[PDF] Sur la réduction des intégrales abéliennes

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BULLETIN DE LAS. M. F.H.POINCARÉ

Bulletin de la S. M. F., tome 12 (1884), p. 124-143 © Bulletin de la S. M. F., 1884, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Bulletin de la S. M. F. » (http: //smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/ conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de

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Sur la réduction des intégrales abéliennes Par M. H.

POINCARÉ

l Tous les lecteurs de ce

Bulletin

connaissent les remarquable s travaux de M.

Picard

Sur la réduction des intégrales abéliennes, qui après avoir paru dans divers numéros des

Comptes

rendus desséances de V Académie des Sciences, ont été réunis ici même en u n

Mémoire

unique La même questio n a

été

F objet des recherches des géomètres

étrangers

et en particulie r des géomètres allemands .En 1874? M"® Kowalevski a envoyé à l'Université de Gôttin- gen u n

Mémoire

qu i v a paraîtr e dan s les Acta

Maflïematica.

Dan s ce

Mémoire

Ueber die

Réduction

einer bestimmten

Klasse

AbeVschen

Intégrale

3

Ranges

auf elliptische Intégrale)^elle cite les deux théorèmes suivants, dus à M. Weierstrass : Si l^on envisage un système de p intégrales abéliennes de rang p, parmi lesquelles il y en a une qui est susceptible d'être réduite aux intégrales elliptiques, et si Von considère

égale-ment la fonction 6 correspondante :

i

Cette/onction

6 p variables peut

être

changée^ par une transformation d^ ordre k, dans le produit d^une fonction une variable et d 9 une fonction 0 p i variables,2° Elle peut également par une transformation linéaire, c 9 est-à-dire du premier ordre,

être

amenée une forme telle que, le tableau des périodes s'écrivant comme il suit :l I 0 ... 0 TU TIS ... Tlp, 1 0 I 0 i Tâ 2

ï2p

j 0 0 1 Tp i Tp 2 ^p pavec les conditions habituelles ^a p =^0 la période T^ soU commensurable et que les périodes ^tsj ^u» ^ip soient nulles. - 1^5 - Le premie r de ces théorème s a ét communiqu M.

Kônigs-

berger et l e second M"

Kowalevski

par des lettre s de M.

Weier-

strass. Mais ils n e paraissent pas avoir

été

publiés. Le premie r de ces théorèmes peu t s e généraliser comm e il suit S i l'on envisage u n système d e p intégrale s abéliennes de pre- mière espèce et de ran g p parmi lesquelles i l y en a a qu i sont susceptibles d'êtr e réduite s au ran g [x l a fonctio n 6 correspon- dant e p variables peu t

êtr

e changée par un e transformatio n d'ordre/:, dan s l e produi t d'un e fonctio n 6 y variable s et d'un e fonctio n 0 p y. variables Le second théorèm e est

également

susceptible d'un e généralisa- tion ains i qu'o n le verra plu s loin. Il n'est pas douteu x que ces généralisations n e soient connues de M.

Weierstrass;

mais comme i l serait difficile en

France

de s'en procurer la démonstration j e crois qu'i l ne sera pas inutil e d e la développer ici, ignorant d'ailleur s si la march e que j e vais suivr e est l a même qu'a employée l'illustre analyst e allemand 2 Soit A'I x^ a-ap u n système quelconqu e de i p périodes*

Posons

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