[PDF] F1 : Méthode dencadrement dune solution par dichotomie : Le

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F1 : Méthode d'encadrement d'une solution par dichotomie : Le principe de la dichotomie est une méthode pour trouver un encadrement d'amplitude h de la solution x0 à une équation du type f(x)=0, h donnée par l'utilisateur. Pour cela, il faut que la fonction f soit continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b] avec f(a)×f(b)<0 ( c'est à dire comme f(a) et f(b) sont de signes contraires alors la solution à f(x)=0 est comprise entre a et b). illustration : f croissantef décroissante Théorie : On sait, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, qu'avec une telle fonction, il existe un unique réel x0 appartenant à l'intervalle [a;b] tel que f(x0)=0 . L'idée est alors dévaluer ce que vaut f au milieu de l'intervalle [a;b] et de distinguer les deux cas possibles suivants : •Si f(a)×f(a+b

2)<0 alors on sait que x0 est dans [a;a+b

2].

On restreindra alors l'intervalle

[a;b] à l'intervalle [a;a+b 2]. •Si f(a)×f(a+b

2)>0 alors on sait que x0 est dans [a+b

2;b].

On restreindra alors l'intervalle

[a;b] à l'intervalle [a+b

2;b].On recommence alors avec ce " nouvel » intervalle

[a;b] (de longueur moitié que précédemment) jusqu'à ce qu'il y ait une amplitude h souhaitée. Programmer l'Algorithme de dichotomie sur la calculatrice : On peut faire appel à une fonction à l'intérieur d'un programme.

1ere étape : Entrer la fonction dont on aura besoin dans la variable Y1 en

utilisant le menu GRAPH Remarque : on peut remplacer (A+B)/2 ∆ par A ∆ puis B ∆ pour avoir un encadrement de la solution.

Exemple :

Soit f(x)=x3+2x-2

On admet que f est continue, strictement croissante et que l'équation f(x)=0 admet une unique solution x0 comprise entre 0,7 et 0,8. On donne, à titre indicatif, un morceau de sa courbe représentative : On souhaite donner un encadrement à 10-2 près de x0 à l'aide de l'algorithme de dichotomie. Compléter le tableau suivant et donner un encadrement de x0. aba+b

2Signe de

f(a)×f(a+b

2)b - a

Initialisation0,70,80,1

Étape 1

Étape 2

Étape 3

Étape 4

Sortie

Programmer cet algorithme sur votre calculatrice et déterminer un encadrement à

10-5 de x0 .

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