[PDF] loi binomiale Un élève répond

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loi binomiale

Table des matières

1 loi binomiale2

1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .2

1.2 a retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .4

1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .6

1.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .8

1.5 anabac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .16

1.6 travaux pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .24

1.6.1 algorithme et loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .24

1

1 loi binomiale1.1 activités

activité 1 :

un jeu consiste à jeter un dé bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 8

ceci, trois fois de suite. On considères que les lancers sont indépendants. Pour chaque lancer, on s"intéresse au fait d"obtenir le score maximal de 8. soitXle nombre de fois que l"on a obtenu les score 8 parmi les trois lancers On cherche la loi de probabilité de la variable aléatoireX (a) déterminer l"ensemble des valeurs possibles pourX (b) déterminer les probabilités associées respectivementaux valeurs possibles deX et consigner les résultats dans un tableau. (on s"aidera de arbre ci dessous) 8 1 8? 8 1 8?

8 :X=... ...

1 8

8 :X=... ...7

8 8 7 8 ?8 :X=... ...1 8

8 :X=... ...7

8 8 7 8 ?81 8?

8 :X=... ...

1 8

8 :X=... ...7

8 87
8?

8 :X=... ...

1 8

8 :X=... ...7

8 valeurs deX:xi............Total probabilitép(X=xi)............ (c) quelle est la valeur deXla plus probable? (d) que vaut la valeur moyenne deX (e) s"il y anlancers indépendants de ce dé, quelle est la probabilité de n"obtenir aucun 8? en déduire la probabilité d"obtenir au moins un 8 (f) combien de lancers faut-il faire au minimum pour que la probabilité d"obtenir au moins un 8 dépasse 99% activité 2 :

Chaque jour, chaque personne d"une entreprise a une probabilité d"être absente égale à 10 %

On choisit au hasard le nom d"une personne et ceci quatre fois de suite On considères que les tirages sont indépendants. Pour chaque tirage, on s"intéresse au fait que la personne soit absente ou non. soitXle nombre de fois que l"on a obtenu une personne absente parmiles quatre tirages (a) déterminer l"ensemble des valeurs possibles pourX (b) déterminer les probabilités associées respectivementaux valeurs possibles deX et consigner les résultats dans un tableau de loi de probabilité. (s"aide de arbre ci dessous) avecApour "absent". A 0,1? A 0,1? A 0,1?

A:X=... ...

0,1

A:X=... ...0,9

A 0,9 ?A:X=... ...0,1

A:X=... ...0,9

A 0,9 ?A 0,1?

A:X=... ...

0,1

A:X=... ...0,9

A 0,9 ?A:X=... ...0,1

A:X=... ...0,9

A 0,9 A 0,1? A 0,1?

A:X=... ...

0,1

A:X=... ...0,9

A 0,9 ?A:X=... ...0,1

A:X=... ...0,9

A0,9?A

0,1?

A:X=... ...

0,1

A:X=... ...0,9

A 0,9 ?A:X=... ...0,1

A:X=... ...0,9

xi...............Total p(X=xi)............... (c) quelle est la valeur deXla plus probable et que vaut la valeur moyenne deX (d) s"il y antirages indépendants, quelle est la probabilité de n"obtenir aucun absent? en déduire la probabilité d"obtenir au moins un absent (e) combien de tirages faut-il faire au minimum pour que la probabilité d"obtenir au moins un absent dépasse 95%

1.2 a retenir

définition 1

Soit une situation où :?

on répètenfois une même expérience aléatoire l"expérience aléatoire n"a que deux issues possiblessuccès : de probabilitép

échec : de probabilité1?p

lesnexpériences aléatoires sont indépendantes SoitXle nombre de succès parmi lesnexpériences on dit alors que la variable aléatoire????Xsuit une loi binomiale de paramètresnetp et on note :????XB(n;p)avecn1etp[0;1] propriété 1(loi binomiale) SiXune variable aléatoire oùXsuit une loi binomiale de paramètresnetp

Alors :(1)

???l"ensemble des valeurs possibles deXest :0,1,2, ..., n (2) ???p(X=k) =Cknpk(1?p)n-koù?

Ckn=n(n?1)(n?2)...(n?k+ 1)k(k?1)(k?2)...10kn

Remarques :

(a) les différentes valeurs deCknsont appelés les coefficients binomiaux (b) on note aussiCkn=n kavec par exemple :C23=32=321

21=62= 3

(c) en particulier on a : ???C0n=n

0= 1et????C1n=n

1=n(pour tout entier natureln)

(d) pour des valeurs den4on trouve la loi de probabilité deXen utilisant un arbre sans avoir à connaître la formulep(X=k) =Cknpk(1?p)n-kci dessus S p? S p?

S:X= 3p3

p

S:X= 2????p2(1?p)1?p

S 1?p ?S:X= 2? ???p2(1?p)p

S:X= 1p(1?p)21?p

S 1?p S p?

S:X= 2?

???p2(1?p)p

S:X= 1p(1?p)21?p

S 1?p?

S:X= 1p(1?p)2

p

S:X= 0 (1?p)31?p

valeurs deX:xi0123Total probabilitép(X=xi):(1?p)33p(1?p)2 ???3p2(1?p)p31 propriété 2(espérance et écart type) SiXsuit une loi binomiale de paramètresnN?etp[0;1]avecq= 1?p alors la valeur moyenne (espérance) deXest????E(X) =npet l"écart type est????σ=npq exemple : soitXle nombre de fois que l"on a obtenu une Reine pour4tirages indépendants avec remise dans un jeu de32cartes.

Les 3 conditions ci dessus sont vérifiées :

on répète4fois une même expérience aléatoire les répétitions sont indépendantes deux issues contraires pour chaque expérience :succès : de probabilité 4 32

échec : de proba :q= 1?4

32=2832

donc, la variable aléatoireXqui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres(n= 4,p=4

32)avec :les valeurs possibles deXsont0,1,2,3,4

pourkallant de0à4? p(X=k) =Ck4(432)k(2832)4-k et par exemple : p(X= 3) =C34(4

32)3(1?432)4-3

p(X= 3) = 4(4

32)32832????0,0068

la valeur moyenne deXestE(X) =np= 44

32=????0,5

pour une série de4lancers on obtient en moyenne "0,5fois la Reine" l"écart type est :σ= npq=44322832=????0,4375

1.3 exercices

exercice 1 :

On joue à pile ou face avec une pièce de monnaie non équilibrée 50 fois de suite et de manières

indépendantes. On considère que la probabilité de faire "pile" avec cette pièce estp(pile) = 80% SoitXle nombre de lancers parmi les50lancers où l"on a obtenu le résultat "pile"

1. justifier queXsuit une loi binomiale et donner ses paramètres

2. calculer les probabilités

(a) d"obtenir exactement39piles (b) d"obtenir exactement41piles (c) d"obtenir entre39et41piles (d) d"obtenir au plus,2piles (e) d"obtenir au moins,2piles

3. calculerE(X)et interpréter la valeur obtenue

4. calculerσ(X)

5. déterminer le nombre minimal de lancers à faire pour que laprobabilité d"obtenir au

moins un pile dépasse99,99% exercice 2 :

Un élève répond au hasard et avec indépendance à chacune des dix questions d"un Q.C.M.

Pour chaque question, il y a trois propositions dont une seule est "bonne" SoitXle nombre de bonnes réponses obtenues par l"élève(chaque question est sur un point)

1. justifier queXsuit une loi binomiale et donner ses paramètres

2. calculer la probabilité que l"élève obtienne exactementune bonne réponse

3. compléter le tableau suivant à10-3près

k012345678910total p(X=k)0,0170,1950,2280,0570,0160,003001

4. quelle est la probabilité que l"élève ait la moyenne?

5. quelle est la probabilité que l"élève n"ait pas la moyenne?

6. calculerE(X)et interpréter cette valeur

7. combien faudrait-il de questions pour que la probabilitéque l"élève obtienne au moins

une bonne réponse dépasse99%? exercice 3 : On s"intéresse, dans cet exercice, à la masse des pots de confitures produits dans une usine.

On considère l"événement : " un pot a une masse inférieure à490grammes ». Une étude a

permis d"admettre que la probabilité de cet événement est0,2.

1. On prélève au hasard20pots dans la production totale.

On suppose que le nombre de pots est assez important pour que l"on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de20pots avec indépendance.

On considère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement de20pots, associe le nombre

de pots dont la masse est inférieure à490grammes. (a) expliquer pourquoiXsuit une loi binomiale. En préciser les paramètres. (b) calculer la probabilité de l"événement A " parmi les20pots, il y a exactement2pots de masse inférieure à490grammes ». (c) calculer la probabilité qu"il y ait entre1et3pots de masses inférieures à490grammes. (d) calculer la probabilité qu"il y ait au moins un pot de masse inférieure à490grammes.

2. Combien de pots faudrait-il prélever pour que la probabilité qu"il y ait au moins un pot

dont la masse est inférieure à490grammes soit d"au moins99%? exercice 4 : Un garagiste choisit douze pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de douze pneus à un tirage avec remise de douze pneus. On sait que la probabilité pour qu"un pneu prisau hasard ait un défaut est

0,065.

On considère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement de douze pneus, associe le nombre

de pneus de ce prélèvement qui présentent un défaut.

1. Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on déterminera les para-

mètres.

2. Calculer la probabilité qu"aucun pneu de ce prélèvement n"ait un défaut. Arrondir à10-4.

3. Calculer la probabilité qu"au plus deux des pneus choisis présentent un défaut. Arrondir

à10-4.

4. est-il vrai que s"il change les4pneus d"une voiture, alors, il y a plus d"une chance sur

deux pour qu"au moins un des pneus ait un défaut? (justifier) exercice 5 : un jeu consiste à lancer une fléchettenfois dans la cible ci dessous il faut payer 5epour jouer si une personne tire au hasard dans cette cible, on suppose que chacun des petits carrés a la même probabilité d"être atteint et que la fléchette atteint toujours un carré de la cible, on suppose de plus que les tirs sont indépendants chaque tir dans un carré hachuré rapporte 1e(0 sinon) SoitXle nombre de fois que l"on gagne un euro pour une série denlancers au hasard

1. quelles sont les valeurs possibles pourX?

2. quelle est la loi de probabilité deX?( justifier)

3. (a) quelle est la probabilité de recevoir5epour5lancers?

(b) combien reçoit t-on en moyenne pour5lancers? (c) quel est le gain moyen(recette - coût)pour5lancers?

4. (a) combien faut-il de lancers au hasard au minimum pour que le gain moyen soit positif?

(b) pour une série de17lancers au hasard, quelle est la probabilité que le gain soitpositif strict? ( à 1% près )

5. (a) combien faut-il faire de lancers au hasard pour être sur à99%de recevoir au moins

1e? (b) quel est alors le gain moyen? exercice 6 : une personne ayant trop bu fait indépendamment ou bien un pas(de 50cm )en avant ou bien un pas(de 50cm )en arrière avec une même probabilité

1. quelle est la probabilité qu"après10pas, il soit à sont point de départ?

2. quelle est la probabilité qu"après10pas, il ait avancé de 5 m?

3. ou se trouvent-il en moyenne après10pas?

exercice 7 :

combien de fois faut-il lancer une pièce équilibrée de manières indépendantes pour être pra-

tiquement certain( à 99,9%)de faire au moins une fois pile?

1. quelle loi suit la variable aléatoireXégal au nombre de piles parmi lesnlancers?

2. déterminernpour quep(X1)99,9%

3. conclure

1.4 corrigés exercices

corrigé exercice 1 :

1.on répète50fois une même expérience aléatoire

les répétitions sont indépendantes deux issues contraires pour chaque expérience :succès : de probabilité0,8

échec :q= 1?0,8 = 0,2

alors, la variable aléatoireXqui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de para- mètres(n= 50,p= 0,8) avec : les valeurs possibles deXsont0,1,2,...,50 de probabilités respectives :? ???p(X=k) =Ck500,8k0,250-k

2. probabilités

(a) d"obtenir exactement39piles : p(X= 39) =C39500,8390,211? ???0,127 (b) d"obtenir exactement41: p(X= 41) =C41500,8410,29? ???0,136 (c) d"obtenir entre39et41piles : p(39X41) =p(X= 39) +p(X= 40) +p(X= 41) p(39X41) =p(X= 39) +p(X= 40) +p(X= 41)0,127 + 0,140 + 0,136? ???0,403 (d) d"obtenir au plus,2piles p(X2) =p(X= 0) +p(X= 1) +p(X= 2)0 + 0 + 0? ???0 (e) d"obtenir au moins,2piles p(X2) =p(X= 2) +p(X= 3) +...+p(X= 50)(on passe au contraire) p(X2) = 1?p(X1) p(X2) = 1?(p(X= 0) +p(X= 1)) p(X2)1?(0 + 0) p(X2)? ???1

3.E(X) =np= 500,8?

???40

Sur les50lancers, en moyenne, on obtient40piles

4.σ(X) =

npq=500,80,2 =4 =????2

5. soitnle nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d"obtenir au moins

un pile dépasse99,99% on cherchenpour quep(X1)0,9999 or p(X1) = 1?p(X= 0) p(X1) = 1?C0n0,800,2n p(X1) = 1?110,2n p(X1) = 1?0,2n il suffit de résoudre l"inéquation suivante :

1?0,2n0,9999

1?0,99990,2n

0,00010,2n

ln(0,0001)ln(0,2n) ln(0,0001)nln(0,2) ln(0,0001) ln(0,2)n n5,72 soit ???au moins6lancers corrigé exercice 2 :

1.on répète10fois une même expérience aléatoire

les répétitions sont indépendantes deux issues contraires pour chaque expérience :succès : de probabilité 13

échec :q= 1?1

3=23 alors, la variable aléatoireXqui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de para- mètres(n= 10,p=1 3)

2. probabilité que l"élève obtienne exactement une bonne réponse

p(X= 1) =C110(1

3)1(23)9????0,09

3. compléter le tableau suivant à10-3près

k012345678910total

4. probabilité que l"élève ait la moyenne?

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