La loi normale
Le mod`ele de la loi normale. Calculs pratiques. La courbe ”en cloche”. En sciences humaines on observe souvent des distributions.
LA LOI NORMALE
La loi normale s 'applique en général à une variable aléatoire continue représentée par l'ensemble des valeurs qu'elle prend n'est pas.
La loi normale
???/???/???? La loi normale joue un rôle central en statistique. On parle également de la distribution gaussienne en l'honneur de Carl Friedrich Gauss
Table de la loi normale
d'une valeur donnée sous la densité de la loi normale de moyenne 0 et de variance 1 aussi appelée la loi normale standard ou la loi normale centrée et
Définition de la loi normale Propriétés importantes de la loi normale
La loi normale est l'une des lois de probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénom`enes naturels issus de plusieurs événements aléatoires.
TABLE DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE
TABLE DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE. Lecture de la table: Pour z=1.24 (intersection de la ligne 1.2 et de la colonne 0.04).
Loi normale
Loi normale. Casio. Graph 35+ ? On suppose que la masse (en kg) d'un bébé à la naissance suit la loi normale de paramètre m = 3
Chapitre 4 : La loi normale
Les principes de calcul des probabilités pour la loi normale sont: si x ? 0 alors la valeur F(x) est lue dans la table du formulaire.
Loi Normale centrée réduite
Loi Normale centrée réduite. Probabilité de trouver une valeur Loi de Student ... Loi du. 2 ?. Valeur de. 2 ? ayant la probabilité P d'être dépassée.
Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite ?(x) = ? x. ?? e?t2/2 dt Table de la loi de Student.
RICM 4?robabilit´es et SimulationFiche 4 : Loi normale D ´efinition de la loi normale
Laloinormaleestl"unedesloisdeprobabilit
continue qui d´epend de deux param`etres : son esp´eranceet son´ecart type. La densit´e de probabilit´e de la loi normale
est donn´ee par :
f(x) =1 p2e12 (x )2:Lorsqu"une variable al
´eatoireXsuit la loi normale, elle est dite gaussienne ou normale et il est habituel d"utiliser la
notation avec la variance2:X N(;2). L"objectif de ce TD est de se familiariser avec des propri´et´es importantes
de la loi normale et de voir comment les utiliser pour g ´en´erer une variable al´eatoire suivant cette loi.Question 1.1 :De la mˆeme fac¸on queRvous permet de g´en´erer des nombres al´eatoires suivant la loi uniforme`a l"aide de
la fonctionrunif, il est possible de g´en´erer des nombres suivant la loi normale`a l"aide de la fonctionrnorm.Rfournit
egalement les fonctions de densit´e (dnorm), de repartition (pnorm), de quantile (qnorm).Af ficherla loi de r
´eparition (i.e., la fonction de densit´e´egalement connue sur le nom deprobability density func-
tion).Af ficherla fonction de r
´epartition (´egalement connue sous le nomcumulative distribution function).Af ficherl"in versede la fonction de r
´epartition (´egalement connue sous le nomquantile function).Question 1.2 :Consid´erons une variableX N(0;1). Calculez avecRles probabilit´es suivantes :P(X2[1;1]),
P(X2[2;2]),P(X2[3;3]).
Propri
´et´es importantes de la loi normale
Lin´earit´eSiX N(0;1)alorsm+X N(m;2)
ConvolutionSiX N(m;2),Y N(m0;02)etXetYsont ind´ependantes alorsX+Y N(m+m0;2+02).La lin
´earit´e s"obtient assez simplement en effectuant un changement de variable. La convolution est bien moins´evidente.
En effet, s"il est
´evident queE(X+Y) =E(X) +E(Y) =m+m0et que Var(X+Y) =Var(X) +Var(Y) =+02(carXetYsont ind´ependantes), le fait queX+Ysuive une loi normale est loin d"ˆetre´evident... La somme de deux lois
uniformes n"est pas uniforme par exemple.Question 1.3 :Illustrez la lin´earit´e et la convolution en g´en´erant des´echantillons, en trac¸ant leurs histogrammes et en
superposant les lois correspondant. G´en´eration
Bien s
ˆur, enR, la fonctionrnormvous permet de construire des´echantillons suivant la loi normale mais comment faire
si on ne dispose que d"un g´en´erateur de nombres uniformes?
Commenc¸ons par la m
´ethode "historique". Consid´erons des variablesUisuivant chacune une loi uniforme sur[0;1]. On
s"int ´eresse`a la variableXd´efinie parX=U1+U2+:::+U126.Question 1.4 :G´en´erez des´echantillons deXet trac¸ez l"histogramme correspondant. Comparez-le`a la densit´e de la loi
N(0;1).
On pourrait bien s
ˆur utiliser l"inverse de la fonction de r´epartition mais elle n"a pas une tˆete sympathique. Il y a moyen de
la discr´etiser mais le fait que la loi soit non born´ee complique forc´ement un peu les choses au bord. On va donc regarder
une autre m´ethode, la m´ethode de Box-M¨uller, qui utilise des propri´et´es fortes de la loi normale.
Question 1.5 :Tracez l"histogramme 2D correspondant`a des´echantillons deU(1;1)U(1;1).Question 1.7 :Consid´eronsX N(0;1)etY N(0;1). Tracez l"histogramme d"´echantillons deX2+Y2.`A quelle
loi cet histogramme vous-fait-il penser?Question 1.8 :D´eduisez des observations pr´ec´edentes une m´ethode pour g´en´erer deux variables ind´ependantes(X;Y)
de loi normales`a partir de deux variables ind´ependantesU1;U2de loi uniforme sur[0;1]. Testez votre algorithme.2013-2014 1/ 1
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