Étape A : processus délimination de Gauss
La matrice U = A2 est une matrice triangulaire supérieure. Ainsi le systeme (4) (qui peut être réécrit Ux = b2) est un système triangulaire supérieur qui va
Résolution numérique de systèmes linéaires
3 Réduction de Gauss-Jordan. 3.1 Objectif. On suppose dans un premier temps que la matrice que l'on manipule est inversible. La méthode de la réduction de
Autour de la notion de réduction dune matrice
Le but de cette partie est de comprendre quelles sont les conséquences de l'algorithme du pivot de Gauss : on y verra notamment une interprétation en terme d'
Formes quadratiques
La matrice de la forme quadratique Q dans la base canonique de R3 est A= On effectue une réduction de GAUSS. Q((xy
systeme dequations
pour résoudre le système S il faut entrer la matrice A
Calcul matriciel
Pour obtenir le rang de cette matrice il suffit d'effectuer une réduction de Gauss de cette matrice (ref)
Chapitre 3 Méthodes directes de résolution des syst`emes linéaires
Théor`eme 10 Elimination de Gauss. Soit A une matrice carrée inversible ou non. Il existe une matrice inversible M telle que MA.
Trouver les valeurs propres de A (ou de f) 1 Rappel des définitions 2
3 Le cas général : utilisation d'une réduction de Gauss. En règle général pour déterminer les valeurs propres d'une matrice A
REDUCED ROW ECHELON FORM AND GAUSS-JORDAN
The linear systems whose augmented matrices are of this special class will be precisely those that are easy to solve. We say an n × m matrix A is in reduced row
Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens
On dit que la matrice A est hermitienne si t A = A. (réduction de Gauss) alors parmi les k coefficients ?1
[PDF] METHODE DU PIVOT DE GAUSS - Toutes les Maths
L'idée de la méthode du pivot de Gauss consiste donc à remplacer le système (S) par une matrice faisant intervenir à la fois des coeffi cients des inconnues
[PDF] Méthode du pivot de Gauss
Méthode du pivot de Gauss Dédou Octobre 2010 Page 2 La méthode du pivot La méthode du pivot permet d'associer `a tout syst`eme linéaire un syst`eme
[PDF] Méthode du pivot de gauss et formes échelonnées (réduites)
L'objectif est de mettre en place un al- gorithme de réduction appelé méthode du pivot de Gauss ou méthode d'élimination de Gauss-Jordan qui permet d'
[PDF] Étape A : processus délimination de Gauss
(algo) Soit M ? Mn(R) une matrice carrée inversible et soit b ? Rn un vecteur (b ? Mn1(R)) Écrire l'algorithme d”élimination de Gauss pour résoudre le
[PDF] Résolution des syst`emes linéaires Méthode de Gauss - Normale Sup
Si A est la matrice finale on définit alors les matrices suivantes : L est la partie triangulaire gauche inférieure de A diagonale comprise U est la partie
[PDF] Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires
Réduction d'équation différentielles avec Aj la matrice obtenue en remplaçant la j 2 Le pivotage se complique par rapport à la méthode de Gauss
[PDF] Chapitre 3 Méthodes directes de résolution des syst`emes linéaires
Théor`eme 10 Elimination de Gauss Soit A une matrice carrée inversible ou non Il existe une matrice inversible M telle que MA
[PDF] Systèmes déquations linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques
Gauss en inversant la matrice des coefficients par la formule de Cramer) : On trouve la solution du système en inversant la matrice :
[PDF] TD 2: Applications linéaires matrices pivot de Gauss Exercice 2
2011/2012 TD 2: Applications linéaires matrices pivot de Gauss Exercice 1 Résoudre les systèmes linéaires suivants en utilisant la méthode de Gauss :
[PDF] 13 Les méthodes directes
Soit A ? Mn(IR) une matrice inversible et b ? IRn On cherche à calculer x ? IRn tel que Ax = b Le principe de la méthode de Gauss est de se ramener
Exercice 5
1. Résoudre le système linéaireAx=bpar la méthode d"élimination de Gauss dans les trois cas suivants :
a- A=242 4 6
2 1 1 11 23 5 b=2 441 53
5 b- A=2
42 4 6
24 111 23 5 b=2 412
5 03 5 c- A=2
42 4 6
24 112 23 5 b=2 412
5 13 5 oub=2 42
2 43
5 Dans chaque cas, on écrira les étapes de la méthode sous forme matricielle.
2.(algo)SoitM2 Mn(R)une matrice carrée inversible et soitb2Rnun vecteur (b2 Mn;1(R)). Écrire l"algorithme
d"élimination de Gauss pour résoudre le système linéaireMx=b.Question 1a.Étape A : processus d"élimination de Gauss
On transforme le systèmeAx=ben un système triangulaire supérieurUx=~boùUest une matrice triangulaire supérieure
à diagonale unité en faisant des combinaisons linéaires des équations (ce qui équivaut à faire des combinaisons linéaires des
lignes deA).Étape A1 :
On éliminex1dans les équations2et3(en faisant une combinaison linéaire entre la première et la deuxième équations d"une
part, et entre la première et la troisième équations d"autre part) : L2 L2+L1etL3 L3+12
L1:(1)
On obtient le système
A1x=b1avecA1=2
42 4 6
0 5 70 1 53
5 etb1=2 443 33
5
En terme matriciel, ceci revient à multiplier les systèmeAx=bà gauche par par la matrice triangulaire inférieure
L 1=241 0 0
1 1 00:5 0 13
5L"étape A1 se résume donc à
Ax=b,A1x=b1avecA1=L1A;etb1=L1b:(2)
L1est une matrice triangulaire inférieure inversible à diagonale unité.
Étape A2 :
On éliminex2dans la troisième équation (pour cela, on fait une combinaison linéaire des équations 2 et 3) :
L3 L3 L2=5:(3)
On obtient le système
A2x=b2avecA2=2
41 2 3
0 1 750 0185
3 5 etb2=2 443 185
3 5 (4) 1
En terme matriciel, ceci revient à multiplier les systèmeA1x=b1à gauche par par la matrice triangulaire inférieure
L 2=241 0 0
0 1 001=5 13
5L"étape A2 se résume donc à
A1x=b1,A2x=b2avecA2=L2A1etb2=L2b1:(5)
L2est une matrice triangulaire inférieure inversible à diagonale unité.
Bilan étape A :
La matriceU=A2est une matrice triangulaire supérieure. Ainsi, le systeme(4)(qui peut être réécritUx=b2) est un
système triangulaire supérieur qui va être facile à résoudre à l"étape B. Matriciellement, en combinant(2)et(5)nous pouvons résumer l"étape A comme suit :La matrice
~Lest le produit de deux matrices triangulaires inférieures à diagonales unité. Donc la matrice~Lest une matrice
triangulaire inférieure inversible à diagonale unité. Son inverse, notéeL, est donc aussi triangulaire inférieure à diagonale unité.
On a donc montré queA=LUoùLest une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité etUest une matrice triangulaire
supérieure. Autrement dit, la première étape de la méthode du pivot revient à faire de manière implicite la décompositionLU
deA(noter queLy=b, cf. exercice1, question 4).En pratique, lorsqu"on code l"algorithme d"élimination de Gauss, on ne code pas sa version matricielle mais on transforme
progressivement la matriceAet le second membreben faisant combinaisons lineaires des équations (des lignes) (cf.(1)-(3)).
Autrement dit, on n"a pas besoin de calculer pas explicitement la matriceL. Etape B : on résout le système triangulaire supérieurUx=y Ce système est résolu par substitution (cf. exercice 1, question 3). On obtient finalement x=2 412 13 5
Question 1b.
On procède comme dans la question1mais on va voir apparaitre une difficulté supplémentaire due à la présence d"unpivot
nul. On peut remarquer que det2 4 24= 0 si bien que le mineur principal deAd"ordre2est nul.
Étape A : processus d"élimination de Gauss
Étape A1
On éliminex1dans les équations2et3:
L2 L2+L1etL3 L3+12
L1:(7)
On obtient le système
A1x=b1avecA1=2
42 4 6
0 0 70 1 53
5 etb1=2 4127 63
5
En terme matriciel, ceci revient à multiplier les systèmeAx=bà gauche par par la matrice triangulaire inférieure
L 1=241 0 0
1 1 00:5 0 13
5 2L"étape A1 se résume donc à
Ax=b,A1x=b1avecA1=L1A;etb1=L1b:(8)
L1est une matrice triangulaire inférieure inversible à diagonale unité.
Étape A2 : permutation des lignes 2 et 3
Comme le pivotA1(2;2) = 0, on ne peut pas poursuivre directement le processus d"élimination. En particulier, on ne peut
pas éliminerx2dans l"équation3en faisant une combinaison entre la deuxième et la troisième ligne. Cependant, comme
A1(3;2)6= 0, nous allons échanger les lignes2et3.
L2 L3L3 L2:
On obtient alors
A2x=b2avecA2=2
42 4 6
0 1 50 0 73
5 etb2=2 4126 73
5
En terme matriciel, cela revient à multiplier le systèmeA1x=b1par la matrice de permutationP23donnée par
P 23=241 0 0
0 0 10 1 03
5Cette étape A2 se résume donc à
A1x=b1,A2x=b2avecA2=P23A1etb2=P23b1:(9)
Remarque.Comme la matriceA2est de dimension33, il n y a pas besoin de continuer le processus d"élimination (puisque
(A2)3;2= 0). Bien sûr, il faudrait la réaliser dans le cas d"une matrice plus grande. Cela reviendrait alors à multiplier le système
A2x=b2par une matrice triangulaire inférieure.
Bilan étape A
Matriciellement, en combinant(8)-(9), nous pouvons résumer l"étape A comme suit :On remarque queM=P2;3L1=~LP2;3, avec
L=241 0 0
0:5 1 0
1 0 13
5Lest une matrice triangulaire inférieure inversible à diagonale unité. Son inverse, notéeL, est donc aussi triangulaire inférieure
à diagonale unité.
On a donc montré queU=~LP2;3A, c"est à dire que queLU=P2;3A, oùLest une matrice triangulaire inférieure à
diagonale unité,Uest une matrice triangulaire supérieure etP2;3est une matrice de permutation. Autrement dit, la première
étape de la méthode du pivot revient à faire de manière implicite la décompositionPA=LU.
Etape B : on résout le système triangulaire supérieurUx=y Ce système est résolu par substitution (cf. exercice 1, question 3). On obtient finalement x=2 411 13 5
Question 1c.
En reproduisant la technique mise en place dans les questions 1a, 1b, on voit que le systèmeAx=best équivalent au système
suivant : A 1x=b1 3quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] signature forme quadratique
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