Ondes stationnaires
Observation expérimentale : corde de Melde . Condition d'obtention d'une onde stationnaire . ... Conditions aux limites et modes propres .
Chapitre III : Vibrations transversales dune corde 1. Equation de d
Etude de la corde de Melde. 1. Equation de d'Alembert. 1.1. Position du problème Cette solution doit vérifier les conditions aux limites suivantes :.
Chapitre 3 Superposition dondes
La corde de Melde est une corde vibrante fixée à ses deux extrémités. La condition limite s(0 t)=0 a déjà été utilisée pour déduire.
Physique des ondes.
Équation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde. La quantification du mode est liée aux conditions aux limites.
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COMPOSITION DE PHYSIQUE – B – (XEULC) Le cadre de la
Comment transposer cette équation au cas particulier de la corde de Melde? 9. Combien de conditions aux limites convient-il d'adjoindre à l'équation (5) ?
Ondes mécaniques Notes de cours
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Equation donde de dAlembert (unidimensionnelle)
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4 janv. 2015 Nous n'avons cependant encore rien dit des conditions aux limites aux ... Le dispositif expérimental associé est appelé corde de Melde.
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Solution générale de la corde de Melde La solution générale de l'équation de d'Alembert avec les conditions aux limites est la superposition des différents
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Etude de la corde de Melde 1 Equation de d'Alembert 1 1 Position du problème Cette solution doit vérifier les conditions aux limites suivantes :
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Pour les conditions aux limites classiques : repos en x = 0 et x = l on breur d'un mouvement imposé b sin(? t) (corde de Melde) apr`es un éventuel
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La corde de Melde est une corde vibrante fixée à ses deux extrémités La condition limite s(0 t)=0 a déjà été utilisée pour déduire
Equation d"onde de d"Alembert
(unidimensionnelle) I - Chaîne infinie d"oscillateurs et approximation des milieux continus : II - Vibrations transversales d"une corde : équation d"onde de d"Alembert : III - Familles de solutions de l" équation d"onde de d"Alembert :1 - Ondes progressives :
2 - Ondes progressives harmoniques :
3 - Ondes stationnaires :
IV - Applications :
1 - Etude des petits mouvements libres d"une corde vibrante fixée à ses deux
extrémités, modes propres :2 - Corde de Melde ; ondes stationnaires et résonances :
Physique des ondes, équation de d"Alembert
2 I - Chaîne infinie d"oscillateurs et approximation des milieux continus :Afin d"étudier la propagation d"ondes sonores dans les solides, on utilise le modèle suivant (voir
figure) : le solide est constitué d"une chaîne infinie d"atomes ponctuels, de masse m, reliés entre
eux par des ressorts de raideur k et de longueur à vide d (correspondant à la distance inter-atome
à l"équilibre).
Le mouvement de l"ensemble se fait sans frottements le long de l"axe (Ox). Les atomes se
déplacent légèrement autour de leurs positions d"équilibres respectives, que l"on peut repérer sous
la forme xéq,n = nd.
k k k m m m n-1 n n+1 x On repère les positions des atomes hors équilibre par leurs abscisses : )()(tundtxnn+= où les déplacements u n(t) restent faibles vis-à-vis de d. Le théorème du CI appliqué à l"atome de rang (n) donne, en projection :La distance d inter-atome est de l"ordre de
md1010-≈, distance très inférieure aux distancescaractéristiques des phénomènes de propagation que l"on étudie. On va ainsi définir une fonction
continue de la manière suivante : )(),(tutxunn=Il vient alors :
2 22112
22
11
21),(),(),()(21),(),(),()(
d xudxutxutdxutxutudEt l"équation du mouvement devient alors :
2 2222dxuktum
Soit :
mkdcavectu cxu 2 22222
01==∂∂-∂∂
C"est l"équation d"onde de d"Alembert, déjà obtenu en EM lors du chapitre sur les équations
locales. On sait qu"elle est associée à un phénomène ondulatoire de célérité c. II - Vibrations transversales d"une corde ; équation d"onde de d"Alembert : On considère une corde inextensible, de masse linéiqueμ, tendue horizontalement avec une force
constante F.Physique des ondes, équation de d"Alembert
3 A l"équilibre, la corde est horizontale. On supposera dans la suite que la pesanteur n"intervient pas (sinon, la forme de la corde serait une chaînette). On se propose d"étudier les petits mouvements au voisinage de cet équilibre, avec le modèle suivant :• L"élément de corde situé au point de coordonnées (x,0) à l"équilibre se trouve au point de
coordonnées (x,y(x,t)) hors équilibre ; autrement dit, on néglige son déplacement le long
de (Ox).• L"angle α(x,t) que fait la tangente à la corde au point d"abscisse x à l"instant t est un
infiniment petit (• Si on considère une coupure fictive au point d"abscisse x, l"action exercée par la partie
gauche de la corde sur la partie droite se réduit à une force )(xTg r tangente à la corde ; de même, l"action exercée par la partie droite sur la partie gauche se réduit à une force )(xTd r. D"après le principe des actions réciproques, )()(xTxTgd rr-=.Le théorème du CI appliqué à un élément de corde situé entre les abscisses x et x + dx donne :
x x x+dx yBrin de
cordeα(x) α(x+dx)
)(xTg r )(dxxTd+rEn projection et en notant
dTTr= : ),(cos),(),(cos),(0tdxxtdxxTtxtxT+++-=αα (1) ),(sin),(),(sin),(22tdxxtdxxTtxtxTtydx+++-=∂∂ααμ (2) Si on se limite à l"ordre 1, l"équation (1) donne :FcstexTdxxT===+)()(
L"équation (2) se réécrit :
Or,αα≈∂∂=xytan, d"où :
Physique des ondes, équation de d"Alembert
4 )(0122 22222
22μμ
Fcavecty
cxysoitxyFty==∂∂-∂∂ On retrouve là encore l"équation d"ondes de d"Alembert. Dans le cas de la corde, l"onde est dite transversale (le déplacement a lieu selon Oy).Dans le cas de la chaîne infinie d"atomes, l"onde était longitudinale (le déplacement se faisait selon
(Ox)). III - Familles de solutions de l"équation d"onde de d"Alembert :1 - Ondes progressives :
On se propose de résoudre l"équation de d"Alembert unidimensionnelle : 0122222=∂∂-∂∂
ts vxs De manière symbolique, cette équation peut s"écrire : 0.=) ∂∂+∂∂stxvtxvOn pose :
v xtqet v xtp-=+= et, en considérant x et t comme des fonctions de p et de q : qpvqxq pxp x 1 qpqtq ptp t∂On en déduit :
qtxvetptxv∂ ∂=∂∂+∂∂22 L"équation de d"Alembert prend alors la forme : 0 2 qs pqpsPar conséquent,
)(qqs?=∂∂ et, si f(q) désigne une primitive de ?(q), alors : )()()()(v xtg v xtfpgqfs++-=+= Interprétation physique : on considère une fonction de la forme : )(),(vxtftxs-=+On constate que :
Physique des ondes, équation de d"Alembert
5 )()(vxxttfvxtfΔ+-Δ+=- pour tout couple Δx et Δt vérifiant : tvxΔ=Δ. Ainsi, s+(x,t) représente un signal qui se propagesans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens positif. Une fonction de la forme
)(vxtf- est appelée onde plane progressive.O Instant
tInstant
t+ΔΔΔΔt )(),(vxtftxs-=+ tvxΔ=Δ xLa solution
)(),(vxtftxs+=- représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens négatif. On se propose maintenant de résoudre l"équation de d"Alembert tridimensionnelle : ),,,(),(01222tzyxstrsavects
vs==∂∂-ΔrOn vérifie que des fonctions de la forme :
)(),,,(;)(),,,(;)(),,,(,,,v ztftzyxs v ytftzyxs v xtftzyxs zyxmmm===±±±sont solution de l"équation tridimensionnelle (ces solutions sont appelées ondes planes de
directions de propagations respectives zyxuetuurrr,, dans le sens positif ou négatif).Remarque : des ondes sphériques sont également solution de l"équation de d"Alembert
tridimensionnelle : on cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t). En utilisant
la forme du laplacien en coordonnées sphériques, il vient :01)(122
222=∂∂-∂∂
ts vrsrrSoit encore :
0)(1)(22
222=∂∂-∂∂rstvrsr
On constate alors que la fonction rs(r,t) est solution de l"équation unidimensionnelle de
d"Alembert. Par conséquent : )()(),(v xtg v xtftrrs++-=Soit :
)(1)(1),(v xtg rv xtf rtrs++-=Physique des ondes, équation de d"Alembert
6 Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement divergente etconvergente. On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de
l"affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r.Ordres de grandeurs :
On peut évaluer l"ordre de grandeur de la célérité des ondes dans le modèle de la chaîne d"atomes
et la comparer avec l"ordre de grandeur de la célérité des ondes sonores dans les solides qui vaut
typiquement quelques milliers de mètres par seconde.Pour estimer la raideur k, on suppose que l"ordre de grandeur de l"énergie de liaison par atome est
l"ev et que cette énergie est de la forme élastique 2 21kd où md1010-≈. On trouve 1.10-≈mNk.
Avec kgm2610-≈, on obtient :132.10.3-≈=smmkdc
Soit un ordre de grandeur tout à fait satisfaisant.Dans chacun des deux exemples (chaîne d"atomes et corde vibrante), on constate que la célérité
est une fonction croissante de la raideur du milieu (k ou F) et décroissante de l"inertie du milieu
(m ou μ). On peut retenir, plus généralement que :" Des ondes mécaniques se propagent d"autant plus mal que le milieu est plus mou et plus
inerte. »2 - Ondes progressives harmoniques :
On se limite ici à des solutions harmoniques de l"équation de d"Alembert, c"est-à-dire des
solutions de la forme : -=)(cos),(cxtAtxsω Ces solutions correspondent à des ondes planes progressives harmoniques (OPPH).Ces fonctions, de période temporelle
2=T possèdent une période spatiale ωπλ
ccT2== appelée longueur d"onde.On définit le vecteur d"onde
kr tel que :2===ckavecukkxrr
L"OPPH est alors de la forme :
())cos),(kxtAtxs-=ω3 - Ondes stationnaires :
On cherche des solutions de l"équation de d"Alembert de la forme (méthode de séparation des variables) : )()(),(tgxftxs=Physique des ondes, équation de d"Alembert
7En substituant dans l"équation de d"Alembert :
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