[PDF] VARIABLES ALÉATOIRES (Partie 2)





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LOI BINOMIALE

Le triangle de Pascal est utilisé pour déterminer rapidement les coefficients binomiaux. Vidéo https://youtu.be/6JGrHD5nAoc 



6 Cours

On en arrive donc à la définition des coefficients binomiaux : Coefficient binomial Schéma de Bernoulli triangle de Pascal



LOIS DISCRÈTES (Partie 2)

Propriété du triangle de Pascal : Pour tout entier naturel k tel que 0? ? : 1) Probabilité d'une loi binomiale à l'aide des coefficient binomiaux.



Résumé des nouveaux programmes de Mathématiques du Lycée

Probabilités : schéma de Bernoulli loi de Bernoulli



VARIABLES ALÉATOIRES (Partie 2)

Tout le cours sur la loi binomiale en vidéo : https://youtu.be/ I. Coefficients binomiaux ... arithmétique appelé aujourd'hui "triangle de Pascal". Son.



Factorielle et binôme de Newton Cours

sont encore appelés « coefficients binomiaux ». Ils vérifient les pro- pour de petites valeurs de k et n on peut utiliser le triangle de. Pascal :.



La Vie de Blaise Pascal et son Heritage Mathématique et

combinaisons » est connu comme « Le Triangle de Pascal. » Ce triangle à des utilisations pour les probabilités des coefficients binomiaux



Loi binomiale cours

http://mathsfg.net.free.fr/terminale/TSTMG2020/binomiale/binomialecoursTSTMG.pdf



Mathématiques complémentaires Une progression possible…

Loi de décroissance radioactive (modèle discret). ? Loi de refroidissement de Newton (modèle discret). Coefficients binomiaux triangle de Pascal.



Exercices supplémentaires : Loi binomiale

On considère une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 20 et 04. Partie B : Coefficients binomiaux. Exercice 1.



LEÇON N? 3 : Coef?cients binomiaux dénombrement des

Coef?cients binomiaux combinaisons et formule du binôme Proposition 1 (formule de Pascal) : n p = n ? 1 p + n ? 1 p ? 1 démonstration :Soit un ensemble E à n éléments On suppose que l’on a « extrait » une partie à p éléments Si l’on retire un élément {a} à E c’est soit un élément de la combinaison soit non



Coefficients binomiaux et loi de Pascal - Maxicours

Partie 1 : Coefficients binomiaux 1) Définition et propriétés Exemple : On a représenté dans un arbre de probabilité les issues d'une expérience suivant un schéma de Bernoulli composé de 3 épreuves de Bernoulli de paramètre p X est la variable aléatoire qui donne le nombre de succès



Séance 03 : coefficients binomiaux

a Reprendre le triangle de Pascal du cours et le compléter jusqu'au rang n = 7 b En utilisant ce triangle de Pascal déterminer la valeur des coefficients binomiaux suivants : et 20 3 Calculer à la calculatrice puis sans calculatrice donner un autre coefficient binomial qui lui est égal



Construction des coefficients binomiaux en vue de l - APMEP

Les coefficients binomiaux étaient connus sous la forme du triangle en Orient et au Moyen-Orient (au X e et au XI e siècle) plusieurs siècles avant que Blaise Pascal ne leur consacre un traité : « Traité du triangle arithmétique » en 1654 (publié à Paris en



LOI BINOMIALE - maths et tiques

Une loi binomiale est une loi de probabilité d'une variable aléatoire X qui donne le nombre de succès de l'expérience Exemple : Vidéo https://youtu be/b18_r8r4K2s On a représenté dans un arbre de probabilité les issues d'une expérience suivant un schéma de Bernoulli composé de 3 épreuves de Bernoulli de paramètre p



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freemaths • Mathématiques Coefficients binomiaux Triangle de Pascal 1 A Factorielle d'un entier naturel n: n ! = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) B Coefficients binomiaux: 1 Formule: n k = n ! k ! ( n - k ) ! avec: 0 ? k ? n 2 Propriétés: • n n = 1 • n 0 = 1 • n 1 = n • n k = n n - k

Comment calculer les coefficients binomiaux ?

    Déterminer des coefficients binomiaux à l'aide du triangle de Pascal. Soit deux entiers naturels n et k tels que et . Le coefficient binomial (qu’on lit « k parmi n ») est le nombre de parties de k éléments distincts dans un ensemble de n éléments (sans tenir compte de l’ordre).

Qu'est-ce que la loi binomiale ?

    Définition de la loi binomiale La loi binomiale de paramètres n n et p p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X X qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres n n et p p. On note X ? B(n; p) X ? B ( n; p) pour dire « X X suit la loi binomiale de paramètres n n et p p ».

Quel est le coefficient binomial?

    Coefficient binomial. En mathématiques, les coefficients binomiaux, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, donnent le nombre de parties de k éléments dans un ensemble de n éléments.

Qu'est-ce que la loi binomiale de paramètres n N et P P ?

    La loi binomiale de paramètres n n et p p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X X qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres n n et p p. On note X ? B(n; p) X ? B ( n; p) pour dire « X X suit la loi binomiale de paramètres n n et p p ». Exemple: comment justifier une loi binomiale?
1

VARIABLES ALÉATOIRES - Chapitre 2/2

Tout le cours sur la loi binomiale en vidéo : https://youtu.be/xMmfPUoBTtM

Partie 1 : Coefficients binomiaux

1) Définition et propriétés

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/-gvlrfFdaS8

On a représenté dans un arbre de

probabilité les issues d'une expérience suivant un schéma de Bernoulli composé de

3 épreuves de Bernoulli de paramètre í µ.

í µ est la variable aléatoire qui donne le nombre de succès. Combien existe-t-il de chemins conduisant à 2 succès parmi 3 épreuves ? On dit aussi : " Combien existe-t-il de combinaisons de 2 parmi 3 ? » - (Succès ; Succès ; Échec) - (Succès ; Échec ; Succès) - (Échec ; Succès ; Succès) Il existe donc trois combinaisons de 2 parmi 3 et on note : í±‹ 3 2 &=3.

Définition : On réalise une expérience suivant un schéma de Bernoulli de paramètre í µ et í µ.

On appelle coefficient binomiale ou combinaison de k parmi n, noté í±‹ &, le nombre de

chemins conduisant à í µ succès parmi í µ épreuves sur l'arbre représentant l'expérience.

Propriétés : í±‹

&=1 í±‹ &=1 í±‹ 1

Démonstrations :

- Il n'y a qu'un seul chemin correspondant à 0 succès parmi í µ épreuves : (Échec, Échec, ... , Échec) - Il n'y a qu'un seul chemin correspondant à í µ succès parmi í µ épreuves : (Succès, Succès, ... , Succès) - Il n'y a í µ chemins correspondant à 1 succès parmi í µ épreuves : (Succès, Échec, Échec, ... , Échec) (Échec, Succès, Échec, ... , Échec) (Échec, Échec, Succès, ... , Échec) (Échec, Échec, Échec, ... , Succès) 2

Avec la calculatrice :

Il est possible de vérifier les résultats à l'aide d'une calculatrice. La fonction se nomme "combinaison" ou "nCr".

Pour calculer í±‹

25
24
&, on saisie : 25combinaison24 ou 25nCr24 suivant le modèle de calculatrice.

Avec un tableur :

La fonction se nomme "COMBIN".

Pour calculer í±‹

25
24
&, on saisie : =COMBIN(25;24)

2) Triangle de Pascal

Propriété du triangle de Pascal : í±‹

í µ-1 í µ-1 í µ-1 Démonstration pour í µ = 5, í µ = 3 : í±‹ 5 3 4 2 4 3 Il y a deux types de chemins comportant 3 succès parmi 5 épreuves, í±‹ 5 3 - Ceux qui commencent par un succès : il y en a 2 parmi 4, soit í±‹ 4 2 En effet, dans l'arbre, il reste à dénombrer 2 succès parmi 4 expériences. - Ceux qui commencent par un échec : il y en a 3 parmi 4, soit í±‹ 4 3 En effet, dans l'arbre, il reste à dénombrer 3 succès parmi 4 expériences. Ces deux types de chemins sont disjoints, donc : í±‹ 5 3 4 2 4 3 Blaise Pascal (1623 ; 1662) fait la découverte d'un triangle arithmétique, appelé aujourd'hui "triangle de Pascal". Son but est d'exposer mathématiquement certaines

combinaisons numériques dans les jeux de hasard et les paris. Cette méthode était déjà

connue des perses mais aussi du mathématicien chinois Zhu Shi Jie (XIIe siècle). Ci-contre, le triangle de Zu Shi Jie extrait de son ouvrage intitulé Su yuan zhian (1303). Le tableau qui suit se complète de proche en proche comme combinaisons répondant à la propriété du triangle de Pascal.

Par exemple, ci-dessous, on a : 10 + 5 = 15

Vidéo https://youtu.be/6JGrHD5nAoc

3

¯ Exemple pour í±‹

4 2

Exemple pour í±‹

6 4 5 3 5 4

Partie 2 : Application à la loi binomiale

Propriété : Soit une variable aléatoire í µ qui suit la loi binomiale de paramètres í µ et í µ.

1-í µ

Méthode : Calculer les probabilités d'une loi binomiale

Vidéo https://youtu.be/1gMq2TJwSh0

Une urne contient 5 boules gagnantes et 7 boules perdantes. Une expérience consiste à tirer au hasard 4 fois de suite une boule et de la remettre. On appelle í µ la variable aléatoire qui associe le nombre de tirages gagnants. a) Justifier que í µ suit une loi binomiale. b) Calculer la probabilité d'obtenir 3 boules gagnantes.

Correction

a) On répète 4 fois de suite de façon identique et indépendante une épreuve à deux issues :

boules gagnantes (5 issues) ; boules perdantes (7 issues).

Le succès est d'obtenir une boule gagnante.

0 1 2 3 4 5 6

0 1 1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 í±‹

4 2 &=6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

4 La probabilité du succès sur un tirage est égale à La variable aléatoire í µ suit donc la loi binomiale de paramètres : í µ=4 et í µ= b) í µ=3 4 3 &7 5 12 8 71-
5 12 8 4 3 &7 5 12 8 7 7 12 8 =4× 125
1728
7 12 875
5184
â‰ˆí±˜,17.

La loi binomiale avec la calculatrice :

Vidéo https://youtu.be/ZIy1AWJu8tg (avec TI)

Vidéo https://youtu.be/TO1ym3lJCQo (avec Casio)

Vidéo https://youtu.be/RZsNHNhWlsg (avec HP)

Nombredecombinaisonsde

3succèsparmi4épreuves.

Probabilités

des3succès.

Probabilitésdes

4-3=1échec.

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