Cours de mathématiques pour la classe de Seconde
xA; yB − yA) du vecteur −−→. AB. – Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs dans un repère. A tout point C du plan on
Chapitre 8 : Vecteurs
Attention : cette formule est fausse dans un repère non orthonormé ! 13 /16. Page 14. Vecteurs-cours. Seconde. Exercice 16. Dans un repère orthonormé
3e-Maths-fascicule-exos-Babacar-DIARRA.pdf
EXERCICE 9: EXERCICE 10: A. B. C. D. E. F. G. Page 56. REUSSIR LES MATHEMATIQUES AU BFEM. BABACAR DIARRA. 56. Correction série d'exercices Vecteurs. EXERCICE 1
Introduction aux probabilités et à la statistique Jean Bérard
Ce cours est entre autres un cours de mathématiques où s'imposent donc des normes élevées de Exercice 56 Au cours de débats portant sur l'utilité (ou l' ...
Python au lycée - tome 1
La première ligne importe toutes les fonctions du module math la seconde calcule x = 2 (en valeur cours. Par exemple : la moyenne mobile (à 7 jours) pour le ...
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3. Ecrire une équation et calculer les dimensions de la cour. Page 13. Recueil d'exercices.
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Voici la répartition de la seconde langue des élèves d'un lycée de 1200 élèves. TRANSLATIONS ET VECTEURS. Exercice 1. Soit un segment [AB] et I son milieu. 1 ...
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Quel est son vecteur rotation par rapport `a R? En utilisant les résultats précédents calculer la dérivée par rapport au temps des vecteurs de la base
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Calculer la norme du vecteur position OM et en déduire la trajectoire du point M. Exercice 10. Dans le calendrier musulman l'événement origine est l'Hégire
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C'est dans ce sens qu'il faut comprendre notre document intitulé : Réussir les maths au BFEM. Ce présent document est axé sur tout le programme de la 3ème avec
cours-3ieme-et-exercices-Babacar-DIARRA.pdf
COURS ET EXERCICE MATHEMATIQUES. BABACAR DIARRA. 1. Racine carrée. Equation et Inéquation du premier degré à une inconnue. Equation et système d'équations
FINALE FASCICULE MATHS 3EME ok
d'exercices de Mathématiques PROGRAMME DE MATHEMATIQUES EN CLASSE DE 3 ... Construction d'un vecteur d'origine A et égal au vecteur u + v de deux façons ...
Math 3 A5
Première partie : résumé du cours par chapitre ; vecteur ou C est le point d'abscisse k dans le repère (AB). Ou encore : ... Exercice 1 : (5points).
REPUBLIQUE DU SENEGAL Un peuple Un but Une foi 182
REUSSIR LES MATHEMATIQUES AU BFEM. BABACAR DIARRA. 6. Correction série d'exercices racine carrée. EXERCICE 1 : 1) Faux 2)Faux 3) vrai 4) vrai 5) faux 6)
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 1. Soit P un plan muni d'un repère R(Oi
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Fascicule MATHEMATIQUES – 4ème TRANSLATIONS ET VECTEURS. ... Les exercices de chaque chapitre sont proposés dans un ordre respectant la gradation des ...
Cours de mathématiques pour la classe de Seconde
Cours de mathématiques pour la classe de Seconde 12 Vecteurs repérage ... En seconde
Introduction aux probabilités et à la statistique Jean Bérard
Des commentaires sur les exercices sont également proposés. Rappelons à toutes fins utiles que la solution d'un exercice doit être relue en grand détail de.
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
activement par vous-même des exercices sans regarder les solutions ! translation de vecteur Ti
Mathématiques
classe de seconde de poursuivre l'entraînement des élèves dans ce domaine par la pratique Le programme n'est pas un plan de cours et ne contient pas de ...
BURKINA FASO
Unité - Progrès - Justice
MINISTERE DE L"EDUCATION NATIONALE,
DE L"ALPHABETISATION ET DE LA PROMOTION
DES LANGUES NATIONALES
ANNALES
MATHEMATIQUES
3ème
2Auteurs :
- Dieudonné KOURAOGO, IES - Victor T. BARRY, IES - Jean Marc TIENDREBEOGO, IES - Clément TRAORE, IES - Bakary COMPAORE, IES - Abdoul KABORE, CPESMaquette et mise en page :
Joseph OUEDRAOGO
Tous droits réservés :
© Ministre de l"Education nationale, de l"AlphabétisationEt de la Promotion des Langues nationales
Edition :
Direction générale de la Recherche en Education et de l"Innovation pédagogique 3 4AVANT-PROPOS
La présente annale destinée à la classe de troisième a pour but d"aider le professeur dans son enseignement et le candidat au BEPC de se préparer à l"épreuve de mathématiques.Cette annale comporte trois parties :
Première partie : résumé du cours par chapitre ; Deuxième partie : énoncés des épreuves du BEPC ; Troisième partie : propositions de corrigés des épreuves. Les candidats ne tireront profit qu"en résolvant et en trouvant par eux- mêmes les solutions sans avoir recours aux corrigés. Les corrigés sont donnés pour confirmer la justesse des réponses ou offrir d"autres pistes de résolution qui ne sont peut-être pas les leurs. Le succès résulte de l"effort et de la méthode. Nous vous souhaitons du plaisir dans vos activités mathématiques et attendons vos critiques et suggestions à l"effet d"améliorer d"éventuelles futures oeuvres.Les auteurs
5 6RAPPEL DE COURS
RAPPEL DE COURS
7CHAPITRE I : NOMBRES REELS
1) Nombres réels
L"ensemble des nombres réels se note ℝ.
désigne l"ensemble des réels positifs et ℝ l"ensemble des réels négatifs. 2)Intervalles dans ℝ
Un intervalle est un sous-ensemble de ℝ.
et ℝ sont des intervalles de ℝ. a et b étant deux réels, les inégalités aEncadrement d"une somme :
Etant donné les réels a, a", b, b", x et x" :Si a Encadrement d"un produit :
Etant donné les réels positifs a, a", b, b", x et x" : Si a 4) Valeur absolue d'un réel
Définition :
On appelle valeur absolue d"un nombre réel x, le réel positif || noté défini par : *Si ≥0 alors ||= 8 Par conséquent pour tout ||≥ 0
5) Distance de deux réels
A et B sont deux points d"abscisses respectives a et b sur une droite graduée. On appelle distance des réels a et b le réel On le note d(a, b) et on a d(a, b) = | - |= AB.
Par conséquent :
*Si a = b alors d(a, b) = 0 *Si d(a, b) = 0 alors a = b *d(a, b) ≥ 0 *d(a, b) = d(b ,a) CHAPITRE II : MULTIPLICATION D'UN VECTEUR
PAR UN NOMBRE REEL
1) Produit d'un vecteur par un réel
Définition
A et B étant deux points distincts du plan, k étant un réel quelconque : k. désigne le vecteur ou C est le point d"abscisse k dans le repère (A,B). Ou encore :
9 Si = ur alors k. = k.ur . Le vecteur k. ur est appelé produit du vecteur ur par le réel k. 2) Propriétés
· Si
= k. alors · k. ur
= 0 si et seulement si k = 0 ou ur = 0 · 1.ur
=ur · Pour tous réels x et y : ( x + y).ur
= x.ur +y.ur · Pour tous vecteurs ur
et , et pour tout réel x : x(ur +)= xur +x · Pour tout vecteur ur
et pour tous réels x et y : x.(y. ur )= (x y). ur 3) Alignement de trois points
Vecteurs colinéaires
S"il existe un réel k tel que v = k.ur
, on dit que ur et sont colinéaires ( ur et non nuls). Propriétés
A, B et C sont alignés si et seulement si
et sont colinéaires. 10 Droites parallèles
Si ABuuur
et CDuuur sont colinéaires et non nuls alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Réciproquement :
Si les droites (AB) et (CD) sont parallèles alors les vecteurs et sont colinéaires et non nuls. CHAPITRE III : COORDONNEES D'UN
VECTEUR
I. DEFINITION
0,, un repère du plan. Soient A( xA ; yA ) et B( xB ; yB ) deux points de ce plan. Le vecteur
a pour coordonnées . On note II. PROPRIETES
Soient &
()et * (+,deux vecteurs. Pour tout réel , 78 89:8&; .&
a pour coordonnées> = ?@ 8: ?8&78A8B: ?@ = +8: ( = (+. 11 + DE&; 9EE;FEBBé8? + Pour tout vecteur &
tel que & = + on a : & GH IJ. Pour tout point M du plan, si KL
= .+ (. 7E;? L ; (. III. COORDONNEES DU MILIEU D'UN SEGMENT
Soient E( xE ; yE ), F( xF ; yF ) et K( xK ; yK ) trois points du plan. N@ O A@7@8& F8
PQRS alors T=UV W 8: (T= UV
W IV. CONDITION DE COLINEARITE DE DEUX
VECTEURS
Théorème :
Deux vecteurs &
et + + sont colinéaires si et seulement si (+- +( = 0. V. CONDITIONS D'ORTHOGONALITE DE
DEUX VECTEURS
Deux vecteurs &
et + + non nuls sont orthogonaux si et seulement si ++ ((+= 0. CHAPITRE IV : RACINE CARREE D'UN REEL
POSITIF
I. DEFINITION
Étant donné un nombre réel positif a, il existe un unique. Nombre réel positif dont le carré est égal à a. symbole 12 II. PROPRIETES
pour tous réels positifs et ≠ 0, ]H I=]H I. pour tout nombre réel positif ,`W=||. III. EXPRESSION CONJUGUEE
aour tout réels positifs et ,En appelle expression conjuguée de De même l
+expression conjuguée de L"expression conjuguée peut être utilisée pour rendre rationnel le dénominateur. Remarque :
Pour tous réels positifs a et b, l"expression conjuguée de e st - IV. COMPARAISONS
Racine carrée et ordre
La racine carré conserve l
+ordre : Egalité
Pour tous réels positifs a et b,
Règle de Comparaison
Pour comparer deux réels positifs a et b, il suffit de comparer leurs carrées. Equations et racine carrée
13 N = · Si k = 0, alors l+équation W= k admet une solution x = 0. N = m0n N= ∅
14 CHAPITRE V : EQUATIONS - INEQUATIONS
DANS IR
I. EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE
Définition
Une équation est dite du premier degré si on peut la mettre sous la forme a.x + b = 0 a et b sont des réels donnés , x est l"inconnue. Résolution :
· Si a = 0 et b=0 alors tout réel est solution : N = ℝ. Si a≠ 0 alors = -I
H : N = m-I
Hn · Si a = 0 et b ≠ 0 alors il n"y a pas de solution : N = ∅. II. INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE
INCONNUE
Définition
On appelle inéquation du premier degré une inégalité qui peut se mettre sous l"une des formes suivantes : a.x+ b donnés. Remarque :
* ab * ab 15 CHAPITRE VI : RAPPORT DE PROJECTION
I. Définition du rapport de projection
Les points O, A", B", C" et M" sont les projetés respectifs des points O, A, B, C et M sur la droite (
D") parallèlement à la droite (AA").
On note k =
'OM OM 'OA OA 'OB OB ' 'A B AB ' 'A M AM Définition : Le réel k est appelé rapport de projection de (D) sur (D") parallèlement à (AA"). 16 II. Rapport de projection orthogonale
Définition
Soit k le rapport de projection orthogonale de ( D) sur (D"). On a k =
'OM OM= 'OA OA = 'OB OB= ' 'A B AB= ' 'A M AM Propriété
Si le rapport de projection orthogonale de (D) sur ( D") et + le rapport de projection orthogonale de ( D") sur ( D), alors on a = +.
O B B' Cquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29
Encadrement d"un produit :
Etant donné les réels positifs a, a", b, b", x et x" :Si a 4) Valeur absolue d'un réel
Définition :
On appelle valeur absolue d"un nombre réel x, le réel positif || noté défini par : *Si ≥0 alors ||= 8 Par conséquent pour tout ||≥ 0
5) Distance de deux réels
A et B sont deux points d"abscisses respectives a et b sur une droite graduée. On appelle distance des réels a et b le réel On le note d(a, b) et on a d(a, b) = | - |= AB.
Par conséquent :
*Si a = b alors d(a, b) = 0 *Si d(a, b) = 0 alors a = b *d(a, b) ≥ 0 *d(a, b) = d(b ,a) CHAPITRE II : MULTIPLICATION D'UN VECTEUR
PAR UN NOMBRE REEL
1) Produit d'un vecteur par un réel
Définition
A et B étant deux points distincts du plan, k étant un réel quelconque : k. désigne le vecteur ou C est le point d"abscisse k dans le repère (A,B). Ou encore :
9 Si = ur alors k. = k.ur . Le vecteur k. ur est appelé produit du vecteur ur par le réel k. 2) Propriétés
· Si
= k. alors · k. ur
= 0 si et seulement si k = 0 ou ur = 0 · 1.ur
=ur · Pour tous réels x et y : ( x + y).ur
= x.ur +y.ur · Pour tous vecteurs ur
et , et pour tout réel x : x(ur +)= xur +x · Pour tout vecteur ur
et pour tous réels x et y : x.(y. ur )= (x y). ur 3) Alignement de trois points
Vecteurs colinéaires
S"il existe un réel k tel que v = k.ur
, on dit que ur et sont colinéaires ( ur et non nuls). Propriétés
A, B et C sont alignés si et seulement si
et sont colinéaires. 10 Droites parallèles
Si ABuuur
et CDuuur sont colinéaires et non nuls alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Réciproquement :
Si les droites (AB) et (CD) sont parallèles alors les vecteurs et sont colinéaires et non nuls. CHAPITRE III : COORDONNEES D'UN
VECTEUR
I. DEFINITION
0,, un repère du plan. Soient A( xA ; yA ) et B( xB ; yB ) deux points de ce plan. Le vecteur
a pour coordonnées . On note II. PROPRIETES
Soient &
()et * (+,deux vecteurs. Pour tout réel , 78 89:8&; .&
a pour coordonnées> = ?@ 8: ?8&78A8B: ?@ = +8: ( = (+. 11 + DE&; 9EE;FEBBé8? + Pour tout vecteur &
tel que & = + on a : & GH IJ. Pour tout point M du plan, si KL
= .+ (. 7E;? L ; (. III. COORDONNEES DU MILIEU D'UN SEGMENT
Soient E( xE ; yE ), F( xF ; yF ) et K( xK ; yK ) trois points du plan. N@ O A@7@8& F8
PQRS alors T=UV W 8: (T= UV
W IV. CONDITION DE COLINEARITE DE DEUX
VECTEURS
Théorème :
Deux vecteurs &
et + + sont colinéaires si et seulement si (+- +( = 0. V. CONDITIONS D'ORTHOGONALITE DE
DEUX VECTEURS
Deux vecteurs &
et + + non nuls sont orthogonaux si et seulement si ++ ((+= 0. CHAPITRE IV : RACINE CARREE D'UN REEL
POSITIF
I. DEFINITION
Étant donné un nombre réel positif a, il existe un unique. Nombre réel positif dont le carré est égal à a. symbole 12 II. PROPRIETES
pour tous réels positifs et ≠ 0, ]H I=]H I. pour tout nombre réel positif ,`W=||. III. EXPRESSION CONJUGUEE
aour tout réels positifs et ,En appelle expression conjuguée de De même l
+expression conjuguée de L"expression conjuguée peut être utilisée pour rendre rationnel le dénominateur. Remarque :
Pour tous réels positifs a et b, l"expression conjuguée de e st - IV. COMPARAISONS
Racine carrée et ordre
La racine carré conserve l
+ordre : Egalité
Pour tous réels positifs a et b,
Règle de Comparaison
Pour comparer deux réels positifs a et b, il suffit de comparer leurs carrées. Equations et racine carrée
13 N = · Si k = 0, alors l+équation W= k admet une solution x = 0. N = m0n N= ∅
14 CHAPITRE V : EQUATIONS - INEQUATIONS
DANS IR
I. EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE
Définition
Une équation est dite du premier degré si on peut la mettre sous la forme a.x + b = 0 a et b sont des réels donnés , x est l"inconnue. Résolution :
· Si a = 0 et b=0 alors tout réel est solution : N = ℝ. Si a≠ 0 alors = -I
H : N = m-I
Hn · Si a = 0 et b ≠ 0 alors il n"y a pas de solution : N = ∅. II. INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE
INCONNUE
Définition
On appelle inéquation du premier degré une inégalité qui peut se mettre sous l"une des formes suivantes : a.x+ b donnés. Remarque :
* ab * ab 15 CHAPITRE VI : RAPPORT DE PROJECTION
I. Définition du rapport de projection
Les points O, A", B", C" et M" sont les projetés respectifs des points O, A, B, C et M sur la droite (
D") parallèlement à la droite (AA").
On note k =
'OM OM 'OA OA 'OB OB ' 'A B AB ' 'A M AM Définition : Le réel k est appelé rapport de projection de (D) sur (D") parallèlement à (AA"). 16 II. Rapport de projection orthogonale
Définition
Soit k le rapport de projection orthogonale de ( D) sur (D"). On a k =
'OM OM= 'OA OA = 'OB OB= ' 'A B AB= ' 'A M AM Propriété
Si le rapport de projection orthogonale de (D) sur ( D") et + le rapport de projection orthogonale de ( D") sur ( D), alors on a = +.
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4) Valeur absolue d'un réel
Définition :
On appelle valeur absolue d"un nombre réel x, le réel positif || noté défini par : *Si ≥0 alors ||= 8Par conséquent pour tout ||≥ 0
5) Distance de deux réels
A et B sont deux points d"abscisses respectives a et b sur une droite graduée. On appelle distance des réels a et b le réelOn le note d(a, b) et on a d(a, b) = | - |= AB.
Par conséquent :
*Si a = b alors d(a, b) = 0 *Si d(a, b) = 0 alors a = b *d(a, b) ≥ 0 *d(a, b) = d(b ,a)CHAPITRE II : MULTIPLICATION D'UN VECTEUR
PAR UN NOMBRE REEL
1) Produit d'un vecteur par un réel
Définition
A et B étant deux points distincts du plan, k étant un réel quelconque : k. désigne le vecteur ou C est le point d"abscisse k dans le repère (A,B).Ou encore :
9 Si = ur alors k. = k.ur . Le vecteur k. ur est appelé produit du vecteur ur par le réel k.2) Propriétés
· Si
= k. alors· k. ur
= 0 si et seulement si k = 0 ou ur = 0· 1.ur
=ur· Pour tous réels x et y : ( x + y).ur
= x.ur +y.ur· Pour tous vecteurs ur
et , et pour tout réel x : x(ur +)= xur +x· Pour tout vecteur ur
et pour tous réels x et y : x.(y. ur )= (x y). ur3) Alignement de trois points
Vecteurs colinéaires
S"il existe un réel k tel que v = k.ur
, on dit que ur et sont colinéaires ( ur et non nuls).Propriétés
A, B et C sont alignés si et seulement si
et sont colinéaires. 10Droites parallèles
SiABuuur
et CDuuur sont colinéaires et non nuls alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.Réciproquement :
Si les droites (AB) et (CD) sont parallèles alors les vecteurs et sont colinéaires et non nuls.CHAPITRE III : COORDONNEES D'UN
VECTEUR
I. DEFINITION
0,, un repère du plan. Soient A( xA ; yA ) et B( xB ; yB ) deux points de ce plan.Le vecteur
a pour coordonnées . On noteII. PROPRIETES
Soient &
()et * (+,deux vecteurs.Pour tout réel , 78 89:8&; .&
a pour coordonnées> = ?@ 8: ?8&78A8B: ?@ = +8: ( = (+. 11 + DE&; 9EE;FEBBé8? +Pour tout vecteur &
tel que & = + on a : & GH IJ.Pour tout point M du plan, si KL
= .+ (. 7E;? L ; (.III. COORDONNEES DU MILIEU D'UN SEGMENT
Soient E( xE ; yE ), F( xF ; yF ) et K( xK ; yK ) trois points du plan.N@ O A@7@8& F8
PQRS alors T=UVW 8: (T= UV
W IV.CONDITION DE COLINEARITE DE DEUX
VECTEURS
Théorème :
Deux vecteurs &
et + + sont colinéaires si et seulement si (+- +( = 0. V.CONDITIONS D'ORTHOGONALITE DE
DEUX VECTEURS
Deux vecteurs &
et + + non nuls sont orthogonaux si et seulement si ++ ((+= 0.CHAPITRE IV : RACINE CARREE D'UN REEL
POSITIF
I. DEFINITION
Étant donné un nombre réel positif a, il existe un unique. Nombre réel positif dont le carré est égal à a. symbole 12II. PROPRIETES
pour tous réels positifs et ≠ 0, ]H I=]H I. pour tout nombre réel positif ,`W=||.III. EXPRESSION CONJUGUEE
aour tout réels positifs et ,En appelle expression conjuguée deDe même l
+expression conjuguée de L"expression conjuguée peut être utilisée pour rendre rationnel le dénominateur.Remarque :
Pour tous réels positifs a et b, l"expression conjuguée de e st -IV. COMPARAISONS
Racine carrée et ordre
La racine carré conserve l
+ordre :Egalité
Pour tous réels positifs a et b,
Règle de Comparaison
Pour comparer deux réels positifs a et b, il suffit de comparer leurs carrées.Equations et racine carrée
13 N = · Si k = 0, alors l+équation W= k admet une solution x = 0. N = m0nN= ∅
14CHAPITRE V : EQUATIONS - INEQUATIONS
DANS IR
I. EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE
Définition
Une équation est dite du premier degré si on peut la mettre sous la forme a.x + b = 0 a et b sont des réels donnés , x est l"inconnue.Résolution :
· Si a = 0 et b=0 alors tout réel est solution : N = ℝ.Si a≠ 0 alors = -I
H : N = m-I
Hn · Si a = 0 et b ≠ 0 alors il n"y a pas de solution : N = ∅.II. INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE
INCONNUE
Définition
On appelle inéquation du premier degré une inégalité qui peut se mettre sous l"une des formes suivantes : a.x+ b donnés.Remarque :
* ab * ab 15CHAPITRE VI : RAPPORT DE PROJECTION
I. Définition du rapport de projection
Les points O, A", B", C" et M" sont les projetés respectifs des points O, A,B, C et M sur la droite (
D") parallèlement à la droite (AA").
On note k =
'OM OM 'OA OA 'OB OB ' 'A B AB ' 'A M AM Définition : Le réel k est appelé rapport de projection de (D) sur (D") parallèlement à (AA"). 16II. Rapport de projection orthogonale
Définition
Soit k le rapport de projection orthogonale de ( D) sur (D").On a k =
'OM OM= 'OA OA = 'OB OB= ' 'A B AB= ' 'A M AMPropriété
Si le rapport de projection orthogonale de (D) sur ( D") et + le rapport de projection orthogonale de (D") sur ( D), alors on a = +.
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