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Chapter4

Lesondes"el ectromagn" etiques

Thisvelocit yissonearlythatoflight,thati tseems

wehave strongreasonto concludethatlight itself[...] isanele ct romagneticdisturbance

JamesClerkMaxw ell

4.1Introduct ion

Lesondes" electrodynamiq uessontriendemoinsquelacons"equencelaplusimpor- tantedes" equationsdeMaxwe ll.CÕ"etaitlegrandg "enie deFaradayetMaxwellde pr"edirelefaitquelalumi `erenÕ estriendÕaut requÕuneo scillati on"electromagn"etique quise propage`atrav ersle vide. 80

Chapter481

4.2Equatio ndeMaxwelldanslamati`er e

Les"equations deMaxwelldanslamati` eres Õ"ecrivent

áD=4",(4.1)

"E=# 1 c #B #t (4.2)

áB=0(4.3)

"H= 1 c #D #t 4 c j,(4.4) Dansdesmili euxsimple sleschampsditesmacros copiques(D&H)sontli"esaux champsmicroscopi ques(E&B)commesuit

D=$E,H=

1

B(4.5)

4.2.1EquationdÕo nde

Supposonsqueleschampsseprop agentdans unmili euisotropeethomog`ene, cÕest- `a-d ire ave c$etµconstants.SupposonsdeplusquÕi lnÕyaitnichargesnicourants libresdanslemilieu (ilsÕagitdÕ unmili eunonconducteur),e tdonc "=0,j=0.(4.6)

Onveut alorsr"esoudreles" equations

áE=0,(4.7)

"E=# 1 c #B #t ,(4.8)

áB=0,(4.9)

"B= c #E #t (4.10) Agissonssurlerotation neldeEavec".Al Õaid edelÕidentit"e "("E)=(áE)# 2 E=# 2

E(4.11)

82Section4.3

o`ulade rni`er e"egalit"esuitdelÕ"equatio n(4.7),ond "eduit alorsles"equationsdÕonde pourlesch ampsEetB 2 E# 1 v 2 2 E #t 2 =0,(4.12) 2 B# 1 v 2 2 B #t 2 =0.(4.13) Icinousav onsd"eÞnilav itessedepropag ationdÕuneonde"el ectrom agn"etiquedans unmil ieucaract"eris"epar laperm"eabilit"e$etsuscep tibilit"eµ, v 2 c 2 .(4.14) Ilestcl air, quedanslevide $µ=1etdoncv=c.Nou savonsd" ej`arencontr"e cegenr edÕ"equationdans cecours,danslecontextedes"equat ionssatis faites par lespoten tielsetAdanslajaugede Lorenz( 1.55).Remarquons quelÕ"equation dÕondedanslevide sÕ"ecritsousformerelativ iste 0=# f(t,x)= 1 c 2 2 #t 2 2 f(t,x)=f(t,x)(4.15) o`unous avonsagitsur unefonctionf(t,x)quelconquequipourraitrepresenterune composantedeschamps"elect romagn"eti queso`uunpotent ielparexemple.Lanota- tion=# esttr `escourantedansl alitt"erature,etlÕop "erateurainsi d"enomm" e estsouv entappel"elÕop"erateurdÕalembertien. LÕ"equationdÕondedanslevideest doncune" equationnature lledup oint devuede larelat ivit"erestreinte,tandisquelÕ" equationdansdesmat"eriauxavecune vitessede propagationdi""erentedecnÕapasune tellerepresent ationcova riante.MaiscÕest raisonnable:unmilieud" eÞnitun r"ef"e rentieldÕinertiedanslequelile st aurepos. IlnÕes tdoncpluslecasqu etousr"ef"e rentielss ont"eq uivalent setlespos tulats dÕEinsteinnesÕappliquentpl us`ala situationphysique.Dansunlangagep lus soutenuonparledan scecas delabrisuredelasym"etr iedeL orentzparlemat" eriau.

Chapter483

4.3Ondesdansl evide

RegardonsdÕabord quelquepropri"et" esdesondes "electromagn"etiquesdanslevide. ChaquecomposantedeEetBsatisfaitlÕ"equation dÕondeindividuellement.Soit uunetellecom posante.Supposo nsdeplusquÕellenedependqu edÕuneseule coordonn"ee,z.Alo rs 2 u #z 2 1 c 2 2 u #t 2 =0(4 .16)

Nouspouvon s"ecrirecette"equati onsouslaforme

#z 1 c #t #z 1 c #t u=0(4 .17)

Parunch angeme ntdevariables%=z+ct,&=z#ctontrouve

1 2 #z 1 c #t et 1 2 #z 1 c #t (4.18) etdon c,quelÕ"eq uation(4.16)sÕ"ecrit 2 u =0.(4.19) Ilest main tenantfaciledeveriÞerquÕunefon ctionquelconq uedeform ef(%)= lin"eaire(4.16),et parcons"eque ntque lasolutiong"en"eralesÕ"ecrit u(t,z)=f(z+ct)+g(z#ct).(4.20) instanttdonn"eparlÕ"equatio nz=ct+const.Silafonction gposs`ede`alÕinstant dec,le longd elÕaxedeszdanslesensposit if.Ilestcla irquef(z+ct)progresse danslesensopp os"e,"eg alement` alavitessedelalumi`ere.

84Section4.3

4.3.1Ondesplanes

Premierexemple

Construisonsmaintenantlessolution sdes"equationsdeMaxwelldegenr eonde plane.Commenousv enonsded"eÞnir, uneondeplan eestunesolution des"equa tions deMaxw elldanslaquellelesch amps,`aunins tantdonn"e,nechangentpa spour touspointsco ntenusdansunplan, quenousposons,parunchoix desaxes,comm e "eta ntl epl an( x,y).Alors ,nousposons

E=E(t,z),etB=B(t,z)(4.21)

ConcentronsnousdÕabordsurl echamp"electr ique.LÕ"equationáE=0exigela condition #E z #z =0( 4.22) tandisquelÕ "e quation# t

E=c"Bconduit`a

#E z #t =c["B] z =0(4 .23) o`ulan otatio n[á] z d"enommelacomposantezdelÕex pressiondanslescrochets.Il suitqueE z estq uÕuneconstante,quenousch oisissonsz"ero,sanspert edeg"en"eral it"e.

Unex empledÕunetellesolut ionestdonn"epa r

E(t,z)=(0,E(t,z),0)(4.24)

o`ulase ulecom posantenon-null educhamp"electriqueE y (t,z):=E(t,z)satisfait lÕ"equationdÕonde 1 c 2 2 #t 2 2 #z 2

E(t,z)=0.(4.25)

Nousavons donc,commed"emon tr"eci-dessus( voirlÕ"equat ion(4.16))

E(t,z)=f(z+ct)+g(z#ct).(4.26)

Onpe uttrouverlechampmagn" etiqueenportantla solutionpour EdanslÕ"equat ion (1.23), #B #t #E(t,z) #z (4.27)

Chapter485

Figure4.1:Ondem onochromatiq ueplanesepro pageantlelonglÕaxedeszdans lesenspo sitif.(so urceimage:wikipedia).

DoncB=(B(t,z),0,0)et

B(t,z)=g(z#ct)#f(z+ct)(4.28)

`aun eco nst ant epr `es qu eno usc hoi sis son sz" ero san spert ede g"e n"e ral it" e.R "e sum ons lespro pri"et"esdecettesolutionparticuli`er e,quion tenr"ealit" euneport"eeplus g"en"erale,etsÕav"ereronttr`esu tilesd anslasuite.

1.Ene"etnous avonstrou v"edeuxsolution sondulatoires,lin"ea irementind"e pendantes,

pourleschamp s"electro magn"etiques.Uneso lutionparametris"eeparlafonc-

Nous"ecriv ons

E (t,z)=(0,g(z#ct),0),E (t,z)=(0,f(z+ct),0)(4.29) Larais onpourlechoixdÕin dicesera"ecla ir"eet out`alÕheure.

2.LeschampsE(t,z)etB(t,z)sontperpendiculaires`alÕaxedesz.La soluti on

correspondant`alafonctionarbitr airef(z+ct)sepropagelelongdelÕaxe deszdanslesensn"eg atif,ta ndisqu elasolutioncorrespondant `alafonction

CÕestl`al araisonpourl anotationE

(t,z).

3.Sinous d"enommonsl adirectiondepropagationparleve cteuru nit"e

k,alors

86Section4.3

nousav ons et

Onpeut v"eriÞerquel echamp

magn"etiqueest,danslesdeuxcas,donn"e parlÕex pression E= k"B(4.30) Parcon s"equent,nousavonstoujoursquelescham psEetBsontperp endicu- laires`aladirecti ondela propag ation,quÕilssont"egauxenmod ule,|E|=|B|, quÕilsson tmutuellementpe rpendiculaireEáB=0,etquelestroisvecteurs {k,B,E}formentunsyst`eme dÕh"eli cepositive.

4.Supposonsquelechamp"elect riquepre nnelaf ormesp"eciÞque

E(t,z)=E

0 sin(kz#'t)=E 0 sin z c #t (4.31) RemarquonsquÕil sÕagit simplementdÕuneformeg(z#ct)sp"eciÞque,etdonc quelÕ" equationdÕondeestsatisfaitepar lÕanalysec i-avant.Ontrouveais" ement lecham pmagn"etique

B(t,z)=#E

0 sin(kz#'t).(4.32) Cettesolutiond "ecrituneondemonochroma tiqueplanepropageantd ansla direction (a)LÕargumentdelafonctiontrigonom "etrique ci-des sus,ouplusg"e n"eralement lÕargumentdelafonctiong(z#ct)estappel"elaphasedelÕon de.La phasenÕapasd edimension. (b)Lalongueur dÕondeetdonn" eepar 2 k ,(4.33) soitlad istanceenzpourquelaph aseprogressep ar2`aun in sta nt donn"e.Danslasuiten ousavonssouven trecour sauvecteurdÕonde, d"eÞnipar k=k k$%|k|=k= 2 (4.34) cÕest-`a-direunvecteurdirig"eversladire ctiond epropagationdelÕonde ,

Chapter487

avecmodu le 2 .Ilest souv entp luscommodedÕutil iserkaulieude la longueurdÕonde(. (c)Lemodule kduvecteu rdÕondeestappel"el enombredÕonde.Envertu delÕ"eq uationdÕondeilsatisfaitlarelation ,ditededispersion, 2 =c 2 k 2 ,(4.35) o`u'estapp el"elafr"equenceangulaire.La fr"equence angulaireestli"ee `ala p"e rio ded Õoscil lat io n,T,par T= 2 (4.36) etdon cTrepresentlelapsdetempsn"ec"es sairep ourquela phase pro- gressepar2 `aun poi ntxdonn"e.

5.Ladirec tiondepropagation

desz.On estlibre decon sid"ererunedirectiond eprop agationquelconque, reli"e`acequenousv enonsdediscute rparunerotationdes axes. Pourune directionarbitrairelaso lutionsÕ"ecrit E 0 sin(káx#'t) cequim etenevide ncelÕutil it"eduv ecteurdÕonde.Nousavon saussiintroduit estapp el"eunchoixdepolarisation,ici unepol arisationl in"eaire. Etudionsmaintenantlecasg" en"eraldetoutescesnotions,autrem entdit, lecas g"en"eraldÕuneondeplane monochromatique danslevide.

4.3.2Ondesmonochro matiquespla nes

Uneonde monochromat iqueestunesolutionondulatoiredes"equationsd anslaque- math"ematiquespourunetelleondefontinterven irdesfacteu rsharm oniquesde genrecos('t#káx)etsin('t#káx).I lestdoncc ommodedepresenter lÕansatz

88Section4.3

souslaform edelap artier"eelle dÕune expressioncom plexe

E(t,x)=Re

E 0 e i#t+ikáx ,E 0 &C 3 (4.37)

B(t,x)=Re

B 0 e i#t+ikáx ,B 0 &C 3 (4.38) Puisqueles"equations deMaxwell sontlin"eairesonestlibre,pour derais onsde commodit"e,detravailleraveclÕansa tzc omplexeetprendrelapartier"eel lequÕ`ala

Þnducal cul

1 .Enp ort ant(4.37)et(4.38)dansles"equations(4.12-4.13)avec v=c,ontrouve kák=k 2 2 c 2 (4.39) larela tiondedispersionpourlÕo ndeplan edanslevide.Onv"eriÞeainsi,dÕ apr`es (1.22,1.24),que

áE=0'káE=0=káE

0 (4.40)

áB=0'káB=0=káB

0 (4.41) Leve cteurkestalorsp erpendiculaire` aladirectionduchampEetla direction du champBet,parconseq uent,"egalem ent`aB 0 etE 0 .On appell eunetellesolution uneondetransver se,me ttanten"evidencequela direct iondÕoscillationdescham ps EetBesttou joursperpendiculaire `aladirectiondepropagation. Enport antlÕansatzdanslesdeu x"equationsimpliquantle rotationnel, `asavoirl es "equ ati ons (1.22)et(1.24),on tirelac onclusion "E=# 1 c #B #t 'k"E 0 c B 0 (4.42) o`udefaü con"eq uivalente k"E 0 =B 0 k"B 0 =#E 0 ,(4.43) enut ilisantlarelationdedispersion aÞndenor maliserlevecteurdÕond e. 1 Attention:silÕonsÕint"eresse `ades quantit"es non-lin"eaires,commeparexemplelÕ"energie (Equotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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