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Fiche L2 CALCULER UNE LONGUEUR AVEC LA TRIGONOMETRIE3ème CHERCHERConnaitre et utiliser le vocabulaire des côtés d'un triangle rectangle Utiliser les définitions du cosinus, du sinus et de la tangente d'un angle aigu

CALCULER

Utiliser l'égalitédes produits en croix

Utiliser sa calculatrice pour calculer une longueur grâce à la trigonométrie

Arrondir ses résultats convenablement.

MODELISERTraduire en langage mathématique une situation réelle RAISONNERConstruire une démarche qui combine des étapes de raisonnement

1En altitude dans les Pyrénées

Le téléphérique du Pic duMidi de Bigorre (Pyrénées) comporte deux tronçons. Le premier tronçon part de La Mongie (M) située à 1 753 m d'altitude et arrive à la gare du Taoulet (T). Le dénivelé est de 556 m. Le second tronçon part du Taoulet (T) et arrive à la gare du Pic du Midi (P). Sur ce tronçon, le téléphérique parcourt 2630 m. a.Calculer la longueur MT du premier tronçon, arrondie au mètre près. b. En déduire la longueur totale du périphériqueentre M et P. c.Calculer la longueur PB (dénivelé du second tronçon) arrondie au mètre près. d.À quelle altitude se situe la gare du Pic du Midi (P) ? Expliquer.

2La hauteur du stade

Ivana qui mesure 1,40 m, observe le nouveau stade de Bordeaux. Quelle est la hauteur h du stade(arrondie au décimètre près) ?

3Attachez vos ceintures!

Un avion de tourisme est en phase d'approche de l'aérodromesuivant le trajet [AC]. On donne l'altitudede l'avion : AB = 1058 m et l'angle d'approche:

HAC= 25°.

On considère que [AB] est perpendiculaire au solet à la ligne d'horizon.

a. Calculer la longueur AC qu'il reste à parcourir pour rejoindre le point d'atterrissage C(arrondir au mètre

près).

b. Sachant que cet avion a mis 58s pour parcourir la distance AC, quelle est sa vitesse moyenne (en m/s) sur

cette phase d'approche de l'aérodrome(arrondir à l'unité)? A BC

Horizon

25°H

I T B h

Correction de la fiche L2

1a. Dans le triangle MCT rectangle en C: sin TMC= TC

MT sin 18° = 556 MT

MT = 556

sin 18°

MT ≈ 1799 m

b.Dans le triangle TPB rectangle en B: sin PTB= PB PT sin 12,1° = PB 2630

PB = 2630 × sin 12,1°

PB ≈ 551 m

c.L'altitude du point P est: PB + BA + 1753 =551 + 556 + 1753 =2860 m

2a. Dans le triangle IBT rectangle en B: tan TIB= TB

IB tan 55° = TB 25

TB = 25 × tan 55°

TB≈ 35,7m

c. 1,4 + 35,7 = 37,1m donc la hauteur du stade est 37,1m.

3BAC= 90 - 25 = 65°

a. Dans le triangle ABC rectangle en B: cos BAC= AB AC cos 65° = 1058 AC

AC = 1058

cos 65°

AC ≈ 2503 m

b. V = d t= 2503

58≈ 43 m/s

4La largeur de la rivière

Un cartographe doit déterminer la largeur DC d'une rivière. Voici les relevés qu'il a effectués sur le terrain:

AB = 100 m , CAD= 38° , BAC= 22°.

a. Calculer la longueur BC arrondie au décimètre près. b. Calculer la largeur DC de la rivière au décimètre près.

5L'échelle des pompiers

Lors d'une intervention, les pompiers souhaitent atteindre une fenêtre F en utilisant leur grande échelle [PF]. Le pied P de l'échelle est situé sur le camion à 1,5 m du sol et à 10 m de l'immeuble. (Le dessin ci-contre n'est pas réalisé à l'échelle). L'échelle fait un angle 60° avec l'horizontale. a.L'échelle a une longueur maximalede 25 mètres. Sera-t-elle sera assez longue pour atteindre la fenêtre F? b.Calculer la longueur RF arrondie au dixième près. c.En déduire la hauteur de la fenêtre F.

6A la nage

Un nageur est parti en A pour traverser la rivière large de 15 m. Emporté par le courant de la rivière, il est arrivé en B. Déterminer la distance parcourue par ce nageur (arrondir au mètre près).

7Des ingénieurs de l'Office national des forêts font le marquage d'un lot de pins destinés à la vente. Ils

estiment la hauteur des arbres de ce lot, en plaçant leur oeil au point O. Ils ont relevé les données suivantes: OA = 15 m; SOA= 45° et AOP= 25°. Calculer la hauteur h de l'arbre arrondie au dm près.

8Deux points A et P sont situés de part et d'autre d'un bras de mer.

Un géomètre souhaite connaître la distance séparant ces deux points. Placé enA, il mesure l'angle BAPet trouve 100°. Placé en B, il mesure l'angle ABPet trouve 30°.

La distance de A à B est de 6,4 km.

a)On appelle H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABP. Montrer que AH = 3,2 km. b)Calculer la mesure de l'angle BAH puis en déduire la mesure de l'angle HAP. c)Calculer AP à 0,1 km près. C

9On a représenté ci-contre deux pistes de skide profil :

La piste 1, qui va de D à A, est longue de 346,4 m et forme un angle de 20° avec l'horizontale AB. (On appelle cet angle la pente de la piste) La piste 2 va de F à D et elle est longue de 210,3 m. a) Calculer le dénivelé de la piste1 (c'est à dire la longueur BD, arrondir au dixième). b) On sait de plus que la pente de la piste 2 est 39°. Déterminerle dénivelé total, c'est-à-dire la longueur CF. Correction du4a.Dans le triangle ABC rectangle en B: tan BAC= BC BA tan 22° = BC 100

BC = 100 × tan 22° ≈ 40,4 m

b. BAD= BAC+ CAD= 38° + 22° = 60°

Dans le triangle BAD rectangle en B: tan BAD= BD

BA tan 60° = BD 100

BD = 100 × tan 60°

BD ≈ 173,2 m

DC = DB - CB ≈ 173,2 - 40,4 = 132,8 m

Correction du5BAC= 180 - 140 = 40°

Dans le triangle ABC rectangle en C: sin BAC= BC

AB

Sin 40° = 15

AB

AB = 15

sin 40°

AB ≈ 23 m.

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