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EXAMEN DE CRYPTOGRAPHIE
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Examen de Cryptographie et Sécurité
Durée : 1h30 Documents non autorisés
Exercice 1 (7pts)
est la même que la fonction de chiffrement.1. Si la fonction de chiffrement est involutive quelle est la clé de déchiffrement ?
n. Trouver toutes les clésinvolutives (i.e. telles que la fonction de chiffrement est involutive). Traiter les cas n = 26 et n = 29.
3. Si le chiffrement est affine sur Zn, caractériser les clés involutives. Préciser le nombre de clés
involutives dans le cas où n est un nombre premier.Exercice 2 : (13pts)
1. Peut-on avoir pour un même message clair plusieurs messages chiffrés ? justifier votre.
2. ElGamal , Alice et Bob p; g. Soit g=3
montrer que g est générateur de Z7 .3. Soit a = 4 la clé secrète Alice, donne
4. Supposons que Bob veut envoyer le message m=2 à Alice avec un aléa k=5; quel est le message
chiffré correspondant à envoyer à Alice ?5. Montrer comment Alice retrouve le message m à partir du message chiffré reçu.
6. Une mauvaise uti
signer plusieurs messages. Montrer que si Bob signe deux différents messages m1,m2 avec lamême valeur k et obtient les signatures (r,s1), (r,s2); Oscar pourra générer une signature pour tout
message dans des conditions particulières.7. Supposons que le générateur de nombres pseudo-
sa clé privée a à la place. Comment Oscar qui intercepte (m,r,s) peut-il se rendre compte de cette panne ?
8. Considérons ù p, g, a, A, k, r sont les mêmes pour la
-1r mod (p-1). quelle est la vérification de cette signature ?9. Montrer peut casser cette signature.
Département informatique Le 03/06/2013 Faculté Electronique et Informatique Master SSI 1ère année USTHBCorrigé
Exercice 1: (7pt)
1- (1pt) La clé de chiffrement est égale à la clé de déchiffrement.
2- (2pt) Les chiffrements par décalage s'écrivent x x + K [n]. Les clefs involutives sont celles
pour lesquelles f-1(f(x))=x ; f-1(x+K)=x+2K = x 2K=0[n]. (0.5pt) Pour n=26 ce sont les clefs pour lesquelles 2K = 26q soit K = 13q. On a alors K =13;K =0.
(0.5pt) Pour n=29, on a K=03- (2pt) Chiffrement affine : on cherche les fonctions de codage telles que fa,b(fa,b(x))x pour
tout x dans E (c'est-à-dire (fa,b)-1= fa,b) : on doit donc avoir pour tout x dans E a(ax+b)+bx [n]soit a2x+ab+bx [n]. Donc il faut que a21 [n]et b(a+1)0 [n](1pt) Si n est premier, la solution pour les deux équations précédentes est a=n-1 et bZn, les
clés sont les couples (n-1,b) il y a n clésExercice 2: (13pt)
1. (1pt) Notons que ce calcul dépend du choix de k et donc que pour un message clair donné, il y a
plusieurs messages chiffrés correspondants2. (1.5pt) 31 = 3; 32 = 9 = 2; 33 = 2 * 3 = 6; 34 = 6 * 3 = 4; 35 = 4 * 3 = 5; 36 = 5 * 3 = 1, tous les calculs sont
modulo 7, ainsi g = 3 génère tous les éléments de Z7, il est générateur de Z7.3. (0.5pt) Soit a = 4 la A = ga (mod p) = 34 (mod 7) = 4. La clé publique est (p =
7; g = 3;A = 4)
4. (1pt) Le message chiffré est un couple (c1; c2) il est obtenu comme suit :
c1 = gk (mod p) = 35 (mod 7) = 5 c2 = mAk (mod p) = 2 * 45 (mod 7) = 2 *2 = 45. (2pt) Soit le couple reçu par Alice (c1; c2) , elle déchiffre le message comme suit :
m = c1-a c2 (mod p) = 5-44 (mod 7) = (5-1)44 (mod 7) = 344 (mod 7) = 4 * 4 (mod 7) = 26. (2pt) S1= k-1(m1-ar) mod p-1
S2= k-1(m1-ar) mod p-1
k=(s1-s2)(m1-m2)-1 mod p-1 si pgcd((m1-m2), p-1)=1, on trouvera k et conséquent on trouvera a la clé secrète, on pourra signer tout message7. (2pt) La clé publique est (p ; g; A = ga) si k=a, r=ga=A mod p et oscar remarque que r=A
8. (2pt) la vérification est g*r-rs= Am
9. (1pt) A partir de r,s choisis, on peut définir un message m.
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