[PDF] Exercice 1 Un QCM comprend dix questions auxquelles on répond

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Exercice 1

Un QCM comprend dix questions auxquelles on répond par Vrai ou Faux. Un élève répond au hasard à toutes les questions. A-t-il autant de chances de répondre exactement à trois questions que de répondre exactement à sept? Reconnaître une loi binômialeB(10;0,5)car il y an= 10épreuves suc- cessives indépendantes ("au hasard") de Bernouilli (Echec ou Succès) avecp=

P(Succès) =12

P(X= 3) =?10

3? p

3(1-p)7= 120×?12

3

×?12

7

P(X= 7) =?10

7? p

7(1-p)3= 120×?12

7

×?12

3

Elles sont égales.Exercice 2

Alain et Bruno se donnent rendez-vous au café entre 12h et 13h. Alain arrive à

12h20.

Sous l"hypothèse que la durée entre midi et l"heure d"arrivée de Bruno est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0;60] (en min), calculer les probabilités :1.Bruno arrive avant Alain.

La densité estf(x) =160

pourx?[0;60]. Il faut que la proba. que Bruno arrive entre midi et 13h soit égale à 1. Or, on a bien? 60
0160
dx= 1 20 0160
dx=2060 13

On pouvait se douter du résultat puisqu"il y a

13 d"heure entre 12h et 12h20.2.Alain attend Bruno plus de vingt minutes. 60
40160
dx=2060 =13

3.Alain attend Bruno moins de cinq minutes.

25
20160
dx=560 =112

Exercice 3

La durée de vie T en heures d"un transistor suit une loi sans vieillissement telle

1.CalculerP(T≥1000)(T≥2000)

1000
0

λe-λxdx= 0,095. D"où :

?-e-λx?1000

0= 0,095? -e-1000λ+e0= 0,095

e -1000λ= 0,905 A ce stade on eut calculerλgrâce à :-1000λ= ln0,905 Alorsλ≈0,0001, mais on peut s"en dispenser : P (T≥1000)(T≥2000) =? 2000
1000

λe-λxdx=?-e-λx?2000

1000=-e-2000λ+

e

-1000λ= (-0,905)2+ 0,905 = 0,0859752.On appelle demi-vie du composant, la duréeτtelle queP(T < τ) = 0,5.

Déterminer cette demi-vie.

0=-e-λτ+ 1 = 0,5?e-λτ= 0,5

Maise-λτ= (e-1000λ)τ1 000

= (0,905)τ1 000 =eτ1 000 ln0,905 ln0,905= 0,5?τ1000 ln0,905 = ln0,5

Ce qui donneτ≈6944jours.2G.Gremillot

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