[PDF] Chapitre 3 Superposition dondes

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PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les

Chapitre3

Superpositiond'ondes

Ica nnotinterfere.

Obi-WanKenobi-StarWarsV: TheEmpireStri kes Back(1 980)

Bibliographie

bCapPrép aPhysiqueMPSI-PCSI-PTSI,Pérez,2013!Chapitre2

Desinterfé rencesentreondespeuventaiséments'ob serverenoptiqu ecommeenmécani que.Danscechapitrenou sallonsconstaterque

lesinterfé rencesapparaissentnaturellementàl'a idedumodèled'ondeplaneprogressiveh armoniqueintroduiteauchapitreprécédent .

Nousproposer onségalementunedescriptionhistor iqueduphénomènededi ff raction,quipeutêtrevucom melesint erférencesiss uesde lasup erpositiond'ungrandnombred'on des.

IInterférenceàdeuxondes

1.1Superpositiondedeuxondesprogressives

Deuxon desparcourantunmêmemi lieulinéai res esommentetpeuven têtretraitéscommeuneuniqueonde.

bThéorèmedesuperposit ion Soitdeuxondes planesprogres sivesharmoniquesde mêmeampl itudesepropageantdansdessensdi ff

érentsetdepul sati onresp ectives

!1et!2.LesdeuxsourcessontdistantesdeDdel'originedurepère(en-Dpourlasourcedes1eten +Dpour lasourcede s2).Ai nsi

l'amplitudetotaledespert urbationssepropageant sdansle milieupeuts'écrire: =2Smcos( 1 2 ((!1+!2)t(k1k2)x(k1+k2)D+1+2))cos( 1 2 ((!1!2)t(k1+k2)x(k1k2)D+12)).

Onaurab esoindesrelat ionscos(p)cos(q)=

1 2 [cos(p+q)+cos(pq)]etcos(p)+cos(q)=2cos p+q 2 cos pq 2

Astuce:Formulai ret rigonométrique

1.2Sourcessynchrones

Dessources sontditess ynchronessi!1=!2=!,cequientraînek1=k2=k.

L'expressionde l'amplitudedevien t

s(M,t)=s(x,t)=2Smcos(!tkD+)cos(kx). bInterférenceentredeuxondesplanespl anesprogressivesharmonique s

Ilapparait undécouplageentrel esdépendances temporelleet spatiale.Ainsi ilexistedesp ointoùl' amplitudedel'ondeestnull e,etce

indépendammentdutemps.Cespointssontap pelésdesn oeuds. Lesnoeuds sontdespointsoùl' amplitudedel 'ondeestt oujoursnulle: cos(kx)=0()kxn=(n+ 1 2 )⇡()xn= (2n+1)⇡ 2k (2n+1) 4 avecn2N. bDéterminationdelapositiond esnoeuds

Remarque:Parexempl edeuxondessonorescon venablementc hoisiespeuvent doncaboutiràdeszones silencieuses!C'estlefonction-

nementdescasquesanti bruitsdi tsactifs.

Remarque:Lesdeuxo ndess'annula ntauniveaudesn oeuds,onparled'interférencesde struct ives.Al'opposéile xistedesp ointsde

l'espaceoul'amplitude del'onde estmaximale.Cespointssontapp eléesdesvent res. Lesven tressontdespointsoùl'ampli tudedel'ondeest maximale: cos(kx)=1()kxn=n⇡()xn= n k n 2 avecn2N. bDéterminationdelapositiondes ventres

Remarque:Lesdeuxo ndes"s'ampli fiant"mutuellem entauniveaudesventres,onparled'interfér encesconstructives.

TD03-Pb 2

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1.3Battements

Onconsidère maintenan tdesondesauxcaractéristiquesprochesmaispasidentiques.Posonsles grandeurs⌦=!1+!2,!=!1!2>0,

K=k1+k2,k=k1k2,=1+2et=12.

L'expressiondel'amplit udedevient

s(M,t)=s(x,t)=2Smcos 1 2 ⌦tkxKD+) cos 1 2 (!tKxkD+) bInterférencesentredeuxondesplanesprogre ssivesharmoniquesnonide ntiques Poursimpl ifierlesinterprétationsonsep laceaupoi ntx0telquekx0+kD=0.

Ainsil'amplitu dedel'ondeserésumeà

s(x,t)=2Smcos 1 2 ⌦t+) cos 1 2 (!t+) L'amplitudedel'ondep ossèdedoncdeux dépenda ncestemporelles, l'unedep ul- sationgrande⌦=!1+!2etl'aut redepulsationpe tit e!=!1!2:c'estle phénomènedebattem enttemporel. t T!=

2⇡

T⌦=

2⇡

Figure1-Battementstemporels

KBattementsacoustiquesenutil isantdeuxdiapasons

Remarque:Delam êmefaço nilestpossib lededécrire desbat tementss patiaux.

IIOndesstati onnaires

2.1Réflexiond'uneondepro gressive

Lorsqu'uneondeprogressiv erencont reunediscontinuit édanslemilieudepropagation,il secréeune onderéfléchiequiprendpour

originecettedisconti nuité.Ains idansunmilieudiscontinueonobservela superpositiond'uneondedi tei ncidente etd'uneondedite

réfléchie: s(M,t)=si(M,t)+sr(M,t). bRéflexiond'u neondeprogressive

Lacélérité d'uneondeprogressivedép enduniquementdespropriétés dumilieude propagation,ainsil'ondeinciden teetl'onderéfléchie

ontlamêm ecéléritéc= ki !i kr !r s'exprime: =Sm cos !i t 1 c x +i +rcos !r t 1 c x +r avecr2[0,1]leco efficientderéflexion .

2.2Conditionsauxlimites

Prenonsl'exemp led'unecordevibrante.Le point depositio nx=0estle point oùl'excitationestcréée,onp eutvoir surl'exemplede

lacord edeMeldequecepo intse déplacetrèsfaibl ementpar rappor taurestedelaco rdeonfa itdonccommehypothèse qu'ilnese

déplacepas:s(0,t)=Sm(cos(!it+i)+rcos(!rt+r))=0 .Cetterelationestdoncvraieenparticulierlorsquet=0,ainsielledoit

vérifiers(0,0)=Sm(cosi+rcosr)=0.Lechoixdel'originedesphasesétantarbitraireonpeutfixeri=0etdoncune soluti on

possibleestr=1etr=0.

Nousdevonst oujoursvérifierques(0,t)=Sm(cos(!it)rcos(!rt))=0 ,cecin'estpossiblequesilespulsationsontégales!i=!r.

L'ondeprésent edanslacorde s'exprimepar

s(x,t)=Sm(cos(!tkx)cos(!t+kx))=2 Smsin(!t)sin(kx). bSuperpositiond'uneondeincidenteetréfléchiedans unecordevibran te

Commedanslecasd esinterféren cesent redeuxond esplanes progressivesharmoniques,onobservele découplagedesc oordonnées

spatialesettemporelles. 23
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Unond estationnair eestuneondedontl'expressionpeuts'écrirec ommelepro duitd'unterme spatialetd'unter metemporel

s(M,t)=s(x,t)=f(x)g(t). bOndestatio nnaire

Uneondest ationnairepr ésentedesnoeuds(pointoùl'amplitude del'ondeesttoujoursnulle )etdesven tres(pointsoul'am plitudede

l'ondeestmaximal). Dansle casdelacorde vibran te,lesnoeuds d'uneondestati onnaires etrouveauxpointsx0telsquesin(kx0)=0. bNoeudsd'uneonde stationnaire

Dansle casdelacorde vibran te,lesventre d'uneondes tationnaire setrouveauxpointsx0telsquesin(kx0)=±1.

bVentred'uneonde stationnaire

2.3Modesdevibrat ion delacordedeMelde

Lacordede Meldeestune cordevibrant efixéeà sesdeuxext rémités. Lacondition limites(0,t)=0adé jàétéutili séepourdé duire

l'expressiond'uneond estationnaire.Utiliso nsdonclasecond econditionlimites(L,t)=0avecLlalon gueurdelacorde.

sin(kL)=0()knL=n⇡avecn2N

2⇡

n

L=n⇡avecn2N

()n= 2L n avecn2N Remarque:Onpeut égalementl' écriresouslaformen= 2L n+1 avecn2N. Uneondest ationnaireexist esurlacordedeMeldesietseulement n= 2L n avecn2N bConditiond'existence

Seulslesondes stationnaires dontl alongueurd'ondevérifielarelationprécédenteexi stent.Onparle demodesdev ibrationdela corde

deM elde.Onpeutréécrirelescaractéri stiq uesdel' ondeainsi n= 2L n ;kn=

2⇡

n n L ;!n=ckn= n c L ;Tn=

2⇡

!n 2L nc

Lesmo desdevibrationde lacordedeMelde s'expriment

sn(M,t)=sn(x,t)=2Smsin n L ct sin n L x bModesdevibrationde lacordedeMeld e x s1(x,t) L x s3(x,t) L

NoeudVentre

x s2(x,t) L x s4(x,t) L Figure2-Représentationdes4premiersmodesdevibrat iondelaco rded eMelde

Unmode devibration estune ondestationnaireharmonique :tousles pointsdus ystèmevibren tsinusoïdalementàlamêmefréquence,

soitenpha seso itenoppositiondep hase.

Dansunm ili eudedimensionfinie,lesconditionsaux li mitesconduisentàunequantificationdes modesdevi bration:seul unensemble

discretdepulsation estaccessi ble{! n2N

Lesmodesd evibrationsson tcarac tériséspardespulsationsmultip lesdelapuls ationfondamentale!1.Lesmodesdevibrationstels

quen>1sontappelée slesharmoniquesdumodefon damentaln=1. bModesdevibration 24
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Onappelle lesmodespropresd'un systèmesles modesdevibrationsqui apparaissent lorsquel'onsoumetlesyst èmeàuneperturbat ion

quelconque.Danslaplupartd escaslesmodespropres etlesmo desdevibrationssont identiques,c equin'estpast riviald eprime

abord. bModespropres Unevibratio nquelconquepeuts'exprimerco mmelasuperpositiondesmodespr opresdusystèmeét udié: s(M,t)=s(x,t)= 1 X n=1 sn(x,t)= 1 X n=1

Sm,nsin

n L ct+n sin n L x bPrincipedesuperp osition

TD03-E x2

2.4Ondesstatio nnairesendimensionssupérieures

KInstabilitédeFaraday(1831)

N*MichaelFaraday1791-18 42:chimisteetphysicie nanglais

Remarque:Lacaissede résonanced'uneguit areacoustique estlesiège d'ondesst ationnairesengendréesparlavibrat iondescordes.

C'estlavibrati ondece caissonquirendplusfacilemen taudib leles sonsémisparlescordes. IIIRetoursurladiffraction:principedeHuygens- Fr esnel

Chaquepointd'unfron td'ondeprimair epeutêtrecon sidérécomme unesourcesecondai reémettantuneondedemêmefr équenceque

l'ondeprimaire.Lefr ontd'ondeàuninstantpostéri eures tlerésultatd elasommedesondess phé riques émisespartouteslesso urces

secondaires. bPrincipeduHuygens-F resnel

Remarque:Ainsilephén omène dediffraction(etplusgénéralement lapropa gationd'une onde)peutêtrevucommelerésu ltat de

l'interférenced'uneinfinitéd'ondesissues desourcessecon daires. N*ChristanHuygens1629-169 5:mathématicien,phys icienetastronomehollandais N*AugustinFresnel1788-182 7:physicienetoptic ienfrançais

Ach aqueinstanttoutpo intdufrontd'ondepeutê treconsidéré commeunesource second aireémettan tuneondesphérique( sion

travailleen3D).Unpeudecalculn ouspermettrai tde montrerque lasommed'uneinfini tédes ourcesponctuell eséme ttantdesondes

sphériquesaboutiàu neondeplane.C'estpourcela qued anslecasde lacuveàonde,au centredelagrand eou verturel'ondeest

localementplanemaisl'absenced esourcesaudelà del'ouvertur eentraineune ff etdebo rdetdo ncuneondeno nplane (frontd'onde

courbéettransmi ssi onsuivantcertainsanglesuniquement).Demêmedans lecasdelapetiteouverturecelaconduit àl'apparition d'une

ondeomni directionnelle. 25
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Formulaire-Chapitre03:Superposi tio nd'ondes

Lasom mededeuxondespr ogres sivesharmoni quesmonochroma tiquefaitapparaitredessommesdefonctio nstrigonométriques

cosp+cosq=2cos p+q 2 cos pq 2 cospcosq=2sin p+q 2 sin pq 2

Lecalcul d'intensité(I=s

2 )fai tapparait redesproduitsdefonctionstrigon ométrique s cosp⇥cosq= 1 2 (cos(p+q)+cos(pq))

Danscertain scas,lesdétecteurssontt roplentpoure xtrairel 'informationd'unsignaletréalis entlamoyenne temporelled essignaux

reçus hcos(!t+f(x)+)i= 1 T Z T 0 cos(!t+f(x)+)dt=0 cos 2 (!t+f(x)+) 1 T Z T 0 cos 2 (!t+f(x)+)dt= 1 2 avecTlapér iodetemporelledusignal. 26
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