[PDF] Réduction - fiche récapitulatif

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Réduction - fiche récapitulatif

Lycée MASSÉNA, MP* 9312012-2013

Déf. Valeurs propres, vecteurs propres.

Soitf?L(E)etx?E,xestvecteur propredefsix

?0et?λ?Ktqf(x)=λx λs"appelle lavaleur propre(vp) relative àx.(x,λ)s"appelle uncouple propredef. Déf.On appellespectredef?L(E)et on note sp(f)l"ensemble de ses valeurs propres. Prop.0?sp(f)?fnon injective?en dimension finie, detf=0

Prop.λest vp def?L(E)?ker(f-λId)

?{0} On note alorsEλ(f)=ker(f-λId)={0}?{vecteurs propres defassociés àλ} E λ(f)s"appellesous-espace propredef. Il est stable parf.

Même définition avec des matrices carrées (les vecteurs propres sont des matrices colonnes).

Correspondance entre les vp/vp

defet de sa matrice dans n"importe quelle base. Corrolaire.Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres. Déf. Polynome caractéristique.On poseχM(x)=det(xIn-M), AlorsχMest un polynome (notéχM(X)) appellépolynome caractéristiquedeM. De même pour un endomorphismef, on poseχf(X)=det(XId-f).

Prop.χM(X)=Xn-trMXn-1+

?+(-1)ndetM Prop.Deux matrices semblables ont le même polynome caractéristique. Prop.λ?sp(M)?λracine deχMλ?sp(f)?λracine deχf Prop.En dimensionn, une matrice ou un endomorphisme a au plusnvaleurs propres. Prop.DansK=Cou en dimension impaire, un endomorphisme a au moins une valeur propre. Prop.Pour une matrice diagonale ou triangulaire, les vp sont exactement les termes diagonaux.

Déf.Soitλ?sp(f). Lamultiplicitédeλ, notéemλ, est sa multiplicité en tant que racine deχf

Prop.?λ?sp(f),1?dimEλ(f)?mλ. Simλ=1,λestvp simpleet dimEλ(f)=1.

Prop.Soitλ1,

?,λpdes vp distinctes, alorsEλ1(f),?,Eλp(f)sont en somme directe.

Prop.Soitx1,

?,xpdes vecteurs propres associés à des vp distinctes, alors(x1,?,xp)est libre. Déf. Matrice diagonalisable, endomorphisme diagonalisable. Une matriceM?Mn(K)est ditediagonalisablesi elle est semblable à une matrice diagonale. Un endomorphismef?L(E)est ditdiagonalisablesi?Bbase deEtq matBfest diagonale. Prop.fdiagonalisable?il existe une base deEformée de vecteurs propres def(base propre)

Premier théorème de diagonalisation.dimE=n

Soitf?L(E)(de même pourM?Mn(K)). Il est équivalent de dire : i.fest diagonalisable ii.? i=1pEλi(f)=Eoùλ1, ?,λpsont les vp distinctes def iii. dimEλ1(f)+ ?+dimEλp(f)=n iv.χfest scindé surKet?λ?sp(f), mλ=dimEλ(f) Cas particulier.Siχfest scindé à racines simples, alorsfest diagonalisable. Déf. Polynomes d"endomorphismes, polynomes de matrices. Soitf?L(E)etP?K[X], alorsP(f)est unpolynôme enf(attention :P(f)?L(E)) On noteK[f]l"ensemble des polynômes enf. C"est une sous-algèbre commutative deL(E) appelléealgèbre des polynômesenf. (de même avec les matrices) 1 Prop.SiMest semblable àN,P(M)est semblable àP(N)avec la même matrice de passsage. Prop.Si(x,λ)couple propre def, alors(x,P(λ))couple propre deP(f). Prop.?P?K[X], Ker(P(f))et Im(P(f))sont deux sev deEstables parf. Lemme des noyaux.Dans un espace vectorielEquelconque, soitf?L(E), soientP1etP2deux polynômes tels queP1?P2=1, alors : (généralisation àppolynômes premiers entre eux deux à deux) Déf. Polynome annulateur.Pest unpolynôme annulateurdefsiP(f)=0˜. Prop. Existence.SoitEde dimension finie, alors?f?L(E),?P?K[X]annulateur def NotonsI(f)={P?K[X]|P(f)=0˜}.I(f)s"appelle l"idéal des polynômes annulateursde f. Déf. Polynome minimal.Il existe un unique polynômeΠfunitaire de degré minimal dans

I(f), appellépolynôme minimalde f. Les autres polynômes deI(f)sont tous des multiples deΠf.

Prop.Pannulef?PannuleM=matBf.

Prop.Deux matrices semblables ont les mêmes poly. annulateurs etle même poly. minimal. Prop.SiPannulef, alors spC(f)?{racinesCdeP}. De plus, spC(f)={racinesCdeΠf} Théorème de Cayley-Hamilton.χfest un polynôme annulateur def, ieΠfdiviseχf. Prop.Sifest inversible, alorsf-1est un polynôme enf. (de même avec les matrices) Second théorème de diagonalisation.Soitf?L(E), il est équivalent de dire : i.fest diagonalisable ii.Πfest scindé surKà racines simples (sars) iii. il existe un polynôme annulateur defqui est scindé à racines simples iv.Πf=? i=1n(X-λi), où(λ1, ?,λp)sont les valeurs propres distinctes def. Prop.Soitf?L(E)etFun sevf-stable. Notonsf˜l"endomorphisme induit. Alors : i.) sp?f˜??sp(f)ii.)χf˜diviseχfiii.) siP(f)=0, alorsP?f˜?=0 iv.) sifest diagonalisable, alorsf~est diagonalisable. Prop.SoitMtriangulaire par blocs,Mdiagonalisable?chaque bloc de la diagonale est diagonalisable. Prop.SiAest diagonalisable, alors tout polynôme enAest diagonalisable. Prop.Soent deux endomorphismesfetgtels quef◦g=g◦f, Alors les sous-espaces propres de l"un sont stables par l"autre. Prop.Sifetgsont diagonalisables etf◦g=g◦f, alors ils ont une base propre en commun. Réciproquement, sifetgsont simultanément diagonalisables, alorsf◦g=g◦f.

Déf. Trigonalisation.Soitf?L(E),

on dit quefesttrigonalisablesi il existe une baseBtelle que matBfest triangulaire. On dit qu"une matrice est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire. Théorème de trigonalisation.Soitf?L(E), il est équivalent de dire : i.fest trigonalisable ii.χfest scindé surK iii.Πfest scindé surK Conséquence : dansC, toute matrice et tout endomorphisme est trigonalisable. Prop.M?Mn(K)est nilpotente?spC(M)={0}. De meme pour un endomorphisme.quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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