[PDF] Angles orientés Trigonométrie

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Angles orientés - trigonométrie

AAnngglleess oorriieennttééss

TTrriiggoonnoommééttrriiee

I. Préliminaires

1. Le radian

Définition Soit C un cercle de centre O. Dire que l"angle géométrique ?AOB a pour mesure 1 radian signifie que la longueur du petit arc ?AB est égal au rayon R du cercle. De même, la longueur d"un arc de cercle de rayon R et dont l"angle au centre a pour mesure aradians est Ra. O C A B aradians R R ?AB=Ra O C

A B 1 radian

R R ?AB=R © http://www.bacdefrancais.net Page 2 sur 20

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Correspondance entre mesures en degré et en radian

Degré 0 30 45 60 90 180

x

Radian 0 6

p 4 p 3 p 2 p p a Pour convertir les 2 unités de mesure d"angle, on utilise la formule

180xa p=, soit 180xpa=

avec a mesure en radian et x mesure en degré.

2. Orientations d"un cercle

3. Cercle trigonométrique

Un cercle trigonométrique est de rayon 1 et est orienté positivement dans le sens direct.

Sens direct

Sens indirect

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II. Angles orientés

1. Angle orienté de deux vecteurs unitaires

Soient

u?et v?deux vecteurs unitaires. Le couple (),u v? ?de ces 2 vecteurs définit un angle orienté. On a

1u=?et 1v=?

A ce couple de vecteurs, nous pouvons associer un arc orienté ?AB.

2. Angle orienté de deux vecteurs non nuls

Soient

1u??et 1v??deux vecteurs non nuls. On note u? le vecteur unitaire colinéaire à 1u??et de

même sens que

1u?? et on note v? le vecteur unitaire colinéaire à 1v??et de même sens que 1v??.

L"angle

()1 1,u v?? ??est par définition égal à l"angle (),u v? ?.

3. Mesure principale en radian d"un angle orienté

Soient

u?et v?deux vecteurs unitaires. Soient M et P les points du cercle trigonométrique de centre

O tels que OM u=? et OP v=?.

On note

a la mesure en radian de l"angle ?MOP. La mesure principale de l"angle orienté des vecteurs (),u v? ? est le réel aappartenant à l"intervalle ]];p p- + tel que aa=et dont le signe est défini de la manière suivante : u? u? v? v? A B © http://www.bacdefrancais.net Page 4 sur 20

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Exemple :

ABC est un triangle équilatéral direct

( ; )3AB ACp=???? ???? ( ; )3BA BCp= -???? ???? ( ; )3CA CBp=???? ???? Si les vecteurs ne sont pas unitaires : La mesure principale d"un angle orienté de deux vecteurs non nuls

1u??et 1v?? est la mesure principale de l"angle orienté (),u v? ? avec u? et v? qui

sont les vecteurs unitaires colinéaires respectivement à

1u??et 1v?? et de même sens que ces

vecteurs. ()()1 1, ,u v u v=?? ?? ? ? u? v? M P aa=

Si le sens de M vers P

sur le petit arc ?MPest le sens direct, alors aa= u? v? M P aa= -

Si le sens de M vers P

sur le petit arc?MP est le sens indirect, alors aa= - u? v?

M P a p=

Si l"angle ?MOP est plat,

alors a p= u? 1u?? 1v?? v?

A B C

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4. Mesures principales d"angles sur le cercle trigonométrique

Remarque importante :

Si q est une mesure (en radians) d"un angle de vecteurs (),u v? ?, toutes les autres mesures de cet angle sont de la forme : .2kq p+ avec kÎ?

Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l"intervalle ]];p p-, c"est la mesure principale.

0 p 4 p 6 p 3 p 2 3 p 3 4 p 5 6 p 2 3 p- 2 p- 4 p- 3 p- 6 p- 5 6 p- 3 4 p-

En rouge : mesure principale

En vert : la plus petite mesure positive

7 6 p 5 4 p 4 3 p 3 2 p 5 3 p 7 4 p 11 6 p 2 p © http://www.bacdefrancais.net Page 6 sur 20

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u? v? u? v? Explication : 2p représente une rotation complète sur le cercle, si on rajoute 2p à une mesure d"angle, on retrouve donc la même mesure.

Exemples :

Donner toutes les mesures des angles dont la mesure principale est a, puis donner la plus petite mesure positive : 5 6 pa= -

Toutes les mesures de cet angle sont la forme :

5.26x kpp= - + avec kÎ?

Si

1k=, 15 5 12 726 6 6xp p p pp- += - + = =

Si

2k=, 25 5 24 192.26 6 6xp p p pp- += - + = =

La plus petite mesure positive de l"angle est

7 6 p. 3 4 pa= -

Toutes les mesures de cet angle sont la forme :

3.24x kpp= - + avec kÎ?

Si

1k=, 13 3 8 524 4 4xp p p pp- += - + = =

Si

2k=, 23 3 16 132.24 4 4xp p p pp- += - + = =

La plus petite mesure positive de l"angle est

5 4 p.

5. Propriétés des angles orientés

Colinéarité et orthogonalité : o Si u? et v? sont colinéaires et de même sens : (), 0 .2u v kp= +? ? avec kÎ? o Si u? et v? sont colinéaires et de sens contraires (), .2u v kp p= +? ? avec kÎ? © http://www.bacdefrancais.net Page 7 sur 20

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u? v? u? v? o Si u? et v? sont orthogonaux (), .22u v kpp= +? ? avec kÎ? ou (), .22u v kpp= - +? ? avec kÎ? Egalité entre deux angles :

Deux angles de vecteurs (),u vq=? ?et (),u vq¢ ¢ ¢=?? ??sont égaux si : .2kq q p¢= + avec kÎ?

Exemple : ()2,3u vp= -? ? et ()10,3u vp¢ ¢=?? ?? . Ces deux angles sont-ils égaux ?

10 2 2 1243 3 3

p p p pp- += - + =

Les deux angles sont égaux.

Relation de Chasles : La relation de Chasles pour les angles de vecteurs se définit ainsi : ()()(), , ,u v v w u w+ =? ? ? ?? ? ??

Exemple :

Soient 3 vecteurs u?, v? et w?? non nuls et tels que ()7,6u vp=? ? et ()4,3v wp=? ??

Démontrer que les vecteurs

u? et w?? sont orthogonaux.

Solution :

D"après la relation de Chasles, on sait que : ()()(), , ,u w u v v w= +? ?? ? ? ? ?? Donc ()7 4 7 8 15 5,6 3 6 6 2u wp p p p p p+= + = = =? ?? (), 22u wpp= +? ?? donc u? et w?? sont orthogonaux. © http://www.bacdefrancais.net Page 8 sur 20

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Egalités remarquables : o Angles égaux : ()(), ,u v u v= - -? ? ? ? o Angles opposés : ()(), ,u v v u= -? ? ? ? o Angles supplémentaires : ()(), ,u v u vp- = +? ? ? ? et ()(), ,u v u vp- = +? ? ? ?

III. Cosinus et sinus d"un angle orienté

1. Définition ? important

Remarque préliminaire : Nous travaillerons dans une base orthonormée directe (),i j? ?, c"est-à-

dire que (),2i jp=? ? (dans une base indirecte, on a (),2i jp= -? ?)

Soit un angle de vecteurs et

M le point du cercle trigonométrique tel que ();OA OMq=???? ?????

Par définition, on a :

cos abscisse de Mq= sin ordonnée de Mq= u-? u? v? v-? u? v? p p (),u v? ? u? u-? v-? u? v? v? © http://www.bacdefrancais.net Page 9 sur 20

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Remarquons également que

cos sinOM i jq q= +????? ? ? Remarquons qu"on retrouve les définitions du sinus et du cosinus dans le triangle rectangle : côté adjacentcos côté adjacenthypothénuseq= = car 1OM=. côté opposésin côté opposéhypothénuseq= = car 1OM=.

Remarque :

Si q est une mesure (en radians) d"un angle de vecteurs (),u v? ?, on a : .2kq q p= + avec kÎ?

Donc :

cos cos( .2 )x x kp= + avec kÎ? sin sin( .2 )x x kp= + avec kÎ?

2. Formules essentielles ? important

2 2cos sin 1x x+ =

1 cos 1

1 sin 1

x x M O A q cosq sinq

1 1 i?

j? © http://www.bacdefrancais.net Page 10 sur 20

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3. Signes et valeurs particulières de cos x et sin x

x 0 6 p 4 p 3 p 2 p p cos x 1 3 2 2 2 1

2 0 -1

sin x 0 1 2 2 2 3

2 1 0

Tableau de signe :

x -p 2 p- 0 2 p p cos x -1 - 0 + 1 + 0 - -1 sin x 0 - -1 - 0 + 1 + 0 0 p 4 p 6 p 3 p 2 3 p 3 4 p 5 6 p 2 p

En rouge : valeurs de x

-1 1 p p- sin x cos x 0 2 p- 2 p © http://www.bacdefrancais.net Page 11 sur 20

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IV. Calculs trigonométriques

1. Angles associés

cos( ) cosx x- = cos( ) cosx xp- = - cos( ) cosx xp+ = - cos sin2x xp( )- =( )( ) sin( ) sinx x- = - sin( ) sinx xp- = sin( ) sinx xp+ = -quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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