[PDF] COMMENT ETUDIER LE SIGNE DUNE EXPRESSION

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COMMENT ETUDIER LE SIGNE D'UNE EyPRESSION ?

Connaître les signes évidentsH imméTiaWV. ¾ Pour tout nombre réel x, x² eVW positif, (signe +dans un tableau), (x²0). ¾ Pour tout nombre réel x, -x² eVW négatif (Vigne - TanV un Wableau)H (-x²0).

¾ x 0H pour WouW nombre réel poViWif x.

¾ ex L 0 pour WouW réel x.

ConnaŠtre les signes Ġǀidents en fonction de l'interǀalle d'appartenance de dž J

¾ Si x [1 ; 5]H alorV xL0

¾ Si x [-6 ;-3]H alorV x K0.

Il est fondamental de connaŠtre la nature de l'expression dont on veut étudier le signe J

1°) SommeV Te Vigne éviTenW

¾ Somme de deux nombres positifs J x²+1 L0H 2x+x² 0 Vi x 0H 5x2+10x >0 si x[1 ; 5]. ¾ Somme de deux nombres négatifs J -3-džϸ ф0 car somme d'un nombre VWricWemenW nĠgatif et d'un rĠel négaWif ou nul. (-3-x² = -3 + (-x²))

2°) Somme du type ax+b (aт0).

On peut soit J

¾ Résoudre les inéquations ax+b<0, puis ax+b<0 et en déduire les intervalles sur leVquelV ax+b eVW négaWif (Te Vigne -) ou poViWif (Te Vigne +) .

Si aф0, ne pas oublier le changement de sens de l'inĠgalitĠ au moment de la diǀision par a.

Si a < 0 alors le tableau Te VigneV eVW Tu Wype J Si a > 0 alors le tableau Te VigneV eVW Tu Wype J NxempleV J éWuTier le Vigne TeV expreVVionV VuivanWeV J

2x+3 ; 4x-5 ; -10x+3 ; 2+4x ; 1+x ; 5-8x ; 6-3x ; -x+10 ; 1-x ; 3-x ; -x+1 .

3°) Somme du type ax²+bx+c (Wrinôme Tu VeconT Tegré) J bien repérer a = H b= Hc=

¾ Si le trinôme eVW complet (aт0,bт0,cт0), alors calculer le discriminant = b²-4ac J bien veiller à ce que b ne prenne paV " froiT » en l'entourant par des

Ensuite appliquer les règleV VuivanWeV J

Si K 0, alors le trinôme est du signe de a et n'admet aucune racine. Si = 0 alorV le trinôme est du signe de a WouW en aTmeWWanW une racine TiWe

Touble Xo = b

a Nn réVuméH TanV ceV Teux caV ( K0 ou = 0)H Vi a eVW négaWifH alorV le Wrinôme eVW négaWif ; Vi a eVW poViWifH alorV le Wrinôme eVW poViWif. (Je TiV bien a ! ). Si L 0 H alorV le Wrinôme eVW parWouW Tu Vigne Te a (encore lui !)H Vauf enWre leV racineV où il eVW Tu Vigne conWraire Te a. Comme ǀous l'aǀez compris un trinôme du second est la plupart du temps du

" fin » cH alorV il eVW inuWile Te calculer le TiVcriminanW Par conWre bien repérer aH " a = »

NVVayer Te facWoriVer le Wrinôme par TeV méWUoTeV VimpleV uWiliVéeV en SeconTe J Rechercher un facteur commun eWIou une iTenWiWé remarquable. pour le Vigne Tu WrinômeH appliquer leV mêmeV règleV que précéTemmenW J Soit le signe du trinôme est immédiatH Tu Vigne Te a. Soit le trinôme est partout du signe de a sauf entre ses racines où il est

Tu Vigne conWraire Te a.

NxempleV J éWuTier le Vigne TeV WrinômeV J

1. 4x² - 36 (a=3 ; pour Wrouver leV racineVH réVouTre l'équation

4x² - 36 =0 en uWiliVanW une iTenWiWé remarquable. )

2. - 10x²+ 2x (a=-10H meWWre x en facWeur puiV Wrouver leV racineV)

NxerciceV J NWuTier le Vigne TeV WrinômeV VuivanWV aprèV avoir faiW le Wri enWre leV WrinômeV compleWV eW

incompleWV (Ne paV oublier Te repérer " a ») J

5x²-8x+4 ; 3x²-6x ; x²-3x+1 ; 5x²+10x ; -x²+5x+1 ; 2x+x² ;

25x-150x² ; 3x²- 27 ; 4x²-16 ; 4-x² ; 1-x² ; -8x²+32 ; x²-3.

4°) Produit

Soit on réalise un tableau de signes dans lequel on fait apparaître le signe de chacun des facteurs

et on utilise la rğgle du signe d'un produit. NxerciceV J NWuTier le Vigne TeV expreVVionV VuivanWeV J -5(x-2)(x+3) ; -3(x-1)²(x+4) ; 2(3x-1)(4-x) ; x²(x-3).

5°) Quotient (Ne paV oublier la ou leV valeurV inWerTiWeV ).

Soit le signe est immédiat J

Soit on réalise un tableau de signes dans lequel on faiW apparaîWre le Vigne Tu numéraWeur eW celui

NxerciceV J éWuTier le Vigne TeV expreVVionV VuivanWeV J xx x ; x² x ; x x²

6°) Utilisation du tableau de variation

Si une foncWion f aTmeW Vur un inWervalle I un minimum strictement positif ( en faiW ne TeVcenT paV pluV

Si une foncWion f aTmeW Vur un inWervalle I un maximum strictement négatif ( en faiW ne monWe paV pluV

7°) Détermination du signe Te f grapUiquemenW (AWWenWion ! Cela ne conVWiWue paV une preuve)

On obVerve la poViWion Te la courbe Cf de f par rapport ă l'adže des abscisses.

Si Cf eVW en-dessous de l'adže des abscisses sur l'interǀalle I, alors f (dž) est nĠgatif sur I.

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