Chapitre 7 - Trigonométrie et angles orientés
Le cercle trigonométrique permet d'introduire une nouvelle unité de mesure d'angles : le radian. Définition 7.1.2. Le radian noté rad
Angles orientés et trigonométrie I. Cercle trigonométrique radian
Mesure d'un angle orienté. ? mesure principale. ?. Utiliser le cercle trigonométrique
Chapitre 7 - Trigonométrie et angles orientés
Trigonométrie et angles orientés. 7.1 Cercle trigonométrique et mesure d'angle. Définition 7.1.1. Un cercle trigonométrique C est un cercle de rayon 1 sur
Première S Cours angles orientés - trigonométrie 1 I Repérage sur
Exemple : un angle plat (180°) mesure exactement ? radians soit environ 3
ANGLES ORIENTES - TRIGONOMETRIE - Faire savoir
1. Angles orientés et cercle trigonométrique a) Le cercle trigonométrique. Définition. Soit un repère orthonormé tel que et sont deux vecteurs unitaires.
Angles orientés Trigonométrie
La mesure principale de l'angle orienté des vecteurs ( )u v est le réel ? appartenant à Mesures principales d'angles sur le cercle trigonométrique.
THEME : ANGLES ET TRIGONOMETRIE
trigonométrie. Plan de présentation du thème. Introduction. I. Angles géométriques et trigonométrie. II. Angles orientés. Conclusion
Angles orientés de vecteurs Trigonométrie
Utilisation du cercle trigonométrique. 3. Page 4. 1.2 Angles orientés de vecteurs unitaires. 1 MESURES D'
Vecteurs et colinéarité. Angles orientés et trigonométrie
21 fév. 2017 Angles orientés et trigonométrie. Table des matières ... 4.3 Relations trigonométriques . ... 4.5 Lignes trigonométrie dans le cercle .
Angles orientés et trigonométrie
2 juil. 2018 Angles orientés mesurés en radian ... Lignes trigonométriques. Dans le cercle unité ? est l'angle orienté : cos ? = projeté de ? sur (Ox).
Chapitre7
Trigonométrieetanglesorientés
7.1Cerc letrigonométriqueetmesu red'angle
Définition7.1.1.Unce rcletrigonométrique Cestuncer clederay on1surleq uelnousdistingueron s deuxsensdep arcours: •les ensdirectlor squelecercleestparcou rudanslesensinversedesaigui llesd'un emontre; •les ensindirect lorsquelecercleestparcouruda nslesensdesai guillesd'unemontre. Remarque.Lesmes uressuivantesseron tutilesparlasuite:lalong ueurd'uncerclevaut2π,celle dude mi-cerclevautdoncπetcel led'unqua rtdecerclevaut 2 Lecer cletrigono métriquepermetd'introduireunenouvelleunitédemesured'angles:leradian. Définition7.1.2.Lera dian,notérad,estlamesured'unangleaucentrequiinterceptesurle cercleCuna rcdelongue ur1. Remarque.Ilya une rel ationdepr oportionnalitéentrelesd egrése tlesradians.Eneffet,nous savonsquelarela tionsuivan teestvé rifiée360de gréséquivautà2πrad( lalongueurd ucercletrigonométrique)
C'estpourquo inousavonsletableausuiv ant:
Degrés360d
Radian2πr
Ceta bleaudeproportionnal iténou sfournitlarelationsuivante180×r=d×2πquiper metde convertirdesdegrésenradian etvice-ver sa. Lesv aleursremarquablessui vantessontàconnaitreDegrés030456090120135150180
Radian0
6 4 3 2 2π 3 3π 4 5π 6 5758CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS
7.2Anglé orientéd'uncoup ledevecteurs
Nousallons voirqu'ilestpossi bled'orienter leplanetd'utiliserlecercletrigo nométri quepour associerlamesured'unangle entrede uxvecteursnonnul s.Aceteffet,soi ent uet vdeuxvect eurs nonnuls. Apartirducentr eOduce rcletrigonométriqueC,ilexistedeuxpointsduplanMetN telsque OM= uet ON= v Depl us,observonsque lesdemi-droites[OM)et[ON)coupentlecercleendespointsAetB.La longueurl,surlecercleC,entrelespointsAetBvape rmettrededéfinirlamesuredel 'angle associéauxvecteurs uet v.Définition7.2.1.Danslec ontexte précédent,lafamilledes nombresréelsl+2kπ,aveck∈Z,est
unemesur edel'angleorien té( u, v). Remarque.Dema nièreinformelle,lenom brekindiquelenombredet our (ducercletrigonomét rique) quiaété fai t.Enprati que,nousallonss ouvent confondreunangleavecl 'unedesesmes ures.Notons aussiquel'ordre desvecteu rs uet vestimpo rtant.Eneffet,si( u, v)=lalors( v, u)=2π-l.7.2.1Mesure principaled'unangl eorientédevecteurs
Certainsmesuressontplu ssimplesàutiliserque d'autres. Définition7.2.2.Parmilesmesur esl+2kπ,aveck∈Z,d'unangleorienté( u, v),ilenexiste uneetune seuleap partena ntàl'interva lleI=]-π;π].Cettemesures'appellelamesureprincipale de( u, v). Remarque.Lava leurabsoluedelam esureprincipaled'unang lecoïnci deavecl'anglegéométrique définiparle sdeuxvec teurs uet "toursdecercle»:si( u, v)=lalorstoute slesautresmesuresd ecetangles ontdelaforme l+2kπaveck∈ZVoyonscequenous obteno nssurdeux exemples.
Exemple7.2.1.1.Su pposonsque(
u, v)= 376
πetdét erminonslamesureprincipaledecet
angleorienté. Pourcela,ilsuffitd'observerque37π
66×6+1
6π=(6+
1 6 6 +3×2π; lame sureprincipaleestdonc 62.De manières imilaire,si(
u, v)=202π
3 nousavons202π
367×3+1
3 3 +67π;ici,ilfau tpo ursuivreunpeu noscalculsafindefaireapparaitreunmult iplede2πàlaplace de6 7π.Celas'effectuedelama nièresu ivante
67π=68π-π,
7.3.FON CTIONCOSINUSETSINUSD'UNAN GLEORIENTÉ59
ainsi 3 +67π=3 +68π-π=-
2π 3 +34×2π.Lamesureprincipalevautdonc-
2π 3 etl 'angle géométriqueassociéapourmesure 2π 3 2π 3
7.2.2Proprié tésdesanglesorientés
Voiciquelque spropriétésdesanglesori entés,celles-cis'obtiennentgrâceàducalculvecto riel.
uet vdeuxvecteu rsnonnuls.Alors •direque uet vsontcoliné airesetdemêmesensestéquivalentà( u, v)=0; •direque uet vsontcoliné airesetdesensopposéestéquivalentà( u, v)=π Remarque.Ceré sultatdonneuneautrefaço ndeprouverquetr oispoints sontaligné soudemontrer quedesd roitesson tparallèles. Unerel ationdeChaslesexisteéga lemen tpourlesanglesorientés.Proposition24(RelationdeChasles).Soient
u, vet wdesvect eursnonnuls,alors u, v)+( v, w)=( u, w) Remarque.Encons équencedecetterelationdeChasles,n ousavo nslesrelationssuivantes: v, u)=-( u, v);( u,- v)=( u, v)+π;(- u, v)=( u, v)+π;(- u,- v)=( u, v) Iles tégalemen timportantd'observerquelas ubstitutiond'unvect eurparunautrevecteur coli- néaire,demêmesens,n'affectepasl emesuredel 'angle orienté.Par exemple (2 u, v)=( u, v);( u,3 v)=( u, v);(2 u,3 v)=( u, v)7.3Foncti oncosinusetsinusd 'unangleorienté
Pourintro duirecesnouvellesfonctions,il estimport antdeseplacerdansunrepèreorthonormé (O;I;J)direct;si i= OIet j=OJcecisi gnifieque
i∥=∥ j∥=1et ( i, j)= 2 Définition7.3.1.Dansunt elcadr e,àtoutpo intsMappartenantaucercletrigonomét riq ueCde •nousnotero nsθunemes uredel'angleorie nté( OI, OM); •leco sinusdeθ,notécos(θ),correspondraàl'abscissedupointM; •lesi nusdeθ,notésin(θ),correspondraàl'ordonnéedupointM.60CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS
OO II JJ MM cos(θ) sin(θ) Voyonsquelquesp ropriétésdecesnouvelles fonctions.Toutd'abord,ilestimportantdecalculer quelquesvaleursrema rquablesdecesfonctions .7.3.FON CTIONCOSINUSETSINUSD'UNAN GLEORIENTÉ61
x y 0 3060
90
120
quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24
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