[PDF] Cours de mathématiques PSI Ce manuscrit regroupe des notes

View - Download Cours de mathématiques PSI

Previous PDF

Next PDF

BÉGYN ArnaudCours de mathématiques PSI

PSI, Lycée Leconte Delisle, Saint-Denis de la Réunion. http://mathcpge.org/2

IntroductionCe manuscrit regroupe des notes de cours de mathématiques pour une classe de PSI. J"ai

écritces noteslorsdemesenseignementsau lycée LeconteDelislependantlesannées2014- Ce document n"est absolument pas figé et va beaucoup évoluer.N"hésitez pas à m"envoyer toutes vos remarques et critiques ou à me signaler d"éventuelles erreurs à l"adresse "ar- naud.begyn@prepas.org". Vous pouvez utiliser ce cours à toutes fins utiles, à condition de signaler son auteur et son origine. Les mises à jour sont disponibles sur le site http ://mathcpge.org/. 3 PSI, Lycée Leconte Delisle, Saint-Denis de la Réunion. http://mathcpge.org/4 Table des matières1 Révisionsetcompléments d"analyse13

1 Étude d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 14

1.1 Théorèmes liés à la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 14

1.2 Théorèmes liés à la dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 16

2 Majorationsclassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 18

3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 19

4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20

4.1 Exponentielles,logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 20

4.2 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22

4.3 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 23

4.4 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 24

4.5 Fonctions arcsin et arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 25

4.5.1 Rappels de première année . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . .. . . 25

4.6 Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

5 Intégrale sur un segment d"une fonction continue . . . . . . . .. . . . . . . . . 29

5.1 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 29

5.2 Théorème fondamental du calcul et applications . . . . . . .. . . . . . . 30

5.3 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32

5.4 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 32

5.5 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33

5.6 Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 33

5.7 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.8 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

6 Étude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36

6.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 36

6.2 Suites récurrentes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 38

6.3 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38

6.4 Analyse asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39

6.5 Recherche d"équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 40

6.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.5.2 Équivalents d"exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41

6.5.3 Équivalents de logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

6.5.4 Équivalents de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.5.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

5

TABLE DES MATIÈRES

2 Compléments sur les sériesnumériques51

1 Rappels de première année . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 52

1.1 Rappels sur les sommes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52

1.2 Rappels sur les sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 54

1.3 Rappels généraux sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 56

1.4 Rappels sur les séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 57

1.5 Convergence absolue et semi-convergence . . . . . . . . . . . .. . . . . . 58

1.6 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59

2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

2.1 Complémentssur les séries géométriques . . . . . . . . . . . . .. . . . . 60

2.2 Comparaisonsérie-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 60

2.3 Règle de d"Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

2.4 Formule de Striling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62

2.5 Théorème des séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 62

2.6 Produit de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.7 Plan d"étude d"une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 64

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65

3 Compléments d"algèbre linéaire69

1 Notions de base d"algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 70

1.1 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 70

1.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 71

1.3 Combinaisonslinéaires d"un familles de vecteurs . . . . .. . . . . . . . . 75

1.4 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 77

1.5 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78

1.6 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.7 Complémentssur les applications linéaires . . . . . . . . . .. . . . . . . 82

1.8 Produit cartésien d"espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 85

1.9 Rappels sur les sommes de sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85

1.10 Complémentssur les sommes de sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 90

2 Formes linéaires et hyperplans en dimension finie . . . . . . . .. . . . . . . . . 92

3 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

3.1 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94

3.2 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

3.3 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 98

3.4 Représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 100

3.5 Changementsde base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.6 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.7 Polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113

4 Espacesvectorielsnormésde dimension finie etintroduction auxfonctions de plu-

sieurs variables123

1 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 124

1.1 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

1.2 Boules ouvertes, boules fermées et sphères . . . . . . . . . . .. . . . . . . 127

1.3 Parties convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

1.4 Parties bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

2 Suites d"éléments d"un espace vectoriel normé . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 132

2.1 Convergence d"une suite dans un evn . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 132

PSI, Lycée Leconte Delisle, Saint-Denis de la Réunion. http://mathcpge.org/6

TABLE DES MATIÈRES

2.2 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 133

2.3 Cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

3 Topologied"un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 135

3.1 Ouverts, fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

3.2 Intérieur, adhérence, frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 139

4 Introductionau calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 140

4.1 Fonctions numériquesdenvariables réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 142

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 144

5 Intégrales généralisées147

1 Définition des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 148

1.1 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle . . . .. . . . . . . . 148

1.2 Intégrale impropre sur [a,+∞[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1.3 Cas d"un intervalle [a,b[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

1.4 Cas d"un intervalle ]a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

1.5 Cas d"un intervalle ]a,b[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

1.6 Cas d"une fonction continue par morceaux sur [a,b] . . . . . . . . . . . . 156

2 Propriétés des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 157

2.1 Relation de Chasles pour les intégrales généralisées . .. . . . . . . . . . 157

2.2 Linéarité des intégralesgénéralisées . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 157

2.3 Positivité des intégralesconvergentes . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 158

2.4 Croissance des intégrales convergentes . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 159

2.5 Intégrales de références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 159

3 Calcul des intégralesgénéralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 160

3.1 À l"aide d"une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 160

3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 160

3.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 161

4 Fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 162

4.1 Convergence absolue et fonctions intégrables . . . . . . . .. . . . . . . . 162

4.2 Critères de comparaison des fonctions positives . . . . . .. . . . . . . . . 163

4.3 Espaces vectoriels associés aux fonctions intégrables. . . . . . . . . . . . 166

5 Méthodologiepour étudier la nature d"une intégralegénéralisée . . . . . . . . . 167

6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 168

6 Interversions de limite etd"intégrales173

1 Suites et fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 174

1.1 Théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 174

1.2 Technique d"interversionsérie-intégrale . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 175

1.3 Théorème d"intégrationterme à terme d"une série de fonctions . . . . . 177

2 Intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 177

2.1 Continuitéd"une fonction définie par une intégrale . . . .. . . . . . . . 178

2.2 Dérivation d"une fonction définie par une intégrale . . . .. . . . . . . . . 179

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 182

7 Réduction des endomorphismeset des matrices carrées 185

1 Éléménts propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 186

1.1 Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 186

1.2 Valeurs propres, vecteurs propres d"un endomorphisme .. . . . . . . . . 187

1.3 Propriétés des éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 188

PSI, Lycée Leconte Delisle, Saint-Denis de la Réunion. http://mathcpge.org/7

TABLE DES MATIÈRES

1.4 Valeurs propres, vecteurs propres d"une matrice . . . . . .. . . . . . . . 189

2 Diagonalisationet trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 191

2.1 Diagonalisationen dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 191

2.2 Applications de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 194

2.2.1 Calcul des puissances d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . .. 194

2.2.2 Suites récurrentes linéaires à coefficients constants . . . . . . . 194

2.3 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 195

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 197

8 Suitesde fonctions201

1 Convergence simple, uniforme d"une suite de fonctions . . .. . . . . . . . . . . 202

1.1 Convergence simple sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 202

1.2 Convergence uniforme sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 205

1.3 Norme de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 207

2 Propriétés de la fonction limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 209

3 Interversionlimite-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 212

3.1 Intégration sur un segment et convergence uniforme . . . .. . . . . . . . 212

4 Dérivation et convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 213

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 215

9 Polynômesd"endomorphismes etapplication à la réduction221

1 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 222

1.1 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 222

1.2 Lien avec les valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 224

1.3 Rappels sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 225

1.4 Lien avec la dimension des sous-espaces propres . . . . . . .. . . . . . . 226

1.5 Lien avec la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 227

1.6 Lien avec la trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 228

1.7 Conséquences de la trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 229

2 Application des polynômes annulateursà la réduction . . . .. . . . . . . . . . . 230

2.1 Premières propriétés des polynômes annulateurs . . . . . .. . . . . . . . 230

2.2 Polynômes annulateurset diagonalisabilité . . . . . . . . .. . . . . . . . 230

2.3 Restriction d"un endomorphismediagonalisableà un sous-espace stable 231

2.4 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 232

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233

10 Séries de fonctions239

1 Modes de convergence d"une série de fonctions . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 240

1.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240

1.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 241

1.3 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243

2 Propriétés des séries de fonctions uniformément convergente . . . . . . . . . . 244

2.1 Interversion?et limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

2.2 Continuitéd"une série de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 245

2.3 Intégration des signes somme et intégrale . . . . . . . . . . . .. . . . . . 246

2.4 Dérivation d"une série de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 246

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 248

PSI, Lycée Leconte Delisle, Saint-Denis de la Réunion. http://mathcpge.org/8

TABLE DES MATIÈRES

11 Continuité d"une fonction entre deux espacesvectorielsnormés 253

1 Étude locale d"une application,continuité . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 254

1.1 Limite d"une fonction entre deux espaces vectoriels normés . . . . . . . 254

1.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 255

1.3 Utilisationdes coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 256

1.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

2 Continuitéd"une fonction sur une partie . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 257

2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

2.2 Opérations sur les fonctions continues sur une partie . .. . . . . . . . . 258

2.3 Fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 258

2.4 Propriétés topologiquesdes fonctions continues . . . . .. . . . . . . . . 259

2.5 Exemples usuels de fonctions continues sur un evn . . . . . .. . . . . . . 259

2.5.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259

2.5.2 Applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 260

2.5.3 Applications polynômialesà plusieursvariables . . .. . . . . . 260

2.6 Théorème des bornes atteintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 260

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 262

12 Espaces probabilisés267

1 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268

1.1 Ensembles finis, ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . .. . . . . 268

1.2 Dénombrement associés aux ensembles finis . . . . . . . . . . . .. . . . 270

1.2.1 Dénombrement dans un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . 270

1.2.2 Dénombrement dep-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

1.2.3 Dénombrement des applications entre ensembles finis .. . . . 272

1.3 Coefficients binômiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 273

1.4 Techniques de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 275

2 Vocabulaire et axiomatiquedes probabilités . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 277

2.1 L"univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

2.2 Évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

2.3 Opérations sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 279

2.4 La tribu des évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 281

2.5 Systèmes complets d"évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 282

2.6 Probabilités sur un espace probabilisé quelconque . . . .. . . . . . . . . 283

2.7 Constructiond"une probabilitésur un univers donné . . .. . . . . . . . 284

2.7.1 Cas d"un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

2.7.2 Cas d"un univers infini dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . .286

2.8 Exemple d"univers infini non dénombrable :Ω={0,1}N. . . . . . . . . . . 287

2.9 Propriétés de continuitémonotone pour une probabilité. . . . . . . . . 287

2.10 Évènements négligeables et presque sûrs . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 288

3 Probabilitésconditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 289

3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

3.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 290

3.3 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 291

3.4 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

4 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 295

4.1 Indépendance de deux évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 295

4.2 Indépendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 296

4.2.1 Cas denévènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

PSI, Lycée Leconte Delisle, Saint-Denis de la Réunion. http://mathcpge.org/9

TABLE DES MATIÈRES

4.2.2 Cas d"une famille infinie d"évènements . . . . . . . . . . . . .. . 296

4.2.3 Propriétés de l"indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297

4.3 Complémentssurlaformuledesprobabilitéstotales:propriétédeMarkov298

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 300

13 Variables aléatoiresdiscrètes infinies309

1 Variablesaléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 310

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

1.2 Évènements associés à une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 311

1.3 Loi de probabilité d"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 312

1.4 Fonction de répartitiond"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 314

1.5 L"expérience a-t-elle une fin? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 315

1.6 Transfert de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318

2 Espérance mathématiqued"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 319

2.1 Espérance mathématiqued"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 319

2.2 Théorème de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 321

2.3 Variance d"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322

3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 324

3.1 Loi certaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

3.3 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326

3.4 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

3.5 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

3.6 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 333

14 Espaces préhilbertiens et euclidiens339

1 Produit scalaire et norme associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 340

1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 340

1.2 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341

2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 343

3 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 344

4 Projection orthogonalesur un sous-espace vectoriel de dimensionfinie . . . . 348

5 Formes linéaires sur un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 352

6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 353

15 Séries entières361

1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 362

1.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362

1.2 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 366

1.3 Opérations algébriques sur les séries entières . . . . . . .. . . . . . . . . 368

1.4 Séries entières d"une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 370

2 Fonctions développables en série entière . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 371

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

2.2 DSE usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

3 Applications des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 374

3.1 DSE d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .374

3.2 Régularitéd"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 374

3.3 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 374

3.4 Calcul de la somme d"une série entière . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 375

PSI, Lycée Leconte Delisle, Saint-Denis de la Réunion. http://mathcpge.org/10

TABLE DES MATIÈRES

3.5 Suites récurrentes, dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 375

3.6 Fonction génératrice d"une variable aléatoire discrète à valeurs entières 375

4 Exemples de séries entières d"une variable complexe . . . . .. . . . . . . . . . . 377

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 379

16 Endomorphismesdes espaces euclidiens385

1 Endomorphismesorthogonaux,matrices orthogonales . . . .. . . . . . . . . . 386

1.1 Endomorphismesortohogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 386

1.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 388

1.3 Groupe spécial orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 389

2 Groupe orthogonal en dimension 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 390

2.1 Orientationd"un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 390

2.2 Isométries vectorielles d"un plan euclidien . . . . . . . . .. . . . . . . . . 394

2.3 Isométries vectorielles d"un espace euclidien de dimension 3 . . . . . . . 396

3 Endomorphismessymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 398

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 401

17 Couples discrets407

1 Couples de variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 408

1.1 Couple discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .408

1.2 Évènements associés à un couple discret . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 408

1.3 Loi conjointe d"une couple discret . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 409

1.4 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .410

1.5 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 412

1.6 Indépendance de VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

1.7 Fonction génératrice d"une somme de VARD . . . . . . . . . . . . .. . . . 416

2 Covariance d"un couple discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 416

2.1 Théorème de transfert pour les couples discrets de VARD finies . . . . . 416

2.2 Covariance de deux VARD finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 417

2.3 Variance d"une somme de VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419

2.4 Coefficient de corrélationd"un couple de VARD . . . . . . . . .. . . . . . 420

3 Convergences et approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 421

3.1 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . .. . . . . . 421

3.2 Approximation binomiale-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 422

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 423

18 Équationsdifférentielles linéaires429

1 Équations du premier ordre scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 430

1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430

1.2 Problèmes de raccord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432

2 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 433

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433

2.2 Systèmes linéaires homogènes à coefficients constants .. . . . . . . . . 435

3 Équations différentielles linéaires du second ordre . . . .. . . . . . . . . . . . . 436

3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

3.2 Résolution de l"équation avec second membre . . . . . . . . . .. . . . . 438

3.2.1 Méthode générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

3.2.2 Recherche de solutions polynomiales . . . . . . . . . . . . . .. . 439

3.2.3 Recherche de solutions développablesen série entière . . . . . 440

3.3 Équations différentielles linéaires d"ordre 2 à coefficients constants . . . 440

PSI, Lycée Leconte Delisle, Saint-Denis de la Réunion. http://mathcpge.org/11

TABLE DES MATIÈRES

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 442

19 Calcul différentiel447

1 Fonctions de classeC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

1.2 Fonctions de classeC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

1.3 Règle de la chaîne et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 451

2 Applications géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 453

2.1 Courbes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453

2.2 Surfaces dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 457

3 Extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .460

3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

3.2 Points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 461

3.3 Recherche d"extremums sur une partie fermée bornée deRn. . . . . . . 462

4 Dérivées partielles d"ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 463

4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463

4.2 Exemples d"équations aux dérivées partielles . . . . . . . .. . . . . . . . 464

4.3 Dérivées successives d"intégrales à paramètres . . . . . .. . . . . . . . . 465

quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

[PDF] formation sur la gestion de projet ms project - FMCI

[PDF] Circuits combinatoires et Séquentiels Prof Abdelhakim El Imrani

[PDF] 1 L 'étude de marché NÉGOCIATION IMMOBILIÈRE ET

[PDF] le cours de 6eme - collège les Eyquems

[PDF] 4- Chapitre 1 - Opérations sur les nombres relatifs

[PDF] Technologies de l 'Information et de la Communication - Staps Lille 2

[PDF] Technologies de l Information et de la Communication - Staps Lille 2

[PDF] Table des matières : Chapitre I : Les NTIC ,outils et applications

[PDF] Répertoire des cours au secondaire - Commission scolaire de la

[PDF] ofppt ista taza - TCE/TSGE

[PDF] Chapitre 5 Ondes acoustiques - Indico

[PDF] Les ondes électromagnétiques - m dehez

[PDF] Ondes et particules - Le Repaire des Sciences

[PDF] Ondes mécaniques progressives - Le Repaire des Sciences

[PDF] Présentation générale de l 'ONU