire A K AJ´´= =I

égal à 36 cm3.

3) Le volume du cube est égal à

Donc le volume de la pyramide

4) - 3 -

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 points)

Figure 1 Figure 2 Figure 3

OUI NON NON

5 4 et 7 3

est rectangle en A, alors l"aire de ce triangle est égale à l"aire du triangle AIK est égale à 18 cm2.

AIKJ est égal à ()

3 aire A K AJ´I.

36= = ; alors le volume de la pyramide AIKJ

Le volume du cube est égal à 3 312 1728 cm=. Or 2 236 3 12 3 1 1

1728 4 12 4812 12 12

la pyramide AIKJ représente 1

48ème

du volume du cube

Brevet

Liban

III - PROBLÈME (12 points)

1) 2) a) ?( )180mes ABC= ° -mes ABH

Dans le triangle rectangle

ABH Par suite, ?()6 cos 6 cos 60ABH= ´ = ´ °BH b) Dans le triangle rectangle ABH c"est-à-dire 2 2 2 2 2AH AB BH= - = - = - =

Comme 0AH³, alors = = ´ = ´AH

On en déduit que l"aire du triangle

10 3 13 cmCH CB BH= + = + =

Donc l"aire du triangle ACH

c) Dans le triangle ACH rectangle en

2 2 2AC AH CH= + . D"où 2 2AC

3) a) - 4 - (12 points) ?( )mes ABC60= °= °= °= °.

ABH, ?( )cos6BH BHABHAB= =.

)( )6 cos 6 cos 60ABH= ´ = ´ °3====. ABH, d"après le théorème de Pythagore, 2 2 2AB AH BH

2 2 2 2 26 3 36 9 27= - = - = - =.

7 9 3 9 3= = ´ = ´3 3====.

On en déduit que l"aire du triangle ACH est égale à 2

CH AH´. Comme B CH

10 3 13 cm. Par suite, 13 3 3 39 3

2 2 2CH AH´ ´= =.

est égale à 239 3cm2. rectangle en H, d"après le théorème de Pythagore,

22 23 3 13 27 169 196AC= + = + =. Par suite,

C. Lainé

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2 2 2AB AH BH= +,

[ ]B CHÎ, alors , d"après le théorème de Pythagore,

196=14====AC.

Brevet

Liban b) Dans le triangle ACH, [M CHÎ d"après le théorème de Thalès,

Par suite, 6,5 1

13 2

3 3NM= =. Par conséquent,

3) L"aire du trapèze AHMN est égale à l"aire du triangle

triangle CMN.

Or l"aire du triangle CMN est égale à

ACH est égale à 39 3

2.

D"où

l"aire du trapèze est égale à

Donc l"aire du trapèze AHMN

- 5 - []M CHÎ, [ ]N ACÎ, et les droites ( ) ( et MN AH d"après le théorème de Thalès, CN

CA= =CM MN

CH HA.

. Par conséquent, 3 3

2====NM.

est égale à l"aire du triangle ACH moins celle de l"aire du

Or l"aire du triangle CMN est égale à

3 36,519,5 32

2 2 4CM NM´´= =

et l"aire du triangle l"aire du trapèze est égale à : 39 3 19,5 3 78 3 19,5 3

2 4 4 4- = - =58,5 3

AHMN est à peu près égale à 25 cm2.

C. Lainé

juin 2010 )MN AH sont parallèles, moins celle de l"aire du et l"aire du triangle

258,5 3cm4.

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