LIMITES DES FONCTIONS
LIMITES DES FONCTIONS. Partie 1 : Limite d'une fonction à l'infini. 1) Limite finie à l'infini. Intuitivement : On dit que la fonction admet pour limite
Limites de fonctions usuelles Opérations sur les limites
Limites de fonctions usuelles. Limite infinie d'une fonction à l'infini Dans les tableaux qui suivent les limites des fonctions f et g sont prises soit ...
Fiche technique sur les limites
Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0. En + ? lim x?+? ln(x) x. =
FONCTION EXPONENTIELLE
3) Limites en l'infini. Propriété : et. - Propriété démontrée au paragraphe III. -. 4) Courbe représentative. On dresse le tableau de variations de la
Feuille dexercices : Limites de fonctions
À l'aide de ce tableau déterminer l'ensemble de définition et les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition. Exercice 5 :.
Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
%20d%C3%A9riv%C3%A9es
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de
Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2.
Limites et asymptotes
faire le lien avec tableau de variations. Exemple : Remarque : Une fonction n'a pas nécessairement de limite (finie ou infinie) lorsque x tend vers.
LIMITES DES FONCTIONS (Chapitre 2/2)
Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée Donc comme limite de fonction composée : lim ... On dresse alors le tableau de variations :.
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : Méthode : Déterminer la limite d'une fonction contenant des exponentiels.
LIMITES DES FONCTIONS - Chapitre 2/2
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxMPartie 1 : Limite d'une fonction composée
Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composéeVidéo https://youtu.be/DNU1M3Ii76k
Soit la fonction í µ définie sur í±“
1 2 ;+∞' par : í µ 2- 1 Calculer la limite de la fonction í µ en +∞.Correction
On a : lim
1 =0, donc lim 2- 1 =2 Donc, comme limite d'une fonction composée : lim 2- 1 2 En effet, si í µâ†’+∞, on a : í µ=2- 1 →2 et donc : lim 2.Partie 2 : Limites et comparaisons
1) Théorèmes de comparaisons
Théorèmes : Soit í µ et í µ deux fonctions définies sur un intervalle í µ= - Si pour tout í µ de í µ, on a : ; lim alors lim =+∞ (Fig.1) - Si pour tout í µ de í µ, on a ; lim alors lim =-∞ (Fig.2) Remarque : On obtient des théorèmes analogues en -∞.Figure 1
Par abus de langage, on
pourrait dire que la fonction í µ pousse la fonction í µ vers +∞ pour des valeurs de í µ suffisamment grandes.Figure 2
2Démonstration dans le cas de la figure 1 :
lim =+∞ donc tout intervalle , í µ réel, contient toutes les valeurs de í µ(í µ) dès que í µ est suffisamment grand, soit : í µ Donc dès que í µ est suffisamment grand, on a : í µEt donc lim
2) Théorème d'encadrement
Théorème des gendarmes :
Soit í µ, í µ et â„Ž trois fonctions définies sur un intervalle í µ=Si pour tout í µ de í µ, on a : @
lim lim alors lim Remarque : On obtient un théorème analogue en -∞.Par abus de langage, on pourrait dire que les fonctions í µ et â„Ž (les gendarmes) se resserrent
autour de la fonction í µ pour des valeurs de í µ suffisamment grandes pour la faire tendre vers
la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich. Méthode : Utiliser les théorèmes de comparaison et d'encadrementVidéo https://youtu.be/OAtkpYMdu7Y
Vidéo https://youtu.be/Eo1jvPphja0
Calculer : 1) lim
í µ+siní µ 2) lim í µcosí µ 2 +1 3Correction
1) • lim
siní µ n'existe pas. Donc sous la forme donnée, la limite cherchée est indéterminée.Levons l'indétermination :
•lim í µ-1=+∞ donc d'après le théorème de comparaison : lim í µ+siní µ=+∞2) • lim
cosí µ n'existe pas. Donc sous la forme donnée, la limite cherchée est indéterminée.Levons l'indétermination :
Et donc :
+1 í µcosí µ +1 +1 +1 í µcosí µ +1 +1Soit : -
• lim 1 = lim 1 =0 D'après le théorème des gendarmes, on a : lim í µcosí µ 2 +1 =0.Partie 3 : Cas de la fonction exponentielle
1) Limites aux bornes
Propriétés :
lim =+∞ et lim =0Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/DDqgEz1Id2s
- La suite est une suite géométrique de raison í µ>1.Donc, on a : lim
Si on prend un réel í µ quelconque (aussi grand que l'on veut), il existe un rang í µÃ partir
duquel tous les termes de la suite dépassent í µ, soit : í µ La fonction exponentielle étant strictement croissante, on a également, pour tout 4Donc, pour tout í µ>í µ
, on a : í µAinsi, tout intervalle
contient toutes les valeurs de í µ , dès que í µ est suffisamment grand.Soit : lim
-lim =lim =lim , en posant í µ=-í µOr, lim
=+∞, donc : lim =0, comme limite d'un quotient.Soit : lim
=0. Méthode : Déterminer la limite d'une fonction contenant des exponentielsVidéo https://youtu.be/f5i_u8XVMfc
Calculer les limites suivantes :
a) lim b) lim 1Correction
a) lim -3í µ=-∞ • Donc, comme limite d'une fonction composée : lim =0 En effet, si í µâ†’+∞, on a : í µ=-3í µâ†’-∞ et donc : lim =0. • lim • Comme limite d'une somme : lim b) lim 1 =0, donc : lim 1- 1 =1 Donc, comme limite d'une fonction composée : lim2) Croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances
Exemple :
Observons la fonction exponentielle et la fonction puissance í µâŸ¼í µ dans différentes fenêtres graphiques. Dans cette première fenêtre, la fonction puissance semble l'emporter devant la fonction exponentielle. 5 Mais on constate que pour í µ suffisamment grand, la fonction exponentielle dépasse la fonction puissance í µâŸ¼í µ Remarque : Dans le cas de limites infinies, la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide.Propriétés (croissances comparées) :
a) lim =+∞ et pour tout entier í µ, lim b) lim =0 et pour tout entier í µ, lim =0Démonstration au programme du a :
Vidéo https://youtu.be/_re6fVWD4b0
- On pose í µOn a : í µ
On calcule la dérivée de la dérivée í µ -1. 6Et on note í µ
-1Pour tout í µ strictement positif, í µ
-1>0.On dresse alors le tableau de variations :
On en déduit que pour tout í µ strictement positif, í µ >0 et donc í µSoit encore :
0Comme lim
2 =+∞, on en déduit par comparaison de limites que lim - Dans le cas général, on a :Mí µ
N =O P =O 1 POr : lim
=+∞ car on a vu que limDonc : lim
=+∞, car í µ est positif.Et donc lim
R S =+∞, comme produit de í µ limites infinies.Soit : lim
Méthode : Calculer une limite par croissance comparéeVidéo https://youtu.be/GoLYLTZFaz0
Calculer la limite suivante : lim
2Correction
Le dénominateur, par exemple, comprend une forme indéterminée de type "∞-∞".Levons l'indétermination :
1+ 1- 1+ 1- Par croissance comparée : lim =+∞ et de même : lim 2 7Donc, comme inverse de limites : lim
=lim 2 =0. Donc, lim 1+ 1- 2 1 1 =1 et donc lim 2 =1.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27[PDF] tableau de mesure de surface
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