Fonction dérivée et étude des variations dune fonction Le PDF

Tableau de variation :

On admettra la propriété réciproque à savoir que : Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de IR et si sa dérivée est nulle sur I alors la

Thème 6 AM: Étude de la croissance dune fonction

dérivées. En étudiant les tableaux de signes respectifs retrouver à quelle fonction correspond quelle dérivée: fonctions dérivées f(x) = x3 – x2.

DÉRIVATION (Partie 3)

1) Calculer la fonction dérivée de f. 2) Déterminer le signe de f ' en fonction de x. 1) Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation.

LA DÉRIVÉE SECONDE

Détermination de la nature d'un point stationnaire à l'aide de la dérivée ces valeurs (un peu comme dans le tableau des variations). ... Signe de ??.

FONCTIONS POLYNOMES (Partie 1)

1) Calculer la fonction dérivée de f. 2) Déterminer le signe de f ' en fonction de x. 3) Dresser le tableau de variations de f. On

Pour cela la propriété qui établit un lien entre le tableau de signes

Si la dérivée f' est négative ( < 0) sur un intervalle I alors la fonction f est DECROISSANTE sur I. Il y a même équivalence car on a ausssi les propriétés "

FONCTION DERIVÉE

Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a. 1) Etudier les variations de f et dresser le tableau de variation.

Thème 16: La croissance dune fonction - Introduction

dérivée d'une fonction afin de dégager le comportement de la fonction sur un 1) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f.

Fonction dérivée et étude des variations dune fonction Le

Étudier sur un intervalle donné

Analyse – Rôle de la dérivée première et seconde 1 Le 8 mai 2020

A l'aide du tableau de signe de la dérivée d'une fonction déduire les variations de la fonction

2 Fonction dérivée et étude des variations d"une fonction

Le programme

L"objectif de ce module est d"étudier les variations de fonctions dérivables afin de résoudre des problèmes issus des sciences, du domaine professionnel ou de la vie courante.

L"utilisation des TIC est nécessaire.

CapacitésConnaissancesCommentaires

Utiliser les formules et les règles de dérivation pour

déterminer la dérivée d"une fonction.Fonction dérivée d"une fonction dérivable sur unintervalle I. Fonctions dérivées des fonctions de ré-férencex?→ax+b(aetbréels),x?→x2,

x?→1 x,x?→⎷xetx?→x3.

Notationf?(x).

Dérivée du produit d"une fonction par une

constante, de la somme de deux fonctions.Étant donnée une fonctionfdérivable sur un inter- valle I, la fonction qui à tout nombrexde I associe le nombre dérivé de la fonctionfenxest appelée fonction dérivée de la fonctionfsur I et est notée f?. Dans les énoncés de problèmes ou d"exercices, les formules, admises, sont à choisir dans un formulaire spécifique donné en annexe. Appliquer ces formules à des exemples ne nécessi- tant aucune virtuosité de calcul. Les formules sont progressivement mises en oeuvre pour déterminer les dérivées de fonctions polynômes de degré infé- rieur ou égal à 3. Étudier, sur un intervalle donné, les variations d"une fonction à partir du calcul et de l"étude du signe de sa dérivée. Dresser son tableau de variation. Déterminer un extremum d"une fonction sur un in-

tervalle donné à partir de son sens de variation.Théorème liant, sur un intervalle, le signe de la dé-rivée d"une fonction au sens de variation de cettefonction.Les théorèmes liant le sens de variation d"une fonc-tion et le signe de sa dérivée sont admis.Le tableau de variation est un outil d"analyse, deréflexion voire de preuve.Constater, à l"aide de la fonction cube, que leseul fait que sa dérivée s"annule ne suffit pas pourconclure qu"une fonction possède un extremum.

Auto-évaluation

Compétence :

Activité 1

• J"ai su associer aux grandeurs mathématiques, les grandeurs réelles

Approprier :????

• J"ai su m"exprimer en termes clairs et en utilisant correctement le vocabulaire des statistiques :

Communiquer :????

• J"ai su m"exprimer en termes clairs et en utilisant correctement le vocabulaire des fonctions :

Communiquer :????

• J"ai su utiliser le tableau des fonctions dérivées :

Approprier :????

• J"ai su utiliser les logiciels pour conjecturer :

TICE:????

• J"ai su établir le lien entre la variation d"une courbe et lesigne de sa dérivée :

Raisonner :????

• J"ai su être autonome et faire preuve d"initiative :????

Activité 2

• J"ai su identifier le tableau de signe correspondant au tracé d"une fonction

Approprier :????

• J"ai su réaliser correctement des tableaux de variations

Réaliser :????

• J"ai su m"exprimer en termes clairs et en utilisant correctement le vocabulaire des fonctions dérivées :

Communiquer :????

• J"ai su par raisonnement déterminer des tableaux de variations :

Raisonner :????

• J"ai su par raisonnement déterminer des extrema :

Raisonner :????

• J"ai su utiliser ma calculatrice graphique pour conjecturer le signe d"une dérivée :

TICE:????

• J"ai su être autonome et faire preuve d"initiative :????

Activité 3

• J"ai su identifier le tableau de variations correspondant àune fonction

Approprier :????

• J"ai su réaliser les calculs permettant de déterminer les variations d"une fonction

Réaliser :????

• J"ai su être autonome et faire preuve d"initiative :???? 5 BINET 2012/2013 - Terminale - Mathématiques - Page: 6CHAPITRE 2. FONCTIONS DÉRIVÉES

Exercices

Tous les exercices sont à faire à la fin des activités indiquées pour le cours suivant.Ils sont faits proprement sur vos

feuilles ou votre cahier dans une partie exercice. Pour chaque exercice proposé, vous devez préciser à chaque étape de sarésolution

la règle, la définition,... que vous utilisez en rapport avecce qui a été vu dans le chapitre.

Exercice 5. Activité 1

Réaliser Calculer les dérivées des fonctions suivantes : Sur l"intervalle]- ∞;+∞[la fonctionx?→f(x) =x4+1

3·x3-35·x2+ 7

Sur l"intervalle]0;+∞[la fonctionx?→g(x) = 5·⎷x Sur l"intervalleRla fonctionx?→h(x) = (x2+ 3x+ 4)×(x+ 5) Sur l"intervalleR- {-5}la fonctionx?→i(x) =x2+ 3x+ 4 x+ 5

Sur l"intervalleR- {0}la fonctionx?→j(x) =2

Exercice 6. Activité 2

RéaliserTICEDéterminer graphiquement à la calculatrice ou à l"ordinateur le signe de la dérivée des fonctions suivantes. En

déduire les tableaux de variations des fonctions. •f(x) =x2-x-2sur l"intervalle[-4;4], •g(x) =1

5(x2-52x-32)sur l"intervalle[-4;4],

•h(x) =-x2-2x+ 3sur l"intervalle[-4;4], •f(x) =x3-3x2+ 1sur l"intervalle[-1;3].

Exercice 7. Activité 3

Réaliser Reprendre les fonctions de l"exercice précédent et étudier le signe des dérivées par résolution algébrique.

6 BINET 2012/2013 - Terminale - Mathématiques - Page: 7 Cours Chapitre 2 Fonctions dérivées et étude des variations d"unefonction I Fonctions dérivées des fonctions de référence? ???1 Fonction dérivée Une fonction dérivéef?dune fonctionfpermet de déterminer les extrema de cette fonctionf.

Définition 1

???2 Fonctions de référence Fonctions dérivéesf?des fonctions usuelles :

FonctionfFonction dérivéef?

x?→f(x) =ax+b x?→f?(x) =a x?→f(x) =x2x?→f?(x) = 2x x?→f(x) =1xx?→f?(x) =-1x2 x?→f(x) =⎷x x?→f?(x) =12⎷x x?→f(x) =x3x?→f?(x) = 3x2 x?→g(x) =a·f(x)x?→g?(x) =a·f?(x) x?→h(x) =f(x) +g(x)x?→h?(x) =f?(x) +g?(x)

Propriété 1

Exemples :

•x?→f(x) = 3x+ 7donnex?→f?(x) = 3 •x?→f(x) = 4x2donnex?→f?(x) = 8x •x?→f(x) =4 xdonnex?→f?(x) =-4x2 •x?→f(x) = 3⎷ xdonnex?→f?(x) =32⎷x •x?→f(x) = 5x3donnex?→f?(x) = 15x2 •x?→g(x) = 5x3+ 4x2+ 3x+ 7donnex?→g?(x) = 15x2+ 8x+ 3

II Étude des variations d"une fonction

ATTENTION DANS LA SUITE DU COURS À NE PAS CONFONDRE LA FONCTIONfET SA DÉRIVÉEf? ???1 Tangente et variations Le coefficient directeurade la tangente d"équationy=ax+ben un point est : • positif (a >0) quand la fonction est croissante, • nul (a= 0) quand la fonction est à un extremum (minimum ou maximum), • négatif (a <0) quand la fonction est décroissante.

Propriété 2

Le coefficient directeur de la tangente en un pointxcorrespond au nombre dérivée en ce pointf?(x)

Propriété 3

???2 Fonction dérivée et variations

La fonction dérivéef?de la fonctionfest :

• positive (f?>0) quand la fonctionfest croissante, • nulle (f?= 0) quand la fonctionfest à un extremum (minimum ou maximum), • négative (f?<0) quand la fonctionfest décroissante.

Propriété 4

On étudiera doncle signe de la dérivéef?pour savoir si lafonctionfestcroissante ou décroissante.

La fonctionf?est positive quand sa représentation graphique est au dessus de l"axe des abscisses et négative dans le cas contraire.

7 BINET 2012/2013 - Terminale - Mathématiques - Page: 8CHAPITRE 2. FONCTIONS DÉRIVÉES

III Étude du signe de la dérivée?

???1 Graphiquement

La fonctionf?est positive quand sa représentation graphique est au dessus de l"axe des abscisses et

négative dans le cas contraire.

Propriété 5

x y x f(x)-5-4.40 2.4 5

0+0-0+

x y x g(x)-5-2.22.2 5 0-0+ x y x h(x)-51.3 5 0+

On a vu en première :

???2 Signe d"une équation du premier degré

Pour résoudre une inéquation du premier degré du typeax+b >0il faut connaître le propriété suivante :

La multiplication ou la division d"une inégalité par un nombre négatifchange le sensde l"inégalité.

Propriété 6

Exemple :-4x+7

3>0deviendra-4x >-73puisx <-73×(-4)soitx <712et

x -4x+7 3 -∞712∞ 0- ???3 Signe d"une équation du second degré

Pour résoudre une inéquation du second degré du typeax2+bx+c >0il faut d"abord à déterminer ses racines réelles.

Pour cela, on peut calculer le discriminant :Δ =b2-4acpuis selon le signe deaet deΔon a six cas :

SiΔ>0:x1=-b-⎷

2aetx2=-b+⎷

2a x y xi•x j•a>0x y xi•x j• a<0 x

Δ>0

Lesignede

2+bx+c-∞xixj+∞

signede a0signe oppos´edea0signede a

SiΔ = 0: une racine doublex1=-b2a

x y + +a>0 x y - -a<0 x

Δ=0

Lesignede

2+bx+c-∞-b2a+∞

signede a0signede a

SiΔ<0: pas de racines réelles.

x y +a>0 x y a<0 x

Δ<0

Lesignede

2+bx+c-∞+∞

signede a On retiendra le sens de la parabole selon la valeur deaet sa position selon la valeur deΔ. 8 y+1/1/60+ y

TPRO22Activité 10

1 2 3 4 5 6 7 8 90
1 2 3 4 5 6 7 8 90
1 2 3 4 5 6 7 8 9

←-codez votre numéro d"étudiant ci-contre, et écrivez votre nom et prénom ci-dessous.Nom et prénom :

.........................................................................................Questions Scores à reporter ici

Aptitudes à

mobiliser des connaissances et des compétences pour résoudre des problèmesApproprierRechercher, extraire et o rganiserl"info rmationutile, •1 •2 •5/RéaliserChoisir et exé cuterune métho dede résolution. /RaisonnerRaisonner, a rgumenter,critiquer et valider un résultat. •7/CommuniquerPrésenter, communiquer un résultat. •3 •4//

Capacités liées à

l"utilisation des ticTICEExpérimenter ou Simuler ou Émettre des conjectures ou Contrôler la vraisemblance de conjectures.•6/ Total /La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements influent sur la notation

Les questions faisant apparaître le symbole♣peuvent présenter zéro, une ou plusieurs bonnes réponses. Les autres ont une unique bonne réponse.Monsieur B. doit remplir sa cuve de fioul de 3000 L avant l"hiver mais il souhaite l"acheter au plus bas prix, il sait qu" Israël envisage

d"attaquer l"Iran ce qui risque de créer une envolée du prix et que la prévision du prix du pétrole par les seuls éléments mathématiques

est hasardeuse. Néanmoins une analyse purement mathématique est tentée sur le cours terme. Il se rend sur http ://www.prixfioul.fr

et télécharge l"évolution des prix dans sa région. Il obtient le nuage de points ci-dessous.Date 23/04 30/04 7/05 14/05 21/05 28/05 4/06 11/06 18/06 25/06

Prix 980 988 983 955 960 945 935 930 925 899

Date 2/07 9/07 16/07 23/07 30/07 6/08 13/08 20/08 27/08 3/09 10/09 17/09 24/09 1/10 8/10 Prix 899 910 918 940 940 948 965 980 982 978 969 970 934 956 950890900910920930940950960970980990 dateprix en euros ?890900910920930940950960970980990 dateprix en euros

?L"évolution des prix est telle qu"un ajustement affine est sans intérêt puisqu"il passe vraiment trop loin de chaque point et ne traduit

pas l"évolution réelle des prix comme le montre le tracé de droite. Il réalise alors un ajustement cubique et obtient :

890900910920930940950960970980990

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

dateprix en euros ?yy y+1/2/59+ y ce qui correspond à la fonction :f(x) =-0,0532x3+ 2,3881x2-30,004x+ 1036

Question 1♣ApproprierIndiquer dans cette rep résentationà quelle gra ndeurco rrespondf(x)etx.f(x)correspond au prix du fioulxcorrespond au prix du fioulf(x)correspond aux datesxcorrespond aux datesf(x)correspond au pourcentage de fioulxcorrespond au volume de fioulAucune de ces réponses n"est correcte.

Question 2♣ApproprierMonsieur B. s ouhaiteraitdéso rmaisconnaître à quelle date le p rixa réellement été au m inimumsur la p ériodeobservée

et le comparer à la valeur donnée par la courbe. En croisant les données du tableau et la représentation obtenue choisissez les bonnes

réponses.observée : le 10,5calculée : le 9observée : à 899calculée : à 922

calculée : le 18 juinobservée : du 25 juin au 2 juilletAucune de ces réponses n"est correcte.

Question 3♣

Monsieur B. constate que l"interpolation de la courbe par une fonction de degré est assez bonne et donne d"assez bons résultats. Il

constate par ailleurs que d"après la courbe le prix devrait baisser encore. Pour réaliser une prévision plus fine, il se dit qu"un polynôme

de degré 3 est déjà bien mais souhaite paufiner ses calculs par un degré supérieur. Il réalise donc une interpolation de degré 4 et

obtient la fonction suivante : g(x) =-0.0048x4+ 0.1951x3-1.819x2-4.5489x+ 998 et obtient :890900910920930940950960970980990

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

dateprix en euros ?CommuniquerIndiquer ce que l"on p eutdire de cette nouvelle interp olation: Ne pas cocher-→Aucune de ces réponses n"est correcte. yy y+1/3/58+ y

Question 4♣

Monsieur B. va désormais rechercher à quel moment il obtient des maxima et des minima.CommuniquerEn vous aidant du concept de tangente vue l"année dernière expliquer commen ton p euttrouver des extrema géo-

métriquement. Ne pas cocher-→Aucune de ces réponses n"est correcte. COURS Chapitre 2 Fonctions dérivées et étude des variations d"une fonction I Fonctions dérivées des fonctions de référence

1 Fonction dérivée

Une fonction dérivéef?dune fonctionfpermet de déterminer les extrema de cette fonctionf.Définition 1

2 Fonctions de référence

Fonctions dérivéesf?des fonctions usuelles :FonctionfFonction dérivéef?x?→f(x) =ax+b x?→f?(x) =ax?→f(x) =x2x?→f?(x) = 2xx?→f(x) =1x

x?→f?(x) =-1x

2x?→f(x) =⎷x x?→f?(x) =12

⎷x

x?→f(x) =x3x?→f?(x) = 3x2x?→g(x) =a·f(x)x?→g?(x) =a·f?(x)x?→h(x) =f(x) +g(x)x?→h?(x) =f?(x) +g?(x)Propriété 1

Exemples :

•x?→f(x) = 3x+ 7donnex?→f?(x) = 3 •x?→f(x) = 4x2donnex?→f?(x) = 8x •x?→f(x) =4x donnex?→f?(x) =-4x 2 •x?→f(x) = 3⎷xdonnex?→f?(x) =32 ⎷x •x?→f(x) = 5x3donnex?→f?(x) = 15x2 •x?→g(x) = 5x3+ 4x2+ 3x+ 7donnex?→g?(x) = 15x2+ 8x+ 3Question 5

Approprier

Donner la fonction dérivée de la fonc tion: f(x) =-0,0532x3+ 2,3881x2-30,004x+ 1036f ?(x) =-0.1596x2+ 4.7762x-30.04 + 1036f ?(x) =-0,0532x2+ 2,3881x-30,004+f ?(x) =-0,0532x2+ 2,3881x-30,004 + 1036f ?(x) =-0.1596x2+ 4.7762x-30.04 yy y+1/4/57+ y

Question 6♣LA PARTIE SUIVANTE DOIT ÊTRE RÉALISÉE AVEC LE PLUS D"AUTONOMIE POSSIBLE COMME

EN SITUATION D"EXAMEN.

VOUS DEVEZ FAIRE PREUVE D"AUTONOMIE ET D"INITIATIVE. LE MODE OPÉRATOIRE SUIVANT EST LÀ UNIQUEMENT POUR VOUS FACILITER LA TÂCHE.IMPORTANT

TICEDans géogébra (4 ou ultérieur), vous allez faire tracer le nuage de points puis la courbe d"interpolation et sa dérivée.Vous

devez comparer le signe de la dérivée avec l"évolution de la courbe d"interpolation.

•Partie tableur, recopier les valeurs verticalement (vous numéroterez les valeurs de 1 à 25 plutôt que de mettre les dates),

•sélectionner vos valeurs, •cliquer sur l"icône"statistiques à deux variables», •vérifier que vous êtes en mode nuage de points, •puis réaliser une interpolation polynomiale de degré 3 . •Par un clic droit sur la courbe copier votre courbe vers le graphique,

•déplacer si nécessaire votre courbe pour bien visualiser vos points et votre courbe d"interpolation.

•Dans la fenêtre de saisie en vous aidant de l"aide demander le calcul de la dérivée de votre fonction d"interpolation.

•Réduire le zoom pour voir apparaître le tracé de la courbe et de sa dérivée.Appeler le professeur pour lui montrer vos courbes.

Ne pas cocher-→Aucune de ces réponses n"est correcte.

Question 7♣AnalyserÀ pa rtirdu tracé des p oints,de la fonction d"interp olationet de sa dérivé e,indiquer la co rrespondanceque l"on p eut

quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] Fonction dérivée et étude des variations dune fonction Le

Le programme

L"utilisation des TIC est nécessaire.

CapacitésConnaissancesCommentaires

Notationf?(x).

Dérivée du produit d"une fonction par une

Auto-évaluation

Compétence :

Activité 1

Approprier :????

Communiquer :????

Communiquer :????

Approprier :????

TICE:????

Raisonner :????

Activité 2

Approprier :????

Réaliser :????

Communiquer :????

Raisonner :????

Raisonner :????

TICE:????

Activité 3

Approprier :????

Réaliser :????

Exercices

Exercice 5. Activité 1

3·x3-35·x2+ 7

Sur l"intervalleR- {0}la fonctionx?→j(x) =2

Exercice 6. Activité 2

5(x2-52x-32)sur l"intervalle[-4;4],

Exercice 7. Activité 3

Définition 1

FonctionfFonction dérivéef?

Propriété 1

Exemples :

II Étude des variations d"une fonction

Propriété 2

Propriété 3

La fonction dérivéef?de la fonctionfest :

Propriété 4

III Étude du signe de la dérivée?

Propriété 5

0+0-0+

On a vu en première :

Propriété 6

Exemple :-4x+7

3>0deviendra-4x >-73puisx <-73×(-4)soitx <712et

SiΔ>0:x1=-b-⎷

2aetx2=-b+⎷

Δ>0

Lesignede

2+bx+c-∞xixj+∞

SiΔ = 0: une racine doublex1=-b2a

Δ=0

Lesignede

2+bx+c-∞-b2a+∞

SiΔ<0: pas de racines réelles.

Δ<0

Lesignede

2+bx+c-∞+∞

TPRO22Activité 10

Aptitudes à

Capacités liées à

Prix 980 988 983 955 960 945 935 930 925 899

890900910920930940950960970980990

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Question 3♣

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Question 4♣

1 Fonction dérivée

2 Fonctions de référence

2x?→f(x) =⎷x x?→f?(x) =12

Exemples :

Approprier

EN SITUATION D"EXAMEN.