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Algèbre linéaire et bilinéaire

Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens

1 Formes hermitiennes et formes quadratiques hermitiennes

Dans toute cette partie,Eest unC-espace vectoriel. Définition.(i)On rapp ellequ"une application udeEdansEest ditelinéairesi pourx;y2E et2Con a u(x+y) =u(x) +u(y)etu(x) =x: (ii) On dit qu"une application udeEdansEestsemi-linéairesi pourx;y2Eet2Con a u(x+y) =u(x) +u(y)etu(x) =x: On note que cette dernière définition n"a de sens que pour un espace vectoriel surC. Définition.On appelleforme hermitiennesurEune application'deEEdansCvérifiant les propriétés suivantes : 'est linéaire à gauche et semi-linéaire à droite : pourx;x0;y;y02Eet2Con a '(x+x0;y) ='(x;y) +'(x0;y) et '(x;y+y0) ='(x;y) +'(x;y0): 'vérifie la propriété de symétrie hermitienne : pour tousx;y2Eon a '(x;y) ='(y;x):

Remarque.Pourx2Eon a'(x;x) ='(x;x)et donc

'(x;x)2R: Définition.On appelleforme quadratique hermitienneune applicationq:E!Rtelle qu"il existe une forme hermitienne'pour laquelle on a

8x2E; q(x) ='(x;x):

Il est important de noter qu"une forme quadratique hermitienne est à valeurs réelles. En outre pourx2Eet2Con a q(x) =jj2q(x):

L2 Maths - S3 -Maths 3 - Algèbre linéaire et bilinéaireProposition.Soit'une forme hermitienne etqla forme quadratique hermitienne associée. Alors

pourx;y2Eon a Re '(x;y)=q(x+y)q(x)q(y)2 =q(x+y)q(xy)4 Im '(x;y)=q(x+iy)q(x)q(y)2 =q(x+iy)q(xiy)4 et donc '(x;y) =q(x+y)q(xy) +iq(x+iy)iq(xiy)4

Cela prouve en particulier que la forme quadratique hermitienneqest associée à une unique forme

hermitienne', appelée forme polaire deq. Exemples.L"applicationz7! jzj2est une forme quadratique hermitienne surE=C, associée à la forme hermitienne (z;w)7!zw: L"application(z1;:::;zn)7! jz1j2++jznj2est une forme quadratique hermitienne surE=Cn, associée à la forme hermitienne (z1;:::;zn);(w1;:::;wn)7!z1w

1++znw

n: Soient1;:::;n2R. L"application(z1;:::;zn)7!1jz1j2++njznj2est une forme qua- dratique hermitienne surE=Cn, associée à la forme hermitienne (z1;:::;zn);(w1;:::;wn)7!1z1w

1++nznw

n: On observe que ce n"est plus le cas si les coefficients1;:::;nne sont pas réels. L"application qui à une fonctionfcontinue de [0,1] dansCassocie Z 1 0 jf(t)j2dt est une forme quadratique hermitienne surE=C0([0;1];C). Sa forme polaire est (f;g)7!Z 1 0 f(t)g(t)dt: Soitune fonction continue de[0;1]dansR. Alors l"application qui à une fonctionfcontinue de [0,1] dansCassocieZ1 0 (t)jf(t)j2dt est une forme quadratique hermitienne surE=C0([0;1];C). Définition.Soientn2NetA2Mn(C). On dit que la matriceAesthermitiennesitA=A.

NotantA= (ai;j)16i;j6ncela signifie queaj;i=a

i;jpour tousi;j2J1;nK. Proposition.Soitn2N. SoitA2Mn(C)une matrice hermitienne. Alors l"application ':CnCn!C (X;Y)7!tXAY est une forme hermitienne surCn.2 Julien Royer - Université Toulouse 3

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Proposition-Définition.On suppose queEest de dimension finien2N. Soient'une forme hermitienne,qla forme quadratique hermitienne associée ete= (e1;:::;en)une base deE. On appelle matrice de'(ou deq) dans la baseela matriceA= (ai;j)16i;j6ntelle que pouri;j2J1;nK on a a i;j='(ei;ej): 1.

L amatri ceAest hermitienne.

2.

Soient x=Pn

j=1xjejety=Pn j=1yjej. On noteX=0 B @x 1... x n1 C

AetY=0

@y 1 y n1 A . Alors on a '(x;y) =X

16i;j6na

i;jxiy j=tXAY 3. Si e0est une autre base deE,Pest la matrice de passage de la baseeà la basePetA0est la matrice de'dans la basee0, alors on a A

0=tPAP:

Remarque.Avec les notations précédentes on a q(x) =nX j=1a j;jjxjj2+X

16i j: En outre les coefficients diagonauxaj;j,j2J1;nK, sont réels. Définition.On suppose queEest de dimension finien2N. Soient'une forme hermitienne et qla forme quadratique hermitienne associée. (i) On app ellerangde'le rang de la matrice de'dans n"importe quelle base deE. (ii) On dit que '(ouq) estnon-dégénéréesi'est de rangn. Définition.(i)On dit que qest positive siq(x)>0pour toutx2E. (ii)

On dit que qest négative siq(x)60pour toutx2E.

(iii) On dit que qest définie positive siq(x)>0pour toutx2En f0g. (iv) On dit que qest définie négative siq(x)<0pour toutx2En f0g.

2 Orthogonalité

Dans toute cette partie,Eest unC-espace vectoriel,'est une forme hermitienne etqla forme quadratique hermitienne associée. Définition.(i)On dit que les v ecteursxetydeEsontorthogonauxsi'(x;y) = 0(on remarque que'(x;y) = 0()'(y;x) = 0). (ii) On dit que xest isotrope siq(x) = 0(c"est-à-dire sixest orthogonal à lui-même). (iii)

On dit qu" unefamille de v ecteursest orthogonalesi ses éléments sont deux à deux orthogonaux.

(iv) On app ellenoyaudeq(ou de') l"ensemble desx2Etels que

8y2E; '(x;y) = 0:

On observe que le noyau deqest un sous-espace vectoriel deE.Année 2015-20163

L2 Maths - S3 -Maths 3 - Algèbre linéaire et bilinéaireRemarque.On suppose queEest de dimension finie. Soite= (e1;:::;en)une base deEet

e = (e1;:::;en)la base duale. Alors la baseeest orthogonale pourqsi et seulement si la matrice deqdans la baseeest diagonale, si et seulement si

8x2E; q(x) =nX

j=1 ej(x)2: Théorème 2.1.On suppose queEest de dimension finie. Alors il existe une baseedeEortho- gonale pourq. Remarque2.2.Soite= (e1;:::;en)la base donnée par le théorème. Si pourj2J1;nKtel que q(ej)6= 0on remplaceejparej=pjq(ej)j, on obtient une base deEdans laquelle la matrice deq est diagonale avec uniquement des coefficients -1, 0 et 1. Théorème(Réduction de Gauss).On suppose queEest de dimension finien2N. Il existe k2J1;nK,1;:::;k2Rn f0get des formes linéairesl1;:::;lksurEtels que

8x2E; q(x) =kX

j=1 jjlj(x)j2:

Ce résultat peut être vu comme une conséquence de l"existence d"une base orthogonale. On peut

aussi en donner une preuve constructive directe, que l"on illustre sur des exemples.

Exemples.

Cas où il y a un terme en c arré: On considère surC3la forme quadratique hermitienne q: (z1;z2;z3)7!z1z

1+ 3z2z

2z3z

3+iz1z

2iz2z 1z1z 3z3z

1+ 2iz2z

32iz3z

2:

Pour(z1;z2;z3)2C3on a

q(z1;z2;z3) = jz1j2+ 2Re(iz1z

2) + 2Re(z1z

3) + 3jz2j2 jz3j2+ 2Re(2iz2z 3) jz1iz2z3j2 jz2j2 jz3j22Re(iz2z 3) + 3jz2j2 jz3j2+ 4Re(iz2z 3) =jz1iz2z3j2+ 2jz2j22jz3j2+ 2Re(iz2z 3) =jz1iz2z3j2+ 2z2iz32 2

5jz3j22

Cas où il n"y a que des termes croisés :On considère surC3la forme quadratique hermitienne q: (z1;z2;z3)7!2Re(iz1z

2) + 2Re(z1z

3) + 2Re((1 +i)z2z

3)

Soit(z1;z2;z3)2C3. On notew1=iz1+z22

etw2=iz1z22 , de sorte queRe(iz1z

2) =jw1j2 jw2j2,

z

1=iw1iw2etz2=w1w2. On a alors

q(z1;z2;z3) = 2jw1j22jw2j2+ 2Re((1 + 2i)w1z

3)2Re(w2z

3) = 2w1+12 i z 32
52
jz3j22w2+z32

2+jz3j22

12 jiz1+z2+ (12i)z3j212 jiz1z2+z3j22jz3j2:4 Julien Royer - Université Toulouse 3

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3 Signature d"une forme quadratique

On suppose queEest unC-espace vectoriel de dimension finien2N. On considère une forme quadratique hermitienneqsurEet on note'sa forme polaire.

Proposition-Définition.Il existe un unique couple(p;m)d"entiers vérifiant les propriétés sui-

vantes : (i)

Si e= (e1;:::;en)est une base orthogonale alors

(ii) Si les formes liné airesl1;:::;lk(aveck2N) sont linéairement indépendantes et telles que pour1;:::;k2Rn f0gon a

8x2E; q(x) =1jl1(x)j2++kjlk(x)j2

(réduction de Gauss), alors parmi leskcoefficients1;:::;kpsont strictement positifs et msont strictement négatifs. Le couple(p;m)est alors appelé signature de la forme quadratiqueq.

Proposition.Soit(p;m)la signature deq. Alors

(i) le r angde qestp+m, (ii)qest non-dégénérée si et seulement sip+m=n, (iii)qest positive si et seulement sim= 0, (iv)qest définie positive si et seulement si(p;m) = (n;0), (v)qest négative si et seulement sip= 0, (vi)qest définie négative si et seulement si(p;m) = (0;n).

4 Espaces hermitiens

On suppose queEest unC-espace vectoriel de dimension finien2N. On considère une forme quadratique hermitienneqsurEet on note'sa forme polaire. Définition.Siqest définie positive alors on dit que sa forme polaire'est un produit scalaire hermitien. Dans ce cas on note souvent'(x;y) =hx;yipour tousx;y2E. Définition.On appelle espace hermitien unC-espace vectoriel de dimension finie muni d"un pro- duit scalaire hermitien. Exemple.Cnmuni du produit scalaire': ((z1;:::;zn);(w1;:::;wn))7!z1w

1++znw

nest un espace hermitien.'est le produit scalaire hermitien usuel surCn. A partir de maintenant on suppose que(E;h;i)est un espace hermitien. Proposition(Inégalité de Cauchy-Schwarz).Pour tout(x;y)2E2on a jhx;yij6phx;xiphy;yi: En outre il y a égalité si et seulement sixetysont colinéaires. Pour la démonstration on pourra étudier les fonctionst7! hx+ty;x+tyiett7! hx+iy;x+iyi. Définition.On appelle norme hermitienne sur leC-espace vectorielEune applicationN:E!R+ telle queAnnée 2015-20165

L2 Maths - S3 -Maths 3 - Algèbre linéaire et bilinéaire(i)p ourx2E,N(x) = 0si et seulement six= 0(séparation),

(ii) p ourtous x2Eet2Con aN(x) =jjN(x)(homogénéité), (iii) p ourtous x;y2E,N(x+y)6N(x) +N(y)(inégalité triangulaire). Proposition.L"applicationx7! kxk=phx;xidéfinit une norme surE. Proposition(Théorème de Pythagore).(i)Pou rx;y2Eon a hx;yi () kx+yk2=kxk2+kyk2: (ii) Si la famil le(x1;:::;xk)de vecteurs deEest orthogonale, alors kx1++xkk2=kx1k2++kxkk2:

Proposition.Une famille orthogonale deEest libre.

Définition.On dit d"une famille de vecteurs deEqu"elle est orthonormée si elle est orthogonale et si tous ses vecteurs sont de norme 1.

Proposition.Eadmet des bases orthonormées.

Proposition 4.1.Soite= (e1;:::;en)une base orthonormée deE. Alors pour tousx;y2Eon a x=nX j=1hx;ejiej et hx;yi=nX k=1hx;ejihy;eji:

En particulier

kxk2=nX j=1jhx;ejij2: Proposition-Définition(Supplémentaire orthogonal).SoitFun sous-espace deE. On noteF? l"ensemble des vecteurs à tout vecteur deF: F ?=fx2Ej8y2E;hx;yi= 0g: C"est un sous-espace vectoriel deE. En outreFetF?sont supplémentaires dansEet(F?)?=F. Proposition-Définition.SoitFun sous-espace deE. On appelle projection orthogonale surF la projectionpFsurFparallèlement àF?. Si(e1;:::;ek)est une base orthonormée deF(avec k= dim(F)) alors pour toutx2Eon a p

F(x) =kX

j=1hx;ejiej: En outrepF+pF?= IdE.6 Julien Royer - Université Toulouse 3

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5 Endomorphismes d"un espace hermitien

Proposition-Définition(Adjoint d"un endomorphisme).Soitu2L(E). Alors il existe une unique applicationudeEdansEtel que

8x;y2E;hu(x);yi=hx;u(y)i:

En outreu2L(E).uest appelé l"endomorphisme adjoint deu.

Proposition.(i)L"applic ation

:L(E)!L(E) u7!u est semi-linéaire (en particulier on a(u)=u (ii)

Pour tout u2L(E)on a(u)=u.

(iii)

On a (IdE)= IdE.

(iv)

Pou ru;v2L(E)on a(vu)=uv.

(v) Si uest inversible alorsuest inversible et on a(u1)= (u)1. (vi) Pou ru2L(E)on aker(u) = (Im(u))?etIm(u) = (ker(u))?. Proposition.Soitu2L(E)eteune base orthonormée deE. On noteAetAles matrices deu etudans la basee. Alors on a A =tA: Remarque.PourA2Mn(C)etx;y2Cnon a pour le produit scalaire hermitien usuel deCn: hAx;yi=D x;tAy E Lemme.Soientu2L(E)etFun sous-espace vectoriel deE. AlorsFest stable parusi et seulement siF?est stable paru. Définition.(i)Soit u2L(E). On dit queuest auto-adjoint (ou hermitien) siu=u. On dit queuest anti-hermitien siu=u. (ii) Soit A2Mn(C). On dit queAest hermitienne sitA=A. On dit queAest anti-hermitienne si tA=A. Proposition-Définition.Soitu2L(E). Soit(e1;:::;en)une base orthonormée deE. Les propo- sitions suivantes sont équivalentes : (i)8x2E;ku(x)k=kxk. (ii)8x;y2E;hu(x);u(y)i=hx;yi. (iii)(u(e1);:::;u(en))est une base orthonormée deE. (iv)uest un isomorphisme deEet son inverse estu.

Si ces conditions sont vérifiées alors on dit queuest une isométrie (vectorielle) deE. L"ensemble

des isométries deEest notéU(E). Proposition-Définition.SoitA2Mn(C). Soit(e1;:::;en)une base orthonormée deCnmuni de son produit scalaire hermitien usuel. Les propositions suivantes sont équivalentes : (i) tAA=In.Année 2015-20167 L2 Maths - S3 -Maths 3 - Algèbre linéaire et bilinéaire(ii)Aest inversible d"inversetA. (iii)8X2Cn;kAXk=kXk. (iv)8X;Y2Cn;hAX;AYi=hX;Yi. (v)(Ae1;:::;Aen)est une base orthonormée deCn.

Si ces conditions sont vérifiées alors on dit queAest une matrice unitaire de degrén. L"ensemble

des matrices unitaires de degrénest notéU(n). Définition.(i)Soit u2L(E). On dit queuest normal siuu=uu. (ii)

Soit A2Mn(C). On dit queAest normale sitAA=AtA.

Remarque.Les endomorphismes hermitiens, anti-hermitiens et les isométries sont en particulier des endomorphismes normaux. Théorème(Réduction des endomorphismes normaux).SoitEun espace hermitien etuen endo- morphisme normal deE. Alors il existe une base orthonorméeedeEconstituée de vecteurs propres pouru. En particulieruest diagonalisable. Démonstration.On procède par récurrence sur la dimensionn2NdeE. Le résultat est clair sin= 1. On suppose maintenant le résultat acquis jusqu"au rangn1(n>2). Puisque le polynôme caractéristique deuest scindé,uadmet au moins une valeur propre2C. On note F= ker(uIdE). SiF=E, il suffit de considérer n"importe quelle base orthonormée deE. On suppose maintenant que ce n"est pas le cas. Puisqueuetucommutent, le sous-espace propreFde uest stable paru, et doncF?est stable par(u)=u. Puisque(ujF?)=ujF?, la restrictionujF? est en endomorphisme normal deF?. Puisquedim(F?)2J1;dim(F)1K, il existe par hypothèse de récurrence une base orthonormée deF?constituée de vecteurs propres pourujF?, et donc pouru. En concaténant cette base avec une base orthonormée deFon obtient bien une base orthonormée

deEconstituée de vecteurs propres pouru.Proposition.(i)L esvaleurs pr opresd"un endomorphisme hermitien sont r éelles.

(ii) L esva leurspr opresd"un endomorphisme anti-hermitien sont imaginair espur es. (iii) L esvaleurs pr opresd"une isométrie sont de mo dule1. 8 Julien Royer - Université Toulouse 3quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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