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Comment réduire un endomorphisme ?
Pour démontrer qu'une matrice A est diagonalisable, la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique ?A et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si ?A n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable.Pourquoi réduire un endomorphisme ?
Endomorphisme et vecteur propre
Le cas le plus simple est celui où le corps est algébriquement clos, c'est-à-dire que tout polynôme non constant admet au moins une racine. C'est le cas des nombres complexes. Alors la réduction est particulièrement efficace.C'est quoi un endomorphisme induit ?
L'endomorphisme induit est la double restriction de l'endomorphisme initial avec à la fois un nouvel ensemble de départ et un nouvel ensemble d'arrivée. La condition de stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour que cette double restriction soit une application.- 2.5 Multiplicité géométrique
Si ? est une valeur propre de A, soit E? le s.e.v. vectoriel engendré par les vecteurs propres associés: E? = Vect({xAx = ?x}). Alors E? est un s.e.v. invariant de A: pour tout x ? E?, Ax ? E?. La dimension de E? sur C, dimC E? est appelée multiplicité géométrique de ?.
Algèbre-III
Réduction des endomorphismes
Alexis Tchoudjem
Université Lyon I
10 octobre 2011
2Dans ce cours
est un corps qui peut être Q,R ou C.Table des matières
1 Un peu de théoriedes groupes7
1.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .7
1.1.1 Associativité, commutativité . . . . . .. . . . . . . . . 8
1.1.2 Identité, éléments inversibles . . . . . .. . . . . . . . . 9
1.2 Groupes . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11
1.3 Sous-groupes . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 13
1.4 Groupes cycliques. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Les groupes
Z /n Z . . . . . . . . . . . . .. . . . . 141.5 Morphismes de groupes . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Sous-groupes distingués . . . . . . . .. . . . . . . . . 18
1.5.2 Isomorphismes. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 19
1.6 Classes à gauche et à droite . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 20
1.7 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 22
1.7.1 Décomposition en cycles . . . . . . . .. . . . . . . . . 22
1.7.2 Signature . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 24
2 Rappels sur les matrices27
2.0.3 Opérations . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 28
2.1 Matrices carrées .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 29
2.2 Applications . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 La suite de Fibonacci . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 31
2.2.2 Graphes . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 32
2.2.3 Équation différentielle . . . . . . . . . .. . . . . . . . 33
2.3 Systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 34
2.4 Rang d'une matrice . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Rappels sur les espaces vectoriels . . .. . . . . . . . . 34
2.4.2 Matrices échelonnées . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 39
2.4.3 Égalité entre le rang des lignes et le rangdes colonnes . 42
2.4.4 Image et noyaud'une matrice . . . . .. . . . . . . . . 44
2.5 Lien avec les applications linéaires . . . .. . . . . . . . . . . . 46
2.5.1 Matrice associéeà une application linéaire . . . . . . . 46
34TABLE DES MATIÈRES
2.5.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 47
2.5.3 Changements debase . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 50
3 Le déterminant53
3.1 Dimension
2 et 3 . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .533.2 Déterminant en dimension quelconque .. . . . . . . . . . . . 54
3.2.1 Arrangements .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 54
3.2.2 Définitions du déterminant . . . . . . .. . . . . . . . . 54
3.3 Règle de Cramer. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 60
3.4 Déterminant d'unendomorphisme . . . .. . . . . . . . . . . . 65
4 Valeurs propres, vecteurs propres67
4.1 Sous-espaces invariants . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 67
4.2 Vecteurs propres. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 68
4.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 70
4.4 Espaces propres .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 78
4.5 Un premier critèrede diagonalisabilité . .. . . . . . . . . . . 83
4.6 Trigonalisation .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 89
5 Polynômes d'endomorphismes93
5.1 Définition . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 93
5.2 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . .. . . . . . . . . . . . 95
5.3 Polynômes annulateurs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 99
6 Décomposition spectrale107
6.1 Sous-espaces caractéristiques . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 107
6.2 Projecteurs spectraux . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 113
6.3 Décomposition deDunford-Jordan . . . .. . . . . . . . . . . . 115
6.4 Calcul pratique des projecteurs spectraux. . . . . . . . . . . . 117
6.4.1 Méthode . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 117
6.4.2 Exemples . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 118
6.5 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 119
6.5.1 Blocs de Jordan. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 119
6.5.2 Matrices nilpotentes . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 120
6.5.3 Réduction de Jordan . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 123
7 Puissances127
7.1 Motivation . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 127
7.2 Cas diagonalisable. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 127
7.3 Cas général . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 130
7.4 Suites récurrentes. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 130
TABLE DES MATIÈRES5
8 Exponentielle133
8.1 Exponentielle complexe . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 133
8.2 Suites de matrices. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 133
8.3 Définition de
exp( A . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1348.4 Méthode de calcul. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 137
8.5 Équations différentielles . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 138
8.5.1 Dérivation des matrices . . . . . . . . .. . . . . . . . . 138
8.5.2 Équations différentielles linéaires à coefficients constants140
9 Groupe orthogonal143
9.1 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 143
9.2 Produit scalaire .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 143
9.3 Réflexions orthogonales . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 145
9.4 Réduction des matrices orthogonales . .. . . . . . . . . . . . 146
9.4.1 O 2 R . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 146 9.4.2 O 3 R . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 1489.4.3 Cas général . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 150
9.5 Les quaternions .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 152
9.5.1 Définitions . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 153
9.5.2 Norme . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 155
9.5.3 Lien avec les rotations . . . . . . . . .. . . . . . . . . 155
10 Invariants de similitude159
10.1 Matrices à coefficients polynomiaux . . . .. . . . . . . . . . . 159
10.1.1 Matrices élémentaires . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 160
10.2 Réduction des matrices à coefficients polynomiaux . . . . . . . 161
10.3 Invariants de similitude . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 164
10.4 Endomorphismes cycliques . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 170
6TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Un peu de théorie desgroupes
1.1 Lois de composition
De manière très générale, faire de l'algèbre c'est étudier des structures algébriques c-à-d des ensembles où sontdéfinies des opérations. Une opération , ou loi de composition , sur un ensemble E est une applica- tion : E E E . Les éléments de l'ensemble E peuvent être des nombres, des matrices, des fonctions, etc Les ensembles de nombres suivants sont des exemples basiques de struc- tures algébriques. Ils sont munis d'au moins deuxopérations, l'addition etla multiplication : N Z Q R RRemarques :
- les opérations d'addition et de multiplicationne sont pas définies sur tous les ensembles de nombres. Par exemple leproduit de deux nombres irrationnels n'est pas toujours un nombre irrationnel; - Le produit vectorieldes vecteurs de R 3 est un exemple de loi decom- position mais non le produit scalaire.Rappelons que le produit vectoriel sur R
3 est défini ainsi : x i ,y j R x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 x 2 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 78 CHAPITRE 1. UN PEU DE THÉORIE DES GROUPES
Notations :
Pour une loi de composition sur un ensemble E, la notation fonctionnelle n'est pas très pratique. On utiliseplutôt une notation quires- semble à celle utilisée pour la somme ou le produit de nombres. Par exemple, si : p E E E a,b p a,b est une loi de composition on notera le plus souvent ab (ou parfois a×b,a◦b ou a b ) le résultat de l'opération p(a,b). Par exemple : (ab)c = p(p(a,b),c).1.1.1 Associativité,commutativité
Définition 1
Soit une loi de composition sur un ensemble E notée multipli- cativement : a,b ab . On dit que cette loi est associative si : ab c a bc pour tous a,b,c E . On dit que cette loi est commutative si : ab ba pour tous a,b EExemples :
les lois d'addition et de multiplications sur les ensembles de nombres Q R C sont associatives et commutatives. La loi d'addition (coordonnée par coordonnée) sur l'ensemble des vecteurs de R n est aussi associative et commutative. En revanche, la loi du produit vectoriel sur les vecteurs de R 3 n'est ni associative ni commutative. La loi de multiplication des matrices carrées (réelles ou complexes) estune loi associative.Notations :
on note souvent les lois de compositioncommutatives.Remarque :
Si une loi
a,b ab sur un ensemble E est associative, on définit le produit de néléments de
E par récurrence sur n de la façon suivante : a 1 ...a n a 1 ...a n 1 a n pour tous a 1 ,...a n E . On a alors : a 1 ...a n a 1 ...a i a i +1 ...a n pour tout 1 i nExemple :
On note
M n R a 1 1 a 1 ,n a n, 1 a n,n a i,j R l'en- semble des matrices réelles de taille n×n. Si A = (a i,j 1 i,j n ,B b i,j 1 i,j n1.1. LOIS DE COMPOSITION9
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