Ondes stationnaires
Observation expérimentale : corde de Melde . Condition d'obtention d'une onde stationnaire . ... Conditions aux limites et modes propres .
Chapitre III : Vibrations transversales dune corde 1. Equation de d
Etude de la corde de Melde. 1. Equation de d'Alembert. 1.1. Position du problème Cette solution doit vérifier les conditions aux limites suivantes :.
Chapitre 3 Superposition dondes
La corde de Melde est une corde vibrante fixée à ses deux extrémités. La condition limite s(0 t)=0 a déjà été utilisée pour déduire.
Physique des ondes.
Équation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde. La quantification du mode est liée aux conditions aux limites.
Physique des ondes.
Équation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde. La quantification du mode est liée aux conditions aux limites.
COMPOSITION DE PHYSIQUE – B – (XEULC) Le cadre de la
Comment transposer cette équation au cas particulier de la corde de Melde? 9. Combien de conditions aux limites convient-il d'adjoindre à l'équation (5) ?
Ondes mécaniques Notes de cours
22 nov. 2016 Les conditions aux limites pour une corde de longueur L fixée à ses deux ... Le dispositif de la corde de Melde consiste à faire vibrer une ...
Devoir surveillé n°2 sciences physiques
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Equation donde de dAlembert (unidimensionnelle)
extrémités modes propres : 2 - Corde de Melde ; ondes stationnaires et résonances : Les conditions aux limites entraînent : ...
Chapitre 3 Superposition dondes ondes stationnaires
4 janv. 2015 Nous n'avons cependant encore rien dit des conditions aux limites aux ... Le dispositif expérimental associé est appelé corde de Melde.
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Solution générale de la corde de Melde La solution générale de l'équation de d'Alembert avec les conditions aux limites est la superposition des différents
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La corde de Melde est une corde vibrante fixée à ses deux extrémités La condition limite s(0 t)=0 a déjà été utilisée pour déduire
Chapitre3
Superpositiond'ondes
Ica nnotinterfere.
Obi-WanKenobi-StarWarsV: TheEmpireStri kes Back(1 980)Bibliographie
bCapPrép aPhysiqueMPSI-PCSI-PTSI,Pérez,2013!Chapitre2Desinterfé rencesentreondespeuventaiséments'ob serverenoptiqu ecommeenmécani que.Danscechapitrenou sallonsconstaterque
lesinterfé rencesapparaissentnaturellementàl'a idedumodèled'ondeplaneprogressiveh armoniqueintroduiteauchapitreprécédent .
Nousproposer onségalementunedescriptionhistor iqueduphénomènededi ff raction,quipeutêtrevucom melesint erférencesiss uesde lasup erpositiond'ungrandnombred'on des.IInterférenceàdeuxondes
1.1Superpositiondedeuxondesprogressives
Deuxon desparcourantunmêmemi lieulinéai res esommentetpeuven têtretraitéscommeuneuniqueonde.
bThéorèmedesuperposit ion Soitdeuxondes planesprogres sivesharmoniquesde mêmeampl itudesepropageantdansdessensdi fférentsetdepul sati onresp ectives
!1et!2.LesdeuxsourcessontdistantesdeDdel'originedurepère(en-Dpourlasourcedes1eten +Dpour lasourcede s2).Ai nsi
l'amplitudetotaledespert urbationssepropageant sdansle milieupeuts'écrire: =2Smcos( 1 2 ((!1+!2)t(k1k2)x(k1+k2)D+1+2))cos( 1 2 ((!1!2)t(k1+k2)x(k1k2)D+12)).Onaurab esoindesrelat ionscos(p)cos(q)=
1 2 [cos(p+q)+cos(pq)]etcos(p)+cos(q)=2cos p+q 2 cos pq 2Astuce:Formulai ret rigonométrique
1.2Sourcessynchrones
Dessources sontditess ynchronessi!1=!2=!,cequientraînek1=k2=k.L'expressionde l'amplitudedevien t
s(M,t)=s(x,t)=2Smcos(!tkD+)cos(kx). bInterférenceentredeuxondesplanespl anesprogressivesharmonique sIlapparait undécouplageentrel esdépendances temporelleet spatiale.Ainsi ilexistedesp ointoùl' amplitudedel'ondeestnull e,etce
indépendammentdutemps.Cespointssontap pelésdesn oeuds. Lesnoeuds sontdespointsoùl' amplitudedel 'ondeestt oujoursnulle: cos(kx)=0()kxn=(n+ 1 2 )⇡()xn= (2n+1)⇡ 2k (2n+1) 4 avecn2N. bDéterminationdelapositiond esnoeudsRemarque:Parexempl edeuxondessonorescon venablementc hoisiespeuvent doncaboutiràdeszones silencieuses!C'estlefonction-
nementdescasquesanti bruitsdi tsactifs.Remarque:Lesdeuxo ndess'annula ntauniveaudesn oeuds,onparled'interférencesde struct ives.Al'opposéile xistedesp ointsde
l'espaceoul'amplitude del'onde estmaximale.Cespointssontapp eléesdesvent res. Lesven tressontdespointsoùl'ampli tudedel'ondeest maximale: cos(kx)=1()kxn=n⇡()xn= n k n 2 avecn2N. bDéterminationdelapositiondes ventresRemarque:Lesdeuxo ndes"s'ampli fiant"mutuellem entauniveaudesventres,onparled'interfér encesconstructives.
TD03-Pb 2
22PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les
1.3Battements
Onconsidère maintenan tdesondesauxcaractéristiquesprochesmaispasidentiques.Posonsles grandeurs⌦=!1+!2,!=!1!2>0,
K=k1+k2,k=k1k2,=1+2et=12.
L'expressiondel'amplit udedevient
s(M,t)=s(x,t)=2Smcos 1 2 ⌦tkxKD+) cos 1 2 (!tKxkD+) bInterférencesentredeuxondesplanesprogre ssivesharmoniquesnonide ntiques Poursimpl ifierlesinterprétationsonsep laceaupoi ntx0telquekx0+kD=0.Ainsil'amplitu dedel'ondeserésumeà
s(x,t)=2Smcos 1 2 ⌦t+) cos 1 2 (!t+) L'amplitudedel'ondep ossèdedoncdeux dépenda ncestemporelles, l'unedep ul- sationgrande⌦=!1+!2etl'aut redepulsationpe tit e!=!1!2:c'estle phénomènedebattem enttemporel. t T!=2⇡
T⌦=
2⇡
Figure1-Battementstemporels
KBattementsacoustiquesenutil isantdeuxdiapasons
Remarque:Delam êmefaço nilestpossib lededécrire desbat tementss patiaux.IIOndesstati onnaires
2.1Réflexiond'uneondepro gressive
Lorsqu'uneondeprogressiv erencont reunediscontinuit édanslemilieudepropagation,il secréeune onderéfléchiequiprendpour
originecettedisconti nuité.Ains idansunmilieudiscontinueonobservela superpositiond'uneondedi tei ncidente etd'uneondedite
réfléchie: s(M,t)=si(M,t)+sr(M,t). bRéflexiond'u neondeprogressiveLacélérité d'uneondeprogressivedép enduniquementdespropriétés dumilieude propagation,ainsil'ondeinciden teetl'onderéfléchie
ontlamêm ecéléritéc= ki !i kr !r s'exprime: =Sm cos !i t 1 c x +i +rcos !r t 1 c x +r avecr2[0,1]leco efficientderéflexion .2.2Conditionsauxlimites
Prenonsl'exemp led'unecordevibrante.Le point depositio nx=0estle point oùl'excitationestcréée,onp eutvoir surl'exemplede
lacord edeMeldequecepo intse déplacetrèsfaibl ementpar rappor taurestedelaco rdeonfa itdonccommehypothèse qu'ilnese
déplacepas:s(0,t)=Sm(cos(!it+i)+rcos(!rt+r))=0 .Cetterelationestdoncvraieenparticulierlorsquet=0,ainsielledoit
vérifiers(0,0)=Sm(cosi+rcosr)=0.Lechoixdel'originedesphasesétantarbitraireonpeutfixeri=0etdoncune soluti on
possibleestr=1etr=0.Nousdevonst oujoursvérifierques(0,t)=Sm(cos(!it)rcos(!rt))=0 ,cecin'estpossiblequesilespulsationsontégales!i=!r.
L'ondeprésent edanslacorde s'exprimepar
s(x,t)=Sm(cos(!tkx)cos(!t+kx))=2 Smsin(!t)sin(kx). bSuperpositiond'uneondeincidenteetréfléchiedans unecordevibran teCommedanslecasd esinterféren cesent redeuxond esplanes progressivesharmoniques,onobservele découplagedesc oordonnées
spatialesettemporelles. 23PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les blank
Unond estationnair eestuneondedontl'expressionpeuts'écrirec ommelepro duitd'unterme spatialetd'unter metemporel
s(M,t)=s(x,t)=f(x)g(t). bOndestatio nnaireUneondest ationnairepr ésentedesnoeuds(pointoùl'amplitude del'ondeesttoujoursnulle )etdesven tres(pointsoul'am plitudede
l'ondeestmaximal). Dansle casdelacorde vibran te,lesnoeuds d'uneondestati onnaires etrouveauxpointsx0telsquesin(kx0)=0. bNoeudsd'uneonde stationnaireDansle casdelacorde vibran te,lesventre d'uneondes tationnaire setrouveauxpointsx0telsquesin(kx0)=±1.
bVentred'uneonde stationnaire2.3Modesdevibrat ion delacordedeMelde
Lacordede Meldeestune cordevibrant efixéeà sesdeuxext rémités. Lacondition limites(0,t)=0adé jàétéutili séepourdé duire
l'expressiond'uneond estationnaire.Utiliso nsdonclasecond econditionlimites(L,t)=0avecLlalon gueurdelacorde.
sin(kL)=0()knL=n⇡avecn2N2⇡
nL=n⇡avecn2N
()n= 2L n avecn2N Remarque:Onpeut égalementl' écriresouslaformen= 2L n+1 avecn2N. Uneondest ationnaireexist esurlacordedeMeldesietseulement n= 2L n avecn2N bConditiond'existenceSeulslesondes stationnaires dontl alongueurd'ondevérifielarelationprécédenteexi stent.Onparle demodesdev ibrationdela corde
deM elde.Onpeutréécrirelescaractéri stiq uesdel' ondeainsi n= 2L n ;kn=2⇡
n n L ;!n=ckn= n c L ;Tn=2⇡
!n 2L ncLesmo desdevibrationde lacordedeMelde s'expriment
sn(M,t)=sn(x,t)=2Smsin n L ct sin n L x bModesdevibrationde lacordedeMeld e x s1(x,t) L x s3(x,t) LNoeudVentre
x s2(x,t) L x s4(x,t) L Figure2-Représentationdes4premiersmodesdevibrat iondelaco rded eMeldeUnmode devibration estune ondestationnaireharmonique :tousles pointsdus ystèmevibren tsinusoïdalementàlamêmefréquence,
soitenpha seso itenoppositiondep hase.Dansunm ili eudedimensionfinie,lesconditionsaux li mitesconduisentàunequantificationdes modesdevi bration:seul unensemble
discretdepulsation estaccessi ble{! n2NLesmodesd evibrationsson tcarac tériséspardespulsationsmultip lesdelapuls ationfondamentale!1.Lesmodesdevibrationstels
quen>1sontappelée slesharmoniquesdumodefon damentaln=1. bModesdevibration 24PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les blank
Onappelle lesmodespropresd'un systèmesles modesdevibrationsqui apparaissent lorsquel'onsoumetlesyst èmeàuneperturbat ion
quelconque.Danslaplupartd escaslesmodespropres etlesmo desdevibrationssont identiques,c equin'estpast riviald eprime
abord. bModespropres Unevibratio nquelconquepeuts'exprimerco mmelasuperpositiondesmodespr opresdusystèmeét udié: s(M,t)=s(x,t)= 1 X n=1 sn(x,t)= 1 X n=1Sm,nsin
n L ct+n sin n L x bPrincipedesuperp ositionTD03-E x2
2.4Ondesstatio nnairesendimensionssupérieures
KInstabilitédeFaraday(1831)
N*MichaelFaraday1791-18 42:chimisteetphysicie nanglaisRemarque:Lacaissede résonanced'uneguit areacoustique estlesiège d'ondesst ationnairesengendréesparlavibrat iondescordes.
C'estlavibrati ondece caissonquirendplusfacilemen taudib leles sonsémisparlescordes. IIIRetoursurladiffraction:principedeHuygens- Fr esnelChaquepointd'unfron td'ondeprimair epeutêtrecon sidérécomme unesourcesecondai reémettantuneondedemêmefr équenceque
l'ondeprimaire.Lefr ontd'ondeàuninstantpostéri eures tlerésultatd elasommedesondess phé riques émisespartouteslesso urces
secondaires. bPrincipeduHuygens-F resnelRemarque:Ainsilephén omène dediffraction(etplusgénéralement lapropa gationd'une onde)peutêtrevucommelerésu ltat de
l'interférenced'uneinfinitéd'ondesissues desourcessecon daires. N*ChristanHuygens1629-169 5:mathématicien,phys icienetastronomehollandais N*AugustinFresnel1788-182 7:physicienetoptic ienfrançaisAch aqueinstanttoutpo intdufrontd'ondepeutê treconsidéré commeunesource second aireémettan tuneondesphérique( sion
travailleen3D).Unpeudecalculn ouspermettrai tde montrerque lasommed'uneinfini tédes ourcesponctuell eséme ttantdesondes
sphériquesaboutiàu neondeplane.C'estpourcela qued anslecasde lacuveàonde,au centredelagrand eou verturel'ondeest
localementplanemaisl'absenced esourcesaudelà del'ouvertur eentraineune ff etdebo rdetdo ncuneondeno nplane (frontd'ondecourbéettransmi ssi onsuivantcertainsanglesuniquement).Demêmedans lecasdelapetiteouverturecelaconduit àl'apparition d'une
ondeomni directionnelle. 25PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les blank
Formulaire-Chapitre03:Superposi tio nd'ondes
Lasom mededeuxondespr ogres sivesharmoni quesmonochroma tiquefaitapparaitredessommesdefonctio nstrigonométriques
cosp+cosq=2cos p+q 2 cos pq 2 cospcosq=2sin p+q 2 sin pq 2Lecalcul d'intensité(I=s
2 )fai tapparait redesproduitsdefonctionstrigon ométrique s cosp⇥cosq= 1 2 (cos(p+q)+cos(pq))Danscertain scas,lesdétecteurssontt roplentpoure xtrairel 'informationd'unsignaletréalis entlamoyenne temporelled essignaux
reçus hcos(!t+f(x)+)i= 1 T Z T 0 cos(!t+f(x)+)dt=0 cos 2 (!t+f(x)+) 1 T Z T 0 cos 2 (!t+f(x)+)dt= 1 2quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] corde de melde exercice
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