[PDF] Math2 – Chapitre 5 Circulation et flux

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Math2 { Chapitre 5

Circulation et

ux 5.1 {

Courb es

5.2 {

Circulation

5.3 {

Surfaces

5.4 {

Flux, Stok eset Gau ss

5.1 { Courbes

Dans cette section:

Courbes donnees par deux equations

Courbes parametrees

Element de ligne

Courbes

Idee {Unecourbeest une gure geometriqueCdedimension intrinsequeegale a 1, comme une droite, une parabole, un cercle, ou l'union d'arcs de ce type: Une courbe estplanesi elle est contenue dans un plan. Elle estorientee, et noteeC, si on xe un sens de parcour (il y en a toujours deux).

Dans ce cas, on noteCla

courbe orientee dans le sens oppose.C C Elle estfermeesi en la parcourant en revient au point de depart, comme sur un cercle.

Courbes donnees par des equations

Denition {Comme sous-ensemble deR3, unecourbeest

l'union d'ensembles donnes par deux equations: C! xPR3Fp~xq 0 etGp~xq 0, plus restrictions sur~x) ouF;G:R3ÝÑRsont deux fonctions reelles et les \restrictions" sont des inegalitesdans les coordonnees.

Exemple {

En coordonnees cartesiennes, les equations

xy0 etx2z0; avec la restrictionxP r0;1s, decrivent un arc de la parabolezx2sur le planyx.yz x En coordonnees cylindriques, le m^eme arc de parabole est decrit par22z0 et'{40 avecP r0;1s.

Courbes parametrees

Denition {Unecourbe parametreeest une courbe pour

laquelle on donne aussi lafacon de la parcouriren fonction d'un parametret(qui represente letempsen physique): C! ptq ~xptqtP rt0;t1s €R) ou :rt0;t1s ÑR3est une fonction vectorielle derivable qui s'appelleparametrisationet denote souvent la courbe m^eme.L'orientationde est donne par le sens croissant det.

La courbe estfermeesi

pt0q pt1q.Parametrisation des coordonnees { cartesiennes: ptq pxptq;yptq;zptqq cylindriques: ptq ptq~eptq zptq~k spheriques: ptq rptq~erptq

Exemple: parametrisation d'une courbe

Exemple {L'arc de parabole

peut ^etre parametre comme suit:yz x

En coordonnees cartesiennes, on azx2,yx, et

xP r0;1s, alors on peut choisir xptq t;yptq t;zptq t2;avectP r0;1s et on obtient ptq pt;t;t2q, avectP r0;1s.

En coordonnees cylindriques, on a22z,'{4, et

P r0;1s, alors on peut choisir:

ptq t'ptq {4;zptq t2{2;avectP r0;1s et on obtient ptq t~eptq t2{2~k, avectP r0;1s.

Vitesse et acceleration

Denition {Pour une courbe parametree

ptq ~xptqon appelle: vitesse, le vecteur9 ptq ddt ~xptq, acceleration, le vecteur: ptq d2dt

2~xptq.

Lemme {Les vecteurs~,~ et~k sont constants, par contre:

9~e9'~e'

9~e' 9'~e$

%9 ~er9'~e'9~e

9~e' 9'sin~er9'cos~e

9~e 9~er9'cos~e'Parametrisation de la vitesse en coordonnees {

cartesiennes:9 ptq 9xptq~9yptq~9zptq~k cylindriques:9 ptq 9ptq~eptq ptq9'ptq~e'ptq 9zptq~k spheriques:9 ptq 9rptq~erptq rptq9'ptq~e'ptq rptq9ptq~eptq

Courbes regulieres

Denition {La courbe

:rt0;t1s ÑR3estregulieresi la vitesse ne s'annulle jamais, c'est-a-dire si 9 ptq ~0pou bien}9 ptq} 0qpour touttP rt0;t1s: Dans ce cas, la vitesse est un vecteur tangent a la courbe,et on appelle: element de ligne, le vecteurÝÑd`9 ptqdt; abscisse curviligne, la primitive de}9 ptq}, noteessptq, donc on as1ptq }9 ptq}; element d'arc, la dierentielleds }9 ptq}dt; longueur, l'integraleLt1t0p q » t1 t 0} 9 ptq}dt» spt1q spt0qds.

Exemples de courbes parametrees

Exemples {

Parabole:xy,zx2etxP r0;1s

ptq pt;t;t2qavectP r0;1s 9 ptq p1;1;2tq ~~2t~kyz x 9 ptq} ?24t20ùñ est reguliere

ÝÑd` p1;1;2tqdtdt~dt~2t dt~k.

Ellipse:x29

z24

1 ety0

ptq p3cost;0;2sintq,tP r0;2s 9 ptq p3sint;0;2costq ~0yz x d` p3sint;0;2costqdt 3sint dt~2cost dt~k.

Exemples de courbes parametrees

Helice circulaire:

ptq pcost;sint;tqavectP r0;6s

ùñx2y21,yx

tanz(six0) 9 ptq psint;cost;1q ~0ñ reg.

ñÝÑd` psint~cost~~kqdtyz

x }9 ptq} asin

2tcos2t1?2

ñL20p

q » 2 0 }9 ptq}dt» 2

0?2dt2?2En cylindriques:ptq 1,'ptq t,zptq t

ptq ptq~ezptq~k~et~k9 ptq 9ptq~eptq9'ptq~e'9zptq~k~e'~k

ÝÑd` p~e'~kqdt

5.2 { Circulation

Dans cette section:

Circulation d'un champ de vecteurs le long d'une courbe

Circulation d'un champ de gradient

Circulation et integrale curviligne

Denition {SoitÝÑVun champ de vecteurs deR3et soitCune courbe orientee dans le domaine deÝÑV, parametree par :rt0;t1sÑR3. On appellecirculation deÝÑVle long deC l'integrale curviligne C

ÝÑVÝÑd`»

t1 t

0ÝÑ

V ptq9 ptqdtou

ÝÑV

ptqindique que le champÝÑVest evalue sur les points de la courbe etindique le produit scalaire entre vecteurs.Notation {SiCest une courbe fermee, la circulation deÝÑVle long deCs'ecrit¾ C VÝÑd`Proposition {Si Cest orientee dans le sens opposea C , on a» C

ÝÑVÝÑd` »

C

ÝÑVÝÑd`:

Exercices

Enonce {Calculer la circulation des champs suivants, le long des courbes indiquees.

ChampÝÑFpx;y;zq z~y~x~k

Parabole

ptq pt;t;t2q, tP r0;1syz x

Reponse {On a

ÝÑFp

ptqq t2~t~t~k 9 ptq ~~2t~k:La circulation de

ÝÑFle long de

est donc C

1ÝÑ

FÝÑd`»

1 0 t 2t2t2 dt 1 0 3t2t dt t

312t21

011212:

Exercices

ChampÝÑVp;';zq '~ez~e'~k

Cercle x

2y29, z2

oriente en sens antihoraireyz x

Reponse {On parametrise

ptq ptq~ezptq~kavec ptq 3; 'ptq tetzptq 2;tP r0;2s:On a alors

ÝÑVp

ptqq t~e2~e'3~k 9 ptq 9ptq~eptq9'ptq~e'9zptq~k3~e'et la circulation de

ÝÑVle long de

est donc

ÝÑVÝÑd`»

2 0

6dt12:

Exercices

ChampÝÑUpr;';q '~ersin~e'~e

Demi-cercle x

2y2z24, yx¥0

oriente en sens horaireyz x

Reponse {On parametrise

ptq rptq~eravec rptq 2; 'ptq 4 ; ptq t;tP r0;s:On a alors

ÝÑUp

ptqq {4~ersint~e'2~e 9 ptq 9rptq~errptq9'ptq~e'rptq9ptq~e2~e et la circulation de

ÝÑUle long de

est donc

ÝÑUÝÑd`»

0 4dt4:

Travail d'une force

Denition {SoitÝÑFun champ de force deR3qui deplace un corps le long d'un trajet parametre par la courbe :rt0;t1sÑR3.

Letravail de la forceÝÑFest l'energieW

fournie pour accomplir le deplacement et est donne par la circulation deÝÑFle long de .W» ÝÑFÝÑd`Exemple {Calculons le travail eectue par la force

ÝÑFpx;y;zq z~y~x~k

pour deplacer un objet le long de l'arc d'helice ptq pcost;sint;tq;tP r0;2s:yz x On a

ÝÑFp

ptqq t~sint~cost~k 9 ptq sint~cost~~k;donc W»

ÝÑFÝÑd`»

2 0 tsintsintcostcost dt tcost 2 0» 2 0 cost dt12sin2t 2 0» 2 0 cost dt2:

Circulation d'un champ de gradient

Theoreme {SoitÝÑVÝÝÑgradun champ de gradient, de domaine D . Alors: La circulation deÝÝÑgradle long d'une courbe Cquelconque qui joint deux points A et B contenus dans D ne depend pas de la courbe mais seulement des deux points: C

ÝÝÑgradÝÑd`pBq pAq:

La circulation deÝÝÑgradle long d'une courbe fermeeC est nulle: C gradÝÑd`0:La premiere assertion se demontre par calcul direct. La deuxieme est une consequence de la premiere, ou bien un corollaire du theoreme de Gauss traite a la n de ce chapitre.

Exercice

Enonce {Considerons le champ scalaire

px;y;zq 1aypz2x2q; sur le domaine D px;y;zq PR3|y¡0;z¡x¡0(. Calculer le travail de la force conservativeÝÑF ÝÝÑgradle long d'une helice C contenue dans D qui joint le point A p0;1;2q au point B p3;4;5q.Reponse {Le travail deÝÑF ÝÝÑgradle long deCvaut:

W »

C

ÝÝÑgradÝÑd`p0;1;2q p3;4;5q

1?401?4p259q

12 12438

5.3 { Surfaces

Dans cette section:

Surfaces donnees par une equation

Surfaces parametrees

Vecteur normale et element de surface

Surfaces

Idee {Unesurfaceest une gure geometriqueSdedimension intrinsequeegale a 2, comme un plan, un disque, un parabolode, une sphere, un cylindre, la bande de Moebius, ou leur union: Une surface estplanesi elle est contenue dans un plan. Elle estorientablesi on peut distinguer deuxcotes. Ceci n'est pas toujours possible, par exemple pour la bande de Moebius. Une surface orientable estorientee, et noteeS, si on choisi un sens de traversee, indique par un vecteur sortant. Dans ce cas, on noteSla surface orientee dans le sens oppose.S S

Bord des surfaces et surfaces fermees

Lebordd'une surfaceSest la courbeBSqui delimite la surface, par exemple le cercle qui entoure un disque, ou les deux cercles qui delimitent un cylindre. Le bord d'une surface orientee est automatiquement oriente de telle sorte qu'en le parcourant debout(direction sortante deS), la surface se trouve sur la gauche. Une surfaceSestfermeesi on peut distinguer son interieur de son exterieur, comme pour la sphere. Cela arrive si son bord est vide: BS H.

Une surface fermeeSdelimite un solide

€R3, comme la sphere qui

entoure la boule unitaire. On dit alors queSest le bord de , et on ecrit:S B

Surfaces donnees par une equation

Denition {Comme sous-ensemble deR3, unesurfaceest

l'union d'ensembles donnes par une equation: S! xPR3Fp~xq 0 plus restrictions sur les variables) ouF:R3ÝÑRest une fonction reelle et les \restrictions" sont des inegalitesdans les coordonnees. Proposition {Le graphe d'une fonction f:R2ÑRest une surface d'equation zfpx;yq, avecpx;yq PDf.Exemple {zx2,x;yP r0;1s decrit uncylindre parabolique, d'axe~Oy.

Dans ce cas,Sest non fermee et son bord

BSest l'union de quatre courbes.yz

x

Surfaces parametrees

Denition {Unesurface parametreeest une surface ou les points sont decrits par deuxparametresindependantsuetv: S! fpu;vq ~xpu;vq |uP ru0;u1s;vP rv0;v1s) ouf:ru0;u1s rv0;v1s ÝÑR3est une fonction vectorielle dierentiable qui s'appelleparametrisationde la surface. En coord. cartesiennes:fpu;vqpxpu;vq;ypu;vq;zpu;vqqExemples {

Cylindre parabolique:zx2,x;yP r0;1s

si on poseyu,xvetzv2, on a fpu;vq pv;u;v2q;u;vP r0;1syz x

Hyperbolode:zxy,x;yP r0;1s

si on posexu,yvetzuv, on a fpu;vq pu;v;uvq;u;vP r0;1syz x

Surfaces regulieres et vecteur normal

Denition {Une surfaceSparametree parf:UVÝÑR3est reguliereau pointfpu;vqsi le vecteur normal~npu;vq Bfpu;vqBu^Bfpu;vqBvest bien deni et non nul.Dans ce cas,Sest orienteeparquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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