Fonctionnelle quadratique et équations intégrales pour les
—-On propose une nouvelle formulation du problème de la diffraction d'une onde harmonique par un obstacle borné. Cette formulation repose sur la minimisation d'
Chapitre 3 - Structure des ondes planes progressives harmoniques
Les champs E et B étant tout deux perpendiculaires `a la direction de propagation u on dit que les ondes éléctromagnétiques planes progessives harmoniques dans
ANALYSE DES EXPÉRIENCES DE GÉNÉRATION DE SECOND
non linéaire pour les ondes fondamentales et harmoniques. l'orientation choisie (Fig. 2 et 3) conduit aux lois de. Fresnel: 2) ONDE HARMONIQUE. - Nous avons
Interaction soliton–sable dans un canal en eau peu profonde
Cette onde stationnaire peut être représentée comme la superposition de deux ondes harmoniques de même amplitude et de même fréquence se propageant en
Chapitre 2 Propagation dune onde
l'amplitude maximale de l'onde Sm ; la phase à l'origine . b Onde plane progressive harmonique s. Sm t. T = 2⇡.
Solutions de filtrage
Onde harmonique ordre 5. 250 Hz. ▫ Décomposition de forme d'onde visualisation des formes d'onde étude d'harmoniques ou mesure de flicker entre autres ...
Une brève introduction aux phaseurs en physique
Ceci cause le vrooooom entendu plus loin qui lui
Partie 2 : Les ondes progressives
onde particulier satisfaisant l'équation d'onde. Il s'agit des ondes planes progressives harmoniques (OPPH). Leur caractère particulier tient à la forme de ...
Chapitre 2 - Léquation donde
privilégiée d'ondes planes progressives appelées ondes planes progressives harmoniques. L'onde plane progressive harmonique est alors de la forme : a(Mt) = ...
Chapitre 3 Superposition dondes
onde plane progressive harmonique introduite au chapitre précédent. Nous ... Si l'on considère des ondes planes progressives harmoniques 1D l'onde présente dans ...
Fiche méthode 22 : Onde plane progressive harmonique et onde
Onde plane progressive harmonique et onde stationnaire. ? Expression littérale d'une OPPH : L'onde plane (à une dimension selon l'axe 0 par exemple)
Chapitre 3 - Structure des ondes planes progressives harmoniques
Structure des ondes planes progressives harmoniques. 3.1 Notation complexe. A toute solution a(Mt) = Acos (?t ? k · r ? ?) on associe le champ.
LES ONDES
Ondes transversales : la vitesse de l'onde v et la perturbation y sont perpen- La forme g´en´erale d'une onde sinuso?dale progressive (onde harmonique) ...
Partie 2 : Les ondes progressives
Aug 21 2017 2 Les ondes planes progressives harmoniques (OPPH). 2.1 Définition. Dans la suite
Solutions de filtrage
Les principaux effets des harmoniques de Onde harmonique ordre 5. 250 Hz. ? Décomposition de forme d'onde distorsionnée. +. Onde harmonique.
Physique des ondes
célèbre » équation des ondes dans le cas de la corde vibrante. Les milieux sont supposés linéaires c'est-à-dire qu'une onde harmonique écrite en.
Une brève introduction aux phaseurs en physique
oscillations/vibrations les circuits électriques ac
LES ONDES
Onde harmonique : repr´esentation math´ematique. En nous r´ef´erant aux ´equations du MHS on peut ´ecrire la fonction repr´esent´ee ci-contre par :.
Ondes et Acoustique dans les Fluides
Jan 30 2017 Les ondes harmoniques
Exercices chap1 ondes
5- Une onde plane harmonique polarisée linéairement ayant une amplitude de 10 V/m se propage le long d'une ligne dans le plan (xy) à 45° de l'axe x avec sa
[PDF] LES ONDES
Onde harmonique : repr´esentation math´ematique L'´ebranlement le plus simple `a analyser math´ematiquement est l'onde si- nuso?dale et c'est aussi le plus
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Structure des ondes planes progressives harmoniques 3 1 Notation complexe A toute solution a(Mt) = Acos (?t ? k · r ? ?) on associe le champ
[PDF] Partie 2 : Les ondes progressives
2 Les ondes planes progressives harmoniques (OPPH) 2 1 Définition Dans la suite nous allons nous focaliser sur l'étude d'un type d'onde particulier
[PDF] Chapitre 3 Superposition dondes ondes stationnaires
4 avr 2013 · L'analyse spectrale d'une onde plus particuli`erement d'un son musical consiste `a étudier la proportion relative des différents harmoniques
[PDF] Onde plane progressive harmonique et onde stationnaire
Onde plane progressive harmonique et onde stationnaire ? Expression littérale d'une OPPH : L'onde plane (à une dimension selon l'axe 0 par exemple)
[PDF] UN RESUME DU COURS DE SUP SUR LES ONDES
On obtient une onde progressive dans le sens des x croissants Cas de l'oscillateur harmonique : on prend une particule de masse m attachée à un ressort
[PDF] Onde et Paquet dOnde en Physique Une brève introduction
Dans le cas harmonique cette vitesse de phase est donc égale à la constante c qui apparait dans l'équation d'onde Il s'ensuit que les ondes harmoniques de
[PDF] Les ondes
L'équation de l'onde sinusoïdale progressive dite aussi onde harmonique progressive peut se représenter par les équations suivantes
[PDF] Propagation des Ondespdf - Faculté des Sciences de Rabat
Si le milieu est dispersif les différentes harmoniques qui composent l'onde n'ont pas la même vitesse de phase: L'onde plane se déformera au cours de sa
C'est quoi une onde harmonique ?
Une onde monochromatique, ou onde harmonique est une onde qui peut être décrite par une fonction sinuso?le du temps. Sa densité spectrale d'énergie ne présente qu'une seule fréquence, qu'une seule longueur d'onde.Comment savoir si une onde est plane progressive ?
Une onde est dite progressive si elle correspond à la propagation dans l'espace et au cours du temps d'une perturbation (variation d'une grandeur physique). Cette propagation s'effectue sans transport de matière mais avec un transport d'énergie.Qu'est-ce qu'une onde plane progressive harmonique ?
Présentation de l'onde harmonique plane
L'onde est dite monochromatique si le vecteur d'onde est de module constant. Elle est dite harmonique si les variations spatiales et temporelles sont sinuso?les.- Une onde est dite transversale quand le déplacement des points du milieu est perpendiculaire à la propagation de l'onde. Une onde est dite longitudinale quand le déplacement des points du milieu est parallèle à la propagation de l'onde.
Partie 2 : Les ondes progressives
Une onde peut être considérée comme la manifestation du comportement propagatif des vibrations
affectant un système possédant un grand nombre de degré de liberté. Dans le chapitre précédent, nous
avons étudié le comportement vibratoire d"une chaîne d"oscillateurs mécaniques constituée d"un nombre
finiNde masses. Un tel systèmeferméoscillait librement selonNmodes de vibrations stationnaires.
LorsqueNdevient infini, les vibrations ne restent plus confinées dans une région fermée de l"espace, mais
vont plutôt sepropagerdepuis le point où elles ont pris naissance suite à une perturbation initiale. C"est
ce phénomène que nous allons ici étudier.1 L"équation d"onde
1.1 Mise en évidence de l"équation d"onde
Pour mettre en évidence la structure mathématique du phénomène ondulatoire, nous allons étudier
le système constitué d"une chaîne infinie d"oscillateurs identiques composés de massesmet de ressorts
de raideursKmontés en série (Figure 1). Nous supposerons dans un premier temps que les masses nen-1nn+1K
a mFigure1 peuvent se mouvoir que dans la direction longitudinale. Nous supposerons également pour commencerque les longueurs d"ondes des vibration sont "grandes" par rapport à l"espacement moyen entre les masses.
En notantala longueur naturelle de chaque ressort à l"équilibre, etXnl"écart de la masse numéronpar
rapport à sa position d"équilibre, on peut établir l"équation du mouvement de la masse numéron:
mXn=K(XnXn1) +K(Xn+1Xn)(1)
On constate que l"équation du mouvement pour la massenimplique la position de la massenà travers
la fonctionXnet sa dérivée secondeXn. Cependant, cette équation différentielle contient aussi une
dépendance par rapport aux positions des masse voisines à travers les fonctionsXn1etXn+1. Leséquations différentielles régissant l"évolution des massesn1,n,n+ 1, ... sont donccouplées. On a
déjà rencontré cette situation au cours de l"étude de la chaîne d"oscillateurs àNdegrés de liberté. On
a montré que le découplage de ces équations nécessite de calculer l"inversed"une matrice de dimensions
NN. Ici, puisqueN! 1, il n"est pas possible de procéder de la même manière. Il est donc impossible
de découpler ces équations. Adoptons à présent les notation indiquées sur la Figure 2 :Xn1(t)!X(xa;t);Xn(t)!X(x;t); X n+1(t)!X(x+a;t). La fonctionXest désormais une fonction continue dépendant des deux variablesxett, et nous l"échantillonnonsaux positionsxaetx+aet à l"instantt. On prendra donc garde à rem-
placer les dérivées simples par rapport au tempstpar des dérivées partielles. L"équation du mouvement
devient alors : m @2X(x;t)@t2=K[X(x;t)X(xa;t)] +K[X(x+a;t)X(x;t)](2)Raphaël Grandin - IPGP - grandin@ipgp.fr Version du21 août 2017
Partie 2: ONDES PROGRESSIVESX(x-a,t)X(x,t)X(x+a,t) xx+ax-aFigure2On a supposé queaest "petit", ce qui permet d"effectuer les développements limités suivants :
8>< :X(xa;t)DL'X(x;t)a@X@x +a22 2X@x 2X(x+a;t)'00+00+00(3)
Grâce à ces développements limités, on est maintenant capable de relier les positions des masses voisines
à travers une unique fonctionX:
m @2X@t 2=K a@X@x a22 2X@x 2 +K a@X@x +a22 2X@x 2 =K a2@2X@x 2(4) Cette équation peut être réécrite sous la forme :@ 2X@x 21c2@ 2X@t
2= 0avecc=rKa
2m(5)Cette équation aux dérivées partielles est l"équation d"ondeouéquation de d"Alembert. Cette équation
relie la dérivée seconde par rapport au temps (t) et la dérivée seconde par rapport à la variable d"espace
(x). Le fait que la fonctionX(position d"une masse située enxau cours du tempst) vérifie cette équation
signifie queXpossède unestructured"onde. En d"autres termes, la perturbationXse propagera dansl"espace au cours du temps, et variera en fonction du temps en tout point fixe de l"espace. Il en va de
même pour la force, la vitesse, l"accélération : toutes ces fonctions, qui sont reliées àXou à ses dérivées,
ont une structure d"onde. Le paramètrecest homogène à une vitesse : c"est lacéléritéde l"onde. En
rappellant que!o=pK=mest lapulsation proprede l"oscillateur élémentaire, on trouve quec=a!o.1.2 Solution générale de l"équation d"onde
1.2.1 Onde progressive à une dimension
Afin de résoudre l"équation d"onde, on procède au changement de variable suivant : (x;t)!(;)avec=tx=c =t+x=c()8 >:t=+2 x=c2 (6)Suite à ce changement de variable, il est possible d"exprimer la fonctionXpar rapport aux variables
et. Les dérivées partielles deXpar rapport àxettdoivent maintenant être calculées par rapport aux
nouvelles variableset:8>>>>>>>><
>>>>>>>:@X@t =@X@ :=1 z}|{@@t +@X@ :=1 z}|{@@t =@X@ +@X@ @X@x =@X@ :@@x |{z} =1=c+ @X@ :@@x |{z} =1=c= 1c @X@ @X@ =)8 >>:@@t @@x =1c (7)Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 2Partie 2: ONDES PROGRESSIVES
En appliquant une seconde fois lesopérateurs dérivée partielleidentifiés ci-dessus, on obtient :
8>>>< 2X@t 2=@@t @X@t =@2X@2+ 2@2X@@
+@2X@ 2 2X@x 2=@@x @X@x =1c 2 @2X@22@2X@@
+@2X@ 2 (8)En injectant ces dérivées partielles dans l"équation d"onde (équation 5), on aboutit finalement à la
condition suivante :@2X@@ @X@ = 0(9)Cette condition signifie que, pour que la fonctionXsoit solution de l"équation d"onde, il est nécessaire
que la fonction@X=@ne dépende pas de la variable(bien qu"à l"origine, suite à notre changement
de variable, la fonctionXet ses dérivées partielles par rapport àoupouvaient/devaienta priori
dépendre des deux variables naturelleset). Par conséquent, la fonction@X=@dépenduniquement de. On peut donc l"écrire sous la forme : @X@ ()(10) où est une fonction de. Il est maintenant possible d"intégrer@X=@par rapport à la variable pour trouver l"expression de la fonctionX. Lors de ce calcul, il ne faut pas oublier d"ajouter uneconstante d"intégration appropriée. Cette "constante" d"intégration est ici, en fait, n"importe quel nombre
ou fonction ne dépendant pas de la variable d"intégration(on doit pouvoir, en différentiant l"expression
intégrée, retomber sur l"expression initiale) :X(;) =f() +g()avecg() =Z
()(11) Les variablesetsont maintenantséparées. On peut donc écrire, en rappellant le changement de variable introduit plus haut :X(x;t) =f txc |{z} onde progressive+g t+xc |{z} onde régressive(12)La première fonctionfcorrespond à la propagation d"une onde progressant dans le sens desxcroissants.
On peut le vérifier en cherchant le lieu des valeurs constantes def, c"est à dire les couples(x;t)tels que
tx=cest constant : lorsquetaugmente, il faut quexaugmente également pour conservertx=c=cste.La perturbation va donc se déplacer vers lesxcroissants. Au contraire, la seconde fonctiongest identifiée
à une onde régressive se propageant vers lesxdécroissants. La solution générale de l"équation d"onde à
une dimension est donc la somme d"une onde se propageant dans une direction, et d"une autre onde se propageant dans la direction opposée.1.2.2 Onde progressive à trois dimensions
À trois dimensions, la coordonnéexdéfinissant la position à laquelle on étudie le phenomène on-
dulatoire est remplacée par un vecteur~rdéfinissant la position dans l"espace par rapport à l"origine.
Par exemple, en coordonnées cartésiennes,~r= (x;y;z). Mais l"onde tridimensionnelle peut se propager
dans une direction différente du vecteur position courante. On doit donc introduire un second vecteur~
indiquant la direction et le sens de propagation de l"onde. La solution de l"équation d"onde prend alors
la forme :A(~r;t) =A(x;y;z;t) =F(ct~:~r) +G(ct+~:~r)(13) Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 3Partie 2: ONDES PROGRESSIVES
1.2.3 Onde sphérique
Un cas particulier d"onde se propageant dans les trois dimensions de l"espace est l"onde sphérique.
Soit une fonctionsdu tempstet de l"espace(x;y;z)solution de l"équation d"onde. L"équation d"onde
s"écrit alors : r 2s1c 2@ 2s@t2= 0(14)
oùr2correspond à l"opérateurlaplacien, etrcorrespond à l"opérateurnabla. Puisquesne dépend que
de la variabler, son laplacien s"écrit, en coordonnées sphériques : r2s=@2s@r
2+2r @s@r (15) On va ici procéder au changement de variable suivant : u=rs=)8 >>>>>>:@u@r =s+r@s@r 2u@r2= 2@s@r
+r@2s@r 2 2u@t2=r@2s@t
2=) r2s=1r
2u@r 2 =)@2s@t 2=1r 2u@t 2(16) On peut donc réécrire l"équation d"onde avec la fonctionu: 2u@r 21c2@ 2u@t
2= 0(17)
Le fait que l"opérateur différentielr2soit remplacé par une dérivée partielle@2=@r2traduit le passage
d"un problème tridimensionnel à un problème unidimensionnel. On retrouve ici l"équation d"onde à une
dimension, dontuest solution. La fonctionuest donc de la forme donnée par l"équation 12 : u(r;t) =f trc +g t+rc =)s(r;t) =1r f trc +1r g t+rc (18) La fonctionssubit une atténuation géométrique en1=r.1.3 Structure de l"onde progressive
Sur unesurface d"onde(ou unfront d"onde),f(tx=c)garde la même valeur en tout point, àtfixé(idem pourg). La géométrie des surfaces d"onde dépend de la géométrie de la source et de sa distance :
- source ponctuelle : surface d"onde sphérique - source linéique : surface d"onde cylindrique - source planaire : onde planeLe vecteur unitaire~est le vecteur normal à la surface d"onde. À suffisamment grande distance de la
source, quelle que soit la géométrie de la source, les surfaces d"onde peuvent généralement être considérés
comme localement planes. On parle alors deplan d"onde.Quoi qu"il en soit, il ne faut pas confondre la géométrie des plans d"onde (perpendiculaire au vecteur
~) et la direction du mouvement des particules~ulors de leurs ondulations (ou de toute autre variable
vérifiant l"équation d"onde). Ici, nous avons considéré~u~X, c"est à dire que le mouvement des particules
s"effectue dans la direction(Ox). Il s"agit d"un modelongitudinalde mouvement (Figure 3). Les ondesacoustiques ou les ondes sismiques de compression (ondesP) partagent cette caractéristique. Mais nous
aurions également pu étudier les vibrationstransverses, pour lesquelles~u~You~u~Z. Les vibrations
d"une corde dans une guitare ou un piano, ou les ondes de cisaillement en sismologie (ondesS) font partie
de cette catégorie.Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 4Partie 2: ONDES PROGRESSIVESX(x,t)
X x,t x O Y x,t Y x,t x Z x,t x x xy O y zz Z x,tModes transversesMode longitudinalPlan d'onde
Vue axonométrique Vue dans le plan d'ondeFigure32 Les ondes planes progressives harmoniques (OPPH)
2.1 Définition
Dans la suite, nous allons nous focaliser sur l"étude d"un type d"onde particulier satisfaisant l"équation
d"onde. Il s"agit desondes planes progressives harmoniques(OPPH). Leur caractère particulier tient à
la forme de la fonctionf:f txc =Acos[p(x;t)] =Acos(!tkx+o)(19)Il s"agit d"une fonctionharmonique, c"est à diresinusoïdale. C"est bien une fonction des deux variables
x(espace) ett(temps). Dans l"équation ci-dessus, le termep(x;t) =!tkx+oreprésente laphasede l"OPPH au point(x;t)considéré. Quant à la constanteo, celle-ci désigne laphase à l"origine, c"est
à dire la valeur de la fonctionpà l"instant initialt= 0et à la position d"originex= 0:o=p(0;0)1.
Les deux constantes!etksont respectivement lapulsationde l"onde et la norme du vecteur d"onde~k=k~.Une OPPH est associée à une pulsation!unique. Or, cette pulsation est reliée à la fréquencefde
l"onde par la relation :f=!=2. En éléctromagnétisme, la fréquence d"une onde électromagnétique dans
le domaine visible détermine directement lacouleurde la lumière associée à cette onde. Les OPPH sont
donc également souvent dénomméesondes monochromatiques. L"OPPH définie ci-dessus comporte deux composantes depériodicité: - périodicité temporelle : à x fixé,T=2! =1f - périodicité spatiale : à t fixé,=2k =1 oùfest lafréquenceetest larépétence. r d rMOfront
d'onde xy z u z u x u yFigure4Implicitement, en ne retenant que la normek=jj~kjj dans l"équation 19, on a supposé que les OPPH ici considé- rées se propagent dans la direction(Ox). Le vecteur~ksera dans ce cas parallèle à l"axe(Ox). Cependant, dans le cas général, pour une OPPH se propageant dans une direction quelconque de l"espace, il convient de considérerfsous la forme : s(M;t) =Acos(!t~k:~r+o)(20)où~r=!OMest le vecteur position au pointM. Les vecteursket!OMne pointent pas nécessairement dans
la même direction. On a défini le front d"onde comme l"ensemple des valeurs dextelles ques(M;t) =1. Mais on peut avoirp=opour d"autres couples(x;t)!Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 5
Partie 2: ONDES PROGRESSIVES
Acosp=cste àtfixé. En différenciantpàtfixé, on peut montrer que cette condition implique :
p=cste)(dp)t= 0 =~k:d~rsur une surface d"onde. Par conséquent, pourd~rappartenant au front d"onde, ~kest perpendiculaire àd~r. On en déduit que~kest donc perpendiculaire au front d"onde(Figure 4). Pour l"OPPH se propageant selon(Ox), cela signifie que les plans d"ondes sont parallèles
au plan(Oyz)(Figure 3). On a alors~k=kx:~ux(où~uxest un vecteur unitaire dirigé selon(Ox)),!OM=~r=x:~ux+y:~uy+z:~uzet~k:~r=kx:x.
On définit lavitesse de phasecomme la vitessevà laquelle se déplace un plan d"onde défini par
p=cste. Cette vitesse peut être trouvée en différenciantp. p (x)v d tà t+dt
à tFigure5Pour l"OPPH se propageant dans la direction(Ox), cela donne : dp=@p@t dt+@p@x dx=!dtkdx= 0 =)v =dxdt =!k (21) où l"on rappelle que la conditiondp= 0provient de la définition de la surface d"onde, i.e.p= cste. La longueur d"ondecorrespond à la distance séparant deux plans d"onde successifs, correspondants àpetp+ 2(Figure 5). On a donc :=vT.On notera enfin que la "constante"
~kdevra être considérée dans le cas général comme une fonction de la pulsation!:~k=~k(!). La relation permettant d"exprimer~ken fonction de!est appelée larelation de dispersion.2.2 Représentation complexe des OPPH
La représentation complexe de l"OPPH de pulsation!se propageant dans la direction~ks"écrit : s(~r;t) =Acos(!t~k:~r+o) =Re Aexp i(!t~k:~r+o) =Re Aexp i(!t~k:~r) avecA=Aeio: amplitude complexe =Re(s(~r;t))avecs(~r;t) =Aexp i(!t~k:~r)(22)On se restreint ici au cas de l"OPPH se propageant dans la direction(Ox). Les propriétés de dérivation
de la fonction exponentielle impliquent : @s@t =i!set @s@x =ikxs=iks(23)Puisquesest solution de l"équation d"onde :
2s@x 21c2@ 2s@t 2= 0) k 2!2c 2 s= 0(24)
Une solution non triviale (s6= 0) existe si :
k=!c )vquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] onde plane electromagnetique
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