Thème 6 AM: Étude de la croissance dune fonction PDF

SECOND DEGRÉ (Partie 2)

I. Lecture graphique du signe d'une fonction. 1) Tableau de signes. On a représenté ci-dessous la courbe d'une

Thème 16: La croissance dune fonction - Introduction

Le tableau de signes le tableau de croissance: Considérons la fonction représentée ci-dessous : a) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la

Rappels – Tableaux de signes Terminale STMG Signe dune

Soit f (x) = mx + p une fonction affine de coefficient directeur m et d'ordonnée à l'origine p. Cas 1 : Si m > 0. La fonction affine f (x) = mx + p est

Thème 4 AM: Fonctions études du signe et esquisses

Nous utiliserons un nouvel outil : le tableau de signes de f(x). Mais avant ceci assurons-nous que cette fonction rationnelle f soit bien définie pour toutes

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

Étudier le signe de la fonction polynôme définie sur ? par : étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de.

Rappels – Tableaux de signes Terminale STMG Signe dune

Soit f (x) = mx + p une fonction affine de coefficient directeur m et d'ordonnée à l'origine p. Cas 1 : Si m > 0. La fonction affine f (x) = mx + p est

VARIATIONS DUNE FONCTION

Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant Propriété : Si et sont deux nombres réels de même signe on a alors :.

Chapitre 11 - Exercices - Signe dune fonction et inéquations.pdf

f (x)=?2 x . Exercice 5. Dresser les tableaux de variations et de signes de la fonction suivante dont la courbe représentative est donnée

Thème 6 AM: Étude de la croissance dune fonction

taux d'accroissement instantané en un point x = a d'une fonction 1) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f. 2) Déterminer graphiquement le ...

Signe dune expression du premier degré

Jan 17 2013 1) Lorsque a = 0

ÉTUDE DE LA CROISSANCE D'UNE FONCTION 11

3EC - JtJ 2020 Analyses Mathématiques Thème 6 AM: Étude de la croissance d'une fonction

Introduction :

Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment calculer le taux d'accroissement instantané en un point x = a d'une fonction f . Nous avons codé ce nombre f(a). Supposons maintenant qu'en tout point, on calcule le nombre dérivé. Puisque a est quelconque, mais fixe. il n'y a pas d'inconvénient à le remplacer par x. Ainsi, pour tous les nombres x pour lesquels on désire calculer le taux d'accroissement instantané, nous pouvons créer une nouvelle fonction: x taux d'accroissement instantané en A(x ; f (x)). Cette fonction porte le nom de fonction dérivée (ou simplement dérivée) et on la code f.

On peut ainsi proposer la définition suivante:

Définition :

La dérivée d'une fonction f est une nouvelle fonction f définie par : f(x)=f(x+h)f(x) h lorsque h 0 Elle permet de calculer le taux d'accroissement instantané aux points A(x ; f (x)) de la courbe y = f (x). www.javmath.ch

Dérivée ---> Croissance :

La dérivée permet de déterminer la croissance de la fonction f en tous les points. En effet: • Si la dérivée est positive en ce point alors la fonction est croissante, car .......................................................................... • Si la dérivée est négative en ce point alors la fonction est décroissante, car ...................................................................... • Si la dérivée est nulle en ce point alors la fonction n'est ni croissante, ni décroissante, car ............................................... x -3-2-112 y 2 4 6 8 10 12 14

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6.1 Étude "graphique" de la croissance d'une fonction

Modèle 1 :

Le tableau de croissance:

Considérons la fonction f représentée ci-dessous : a) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction est croissante. b) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction est décroissante. c) Déterminer graphiquement la première coordonnée des points où le taux d'accroissement instantané est nul. Nous coderons ceci sous la forme d'un tableau de croissance : Ce dernier tableau ne doit pas être confondu avec le tableau de signes de la fonction f : x -1123 y -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x -1123 y -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

ÉTUDE DE LA CROISSANCE D'UNE FONCTION 13

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Exercice 6.1:

On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques ci- dessous. a) b)

Dans chacun des cas :

1) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f.

2) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.

Modèle 2 :

Le tableau de signes,

le tableau de croissance: Considérons la fonction f représentée ci-dessous : a) Déterminer graphiquement l'E D de f. b) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f. c) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f. -8-6-4-2 2 4 6 -4-22 4

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Exercice 6.2:

On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques ci- dessous. a) b)

Dans chacun des cas :

1) Déterminer l'E

D de f.

2) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f.

3) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.

Modèle 3 :

Les extremums

d'une fonction: • Considérons la fonction f représentée ci-dessous : Déterminer graphiquement les coordonnées des minimums et maximums de f. • Qu'en est-il pour la fonction g représentée ci-dessous ? -8-6-4-2 2 4 6 -4-22 4 x -4-3-2-112345 y -6 -4 -2 2 4 6 8 10

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Exercice 6.3:

On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques ci- dessous : a) b)

Dans chacun des cas :

1) Déterminer graphiquement les zéros de f.

2) Déterminer graphiquement les coordonnées des extremums de f.

3) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction est

croissante.

Exercice 6.4:

Un appareil de mesure a permis de relever la température de 6 heures à 24 heures pendant une même journée. La courbe ci- dessous représente la température f (t) relevée en fonction de l'heure t. a) Quelle est la température à 8 heures ? b) Déterminer f(8) ? c) À quelle(s) heure(s) la température est-elle de 4°C. d) Résoudre graphiquement f(t)=4. e) Quelles sont les températures maximales et minimales ? f) Sur quelle plage horaire, la température augmente-t-elle ? g) Aux environs de quelle heure, la température a-t-elle le plus augmenté ? h) À quoi correspond, dans cet exemple, la dérivée de la fonction f(t) représentée ? i) Résoudre graphiquement f (t) > 0. -8-6-4-2 2 4 6 -4-22 4 6

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Exercice 6.5:

Soit la fonction f définie par f(x)=x

3 6x 2 +9x représentée ci- dessous. a) Sur l'intervalle [0, 4], déterminer graphiquement les valeurs de x qui sont telles que :

1) f(x)=0 et f(x)=0 ; 2) f(x)>0 et f(x)>0 ;

3) f(x)>0 et f(x)<0 . b) Déterminer les coordonnées des min et max. c) Déterminer le tableau de croissance de f.

Exercice 6.6:

Soit la fonction f représentée ci-dessous.

a) Sur l'intervalle [-4, 8], déterminer graphiquement les valeurs de x qui sont telles que :

1) f(x)=0 et f(x)=0 ; 2) f(x)<0 et f(x)=0

3) f(x)<0 et f(x)<0 . 4) f(x)<0 et f(x)>0 ; b) En déduire les coordonnées approximatives des min et max. c) Déterminer le tableau de croissance de f. x 1234
y -2 -1 1 2 3 4 5 x -4-22468 y -6 -4 -2 2 4

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6.2 Étude "algébrique" de la croissance d'une fonction

Introduction :

Au bas de la première page de ce chapitre, nous avons complété le lien qu'il y a entre la croissance en un point x = a d'une fonction f et le signe de sa dérivée f(a). Utilisons ceci dans les exercices qui suivent:

Modèle 4 :

On propose ci-dessous la donnée de deux fonctions et de trois dérivées. En étudiant les tableaux de signes respectifs, retrouver à quelle fonction correspond quelle dérivée: fonctions dérivées f (x) = x 3 - x 2 x3x 2 4x4 g(x) = x 3 - 2x 2 - 4x x3x 2 +8x3 x3x 2 2x

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Exercice 6.7:

Exercice 6.8:

On propose ci-dessous la donnée de deux fonctions et de trois dérivées. En étudiant les tableaux de signes respectifs, retrouver à quelle fonction correspond quelle dérivée: fonctions dérivées f(x)=x 3 4x 2 +4x x3x 2 +4 g(x)=x 3 4x 2 4x x(x2)(3x2) x3x 2 8x4

Exercice 6.9:

On propose ci-dessous la donnée de deux fonctions et de trois dérivées. En étudiant les tableaux de signes respectifs, retrouver à quelle fonction correspond quelle dérivée: fonctions dérivées f(x)=x 3 +4x x3x 2 +4 g(x)=x 3 +2x 2 3x x(x1)(3x+1) x3x 2 +4x3

Exercice 6.10:

On propose ci-dessous la donnée de deux fonctions et de trois dérivées. En étudiant les tableaux de signes respectifs, retrouver à quelle fonction correspond quelle dérivée: fonctions dérivées f(x)=(x+1) 2 x xx 2 4 x 2 g(x)=x 2 x2 xx 2 4x x 2 4x+4 x(x+1)(x1) x 2

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Modèle 5 :

On propose ci-dessous la donnée d'une fonction f et de sa dérivée f. À l'aide des tableaux de signes respectifs, proposer une bonne esquisse de f: f(x)=2x 2 +4 x 2 9 et f(x)=44x (x 2 9) 2

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Exercice 6.11:

Esquisser la fonction f dont on donne l'expression algébrique et celle de sa dérivée: a) f(x)=x 3 6x 2 f(x)=3x 2 12x b) f(x)=(x2) 2 (x+1) f(x)=3x(x2) c) f(x)=(x+1) 3 x 2 f(x)=(x+1) 2 (x2) x 3 d) f(x)=x 2 +2x (x1) 2 f(x)=4x2 (x1) 3 e) f(x)=x 2 2x+3 x 2 f(x)=2(x3) x 3 Q

UELQUES RÉPONSES AUX EXERCICES

3EC - JtJ 2020 Analyses Mathématiquesquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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Introduction :

On peut ainsi proposer la définition suivante:

Définition :

Dérivée ---> Croissance :

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6.1 Étude "graphique" de la croissance d'une fonction

Modèle 1 :

Le tableau de croissance:

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Exercice 6.1:

Dans chacun des cas :

1) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f.

2) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.

Modèle 2 :

Le tableau de signes,

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Exercice 6.2:

Dans chacun des cas :

1) Déterminer l'E

2) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f.

3) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.

Modèle 3 :

Les extremums

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Exercice 6.3:

Dans chacun des cas :

1) Déterminer graphiquement les zéros de f.

2) Déterminer graphiquement les coordonnées des extremums de f.

3) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction est

Exercice 6.4:

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Exercice 6.5:

Soit la fonction f définie par f(x)=x

1) f(x)=0 et f(x)=0 ; 2) f(x)>0 et f(x)>0 ;

Exercice 6.6:

Soit la fonction f représentée ci-dessous.

1) f(x)=0 et f(x)=0 ; 2) f(x)<0 et f(x)=0

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6.2 Étude "algébrique" de la croissance d'une fonction

Introduction :

Modèle 4 :

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Exercice 6.7:

Exercice 6.8:

Exercice 6.9:

Exercice 6.10:

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Modèle 5 :

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Exercice 6.11:

UELQUES RÉPONSES AUX EXERCICES