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La fonction puissance
Table des matières
1 Fonction puissance2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Etude de la fonction puissance3
2.1 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Limite en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Étude d"une fonction classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 La racine n-ieme8
3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Simplification et résolutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Croissance comparée9
4.1 En + l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 En moins l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Application : exo type BAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
PAUL MILAN22 mai 2012 TERMINALES
21 FONCTION PUISSANCE
1 Fonction puissance
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction puissance d"un réelapositif, la fonctionfa définie surRpar : a>0fa(x) =axavecax=exlnxExemple :3⎷2=e⎷2ln3et 5-12=e-12ln5
Remarque :Il s"agit de la généralisation de la fonction puissance avec les d"un nombre négatif qui était possible pour les entiers relatifs mais qui à cause de lnadevient impossible pour une puissance réel. (-3)5est possible mais(-3)⎷2n"existe pas!
ConséquenceLa fonction puissance est strictement positive du fait de sa notation exponenetielle. ?x?Rax>01.2 Propriétés
On retrouve les mêmes propriétés de la fonction exponentielle avec la fonction puissance : Propriété 1 :Pour tous réels positifsaetb, on a les égalités suivantes pourxet yréels : lnax=xlna a x+y=ax×ayetax-y=ax ay ax)y=axy (ab)x=ax×bx1.3 Exercices
1) Résoudre dansR: 2x=32x+1
On revient à la notation exponentielle :
e xln2=e(2x+1)ln3 xln2= (2x+1)ln3 x(ln2-2ln3) =ln3 x=ln3 ln2-2ln3PAUL MILAN22 mai 2012 TERMINALES
32) Résoudre dansR:?13?
x =32On revient à la notation exponentielle :
e xln13=eln32
-xln3=ln3-ln2 x=ln2-ln3 ln33) Résoudre dansR:?1
⎷3? x ?3On revient à la notation exponentielle :
e xln1 ⎷3?eln3 12xln3?ln3
12x?1 car ln3>0
x?-2S= [-2;+∞[
4) Résoudre dansR?+:x⎷
2?1 2On revient à la notation exponentielle :
e2lnx?eln12⎷
2lnx?-ln2
lnx?-ln2 ⎷2 x?e-ln2 ⎷2S=]0;e-ln2
⎷2[2 Etude de la fonction puissance
2.1 Variation
Soit la fonctionfadéfinie surRpar :fa(x) =ax.
Commeax=exlna, elle est continue et dérivable surRcar composition de fonctions continues et dérivables surR. On a alors : f ?a(x) =? exlna??=lnaexlna=lna ax Le signe de la dérivée dépend donc du signe de lna. On a alors : Sia>1, on a alors?x?Rf?a(x)>0 la fonction puissance est croissante. Si 0PAUL MILAN22 mai 2012 TERMINALES42 ETUDE DE LA FONCTION PUISSANCE
2.2 Limite en l"infini
a>1 ?lim x→+∞xlna= +∞ lim x→+∞ex= +∞Par composition, on a
lim x→+∞ax= +∞De même, on montre que :
lim x→-∞ax=0 0Par composition, on a lim x→+∞ax=0De même, on montre que :
lim x→-∞ax= +∞2.3 Tableau de variation et courbe
a>1 x f ?a(x) f a(x) 00 0 1 1 a O1a 02.4 Étude d"une fonctionSoit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2x
1)Limite en+∞
lim x→+∞2x= +∞ lim x→+∞x= +∞???Par produit limx→+∞x2x= +∞
PAUL MILAN22 mai 2012 TERMINALES
2.4 ÉTUDE D"UNE FONCTION5
2)Limite en-∞.
forme indéterminée :∞×0On change la forme :f(x) =xexln2
On pose alors :X=xln2, on a alors :
Six→ -∞on a :X→ -∞
La fonction devient alors :
XeX ln2 or on sait que : limX→-∞XeX=0, donc on en déduit que :
lim x→-∞x2x=0 On en déduit une asymptote horizontale : l"axe des abscisses en-∞.3)Variation
f ?(x) =exln2+xln2exln2 = (1+xln2)2xOn sait que :?x?R2x>0 donc : :
signef?(x) =signe(1+xln2) f ?(x) =0?x=-1 ln2(? -1,14)On a donc le tableau de variation suivant :
x f ?(x) f(x) -∞-1ln2+∞ 0+ 00 -1eln2-1eln2 f? -1ln2? =-1ln2e-1 ln2ln2=-1eln2(? -0,53)4)La courbe
PAUL MILAN22 mai 2012 TERMINALES
62 ETUDE DE LA FONCTION PUISSANCE
123-11 2-1-2-3-4-5 O
2.5 Étude d"une fonction classique
Soit la fonction définie surR+par :
?f(x) =xxpourx>0 f(0) =11)Étude de la continuité en 0Pourx>0, on af(x) =exlnx, on a alors les limites suivantes :
lim x→0+xlnx=0 lim x→0+ex=1???Par composition limx→0+xx=1
Comme lim
x→0+xx=f(0), la fonction est continue en 0.2)Étude de la dérivabilité en 0Il faut étudier le rapportf(h)-f(0)
hquandhtend vers 0. f(h)-f(0) h=exlnx-1hC"est une limite indéterminée du type
00. On change de variable :H=hlnh
Sih→0 on a :H→0
On a alors :
f(h)-f(0) h=HeH-1H lnh=lnheH-1HComme on sait que : lim
H→0+e
H-1H=1 et limh→0+lnh=-∞, on a :
lim x→0+f(h)-1 h=-∞ fn"est pas dérivable en 0 mais sa courbe possède une tangente verticale en 0.PAUL MILAN22 mai 2012 TERMINALES
2.5 ÉTUDE D"UNE FONCTION CLASSIQUE7
3)Limite en l"infiniOn montre facilement par produit et composition que :
lim x→+∞xx= +∞4)Variation
x xest dérivable surR?+car composition de fonctions dérivables sur cet inter- valle. On a alors : f ?(x) = (lnx+x×1 x)exlnx= (lnx+1)xxCommexxest positive surR?+, on a :
signef?(x) =signe(lnx+1)De plus, on a :
f ?(x) =0?lnx=-1?x=1 e(?0,37) Comme la fonction ln est croissante surR?+la fonctionf?est négative puis positive. On a alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x)01e+∞
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