Cours de Mathématiques - Sup MPSI PCSI PTSI TSI En partenariat
23 mar. 2011 1 Nombres complexes. 19. 1.1 Le corps C des nombrescomplexes.
Cours de mathématiques PSI
Ce manuscrit regroupe des notes de cours de mathématiques pour une classe de PSI. Les mises à jour sont disponibles sur le site http ://mathcpge.org/.
Cours de mathématiques PCSI
PCSI1 Lycée Saliège
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Cours de mathématiques Partie IV – Probabilités MPSI 4
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EXERCICES PROBLEMES PHYSIQUE MPSI PCSI PTSI
Nous avons élaboré cet ouvrage d'exercices de première année de classes préparatoires aux grandes écoles avec deux objectifs principaux l'assimilation du cours
Bulletin officiel spécial n° 1 du 11 février 2021
11 fév. 2021 sciences de l'ingénieur (MPSI) et Mathématiques et physique (MP) ... Classe préparatoire à l'École normale supérieure de Rennes (département ...
Lycée dExcellence de Ben Guerir Année scolaire 2017-2018
MPSI. MP*. MP. PCSI. PSI. 1-TSI. 2-TSI. Fruit d'un partenariat entre le ministère de l'éducation Cours. TD. TP. Encadrement Oral. Mathématiques.
INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
k2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 . 4. Page 5. Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI. Théorème (Deux propriétés de l'intégrale d'une fonction en escalier) Soient f
Chapitre 3 :Oxydoréduction
Réduction : réaction au cours de laquelle une espèce gagne un ou plusieurs électrons. • Oxydant : espèce capable de gagner des électrons.
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
Pour commencer, refaites donc un tour du côté du chapitre " Techniques élémentaires de calcul intégral ».
Dans tout ce chapitre,aetbsont deux réels,?est l"un des corps?ou?, etI,J... sont des intervalles. Quand on notera
[a,b], il sera sous-entendu quea?b.Ce chapitre développe une théorie de l"intégrationSUR UN SEGMENTseulement, vous étudierez en spé une théorie de
l"intégration sur un intervalle quelconque. La plupart desrésultats de ce chapitre vous sont déjà connus, simplement vous ne
les avez jamais démontrés et nous allons apprendre à les utiliser à d"autres fins que le calcul bête et méchant de primitives.
1 CONTINUITÉ UNIFORME
La notion decontinuité uniformeaurait pu être présentée au chapitre " Continuité », mais conformément au programme,
nous ne l"utiliserons que pour construire proprement l"intégrale.Définition(Continuité uniforme)Soitf:I-→?une fonction. On dit quefestuniformément continue sur Isi :
?? >0,?α >0,?x,y?I,|x-y|< α=???f(x)-f(y)??< ?. Dire quefest continue surI, c"est dire quefest continue en tout pointydeI, c"est-à-dire : ?y?I,?? >0,?αy,?>0,?x?I,|x-y|< αy,?=???f(x)-f(y)??< ?.Avec la continuité, on se fixe donc un pointy?Iet un niveau?, et on récupère unαy,?. Si on change deyou de?, on
change a priori la valeur deαy,?. Avec la continuitéUNIFORME, on obtient unα?en ayant seulement fixé un?. Cetα?est
doncVALABLE POUR TOUT POINTy?I. L"adjectif " uniforme » est précisément là pour signifier cette indépendance deα?
par rapport ày.1Pour une même valeur de?...
2... on arrive à trouverune valeur assez grande deα
pour la continuité en ce point...3... mais plus on s"approche de 0, plus la pente est raide et plus les valeurs deα qu"on trouve sont petites.4À cause de cette évanescence deαen 0,
aucune valeur deαne peut convenirPOUR TOUT POINT.
Il n"y a donc pas continuité uniforme.
Théorème(Lien entre la continuité, la continuité uniforme et la lipschitzianité) (i) Toute fonction uniformément continue sur un intervalley est continue. (ii) Toute fonction lipschitzienne sur un intervalle y est uniformément continue.Démonstration
(i) Évident! S"il existe unαUNIFORMEvalable pour tout point, alors bien sûr qu"il en existe un pour chacun!
(ii) Soitf:I-→?une fonctionK-lipschitzienne surIpour un certainK>0. Soit? >0. Posonsα=? K. Alors pour tousx,y?Ipour lesquels|x-y|< α:??f(x)-f(y)???K|x-y|Théorème(Théorème de Heine)Toute fonction continue sur unSEGMENTy est uniformément continue.
1Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
DémonstrationSoitf? ?[a,b],?. Supposons par l"absurde quefN"estPASuniformément continue sur [a,b]. Ainsi, pour un certain? >0 :?α >0,?x,y?[a,b],|x-y|< αet??f(x)-f(y)????.Pour toutn???, pourα=2-n, il existe donc deux réelsxn,yn?[a,b]pour lesquels|xn-yn|<2-net??f(xn)-f(yn)????.Bornée entreaetb, la suite(xn)n??possèdeune suiteextraite convergentex?(n)
n??d"aprèslethéorèmedeBolzano-Weierstrass, disonsdelimite??[a,b]. Or??x?(n)-y?(n)??<2-?(n)avec limn→+∞?(n) = +∞,
donc limn→+∞y?(n)=?par encadrement. Pour conclure, passons à la limite dans l"inégalité??fx?(n)-fy?(n)
en utilisant la continuité defen?: 0=??f(?)-f(?)???? >0 contradiction.2 FONCTIONS EN ESCALIER,FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX
Définition(Subdivision d"un segment)On appellesubdivision de[a,b]toute familleσ= (x0,...,xn)de[a,b]pour
laquellea=x0<...abus de langage à parler de leur réunion ou de l"inclusion de l"une dans l"autre. Par exemple, la subdivision(0,1,3,5)de
[0,5]est incluse dans la subdivision(0,1,2,3,4,5)et la réunion des subdivisions(0,1,3,5)et(0,1,2,5)vaut(0,1,2,3,5).
2.1 FONCTIONS EN ESCALIER
Définition(Fonction en escalier, subdivision adaptée) a=x0x1x2x3...xn=b On dit qu"une fonctionf:[a,b]-→?esten escaliersi pour une certaine subdi- vision(x0,...,xn)de[a,b], diteadaptée à f: fest constante sur]xi,xi+1[pour touti??0,n-1?.Cette définition ne garantit nullement l"unicité de la subdivision adaptée(x0,...,xn)et elle n"impose aucune valeur àf
enx0,...,xn.Théorème(Propriétés élémentaires des fonctions en escalier)Soientf:[a,b]-→?etg:[a,b]-→?deux
fonctions en escalier etλ,μ??.Ajout de points à une subdivision adaptée :Lorsqu"on ajoute un nombre fini de points à une subdivision de
[a,b]adaptée àf, le résultat est encore une subdivision de[a,b]adaptée àf.Opérations sur les fonctions en escalier :La réunion d"une subdivision de[a,b]adaptée àfet d"une subdi-
vision de[a,b]adaptée àgest une subdivision de[a,b]adaptée àfETàg. Les fonctions|f|, Re(f), Im(f),λf+μgetf gsont elles aussi en escalier sur[a,b].2.2 FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX
Définition(Fonction continue par morceaux, subdivision adaptée) a=x0x1x2...xn=b ??On dit qu"une fonctionf:[a,b]-→?estcontinue par morceauxsi pour une certaine subdivision(x0,...,xn)de[a,b], diteadaptée à f: f ]xi,xi+1[est continue sur]xi,xi+1[ etPROLONGEABLE PAR CONTINUITÉ ENxiETxi+1pour touti??0,n-1?. L"ensemble des fonctions continues par morceaux sur[a,b]à valeurs dans?est noté??[a,b],?. Toute fonction en escalier et toute fonction continue sont continues par morceaux.Le théorème " Propriétés élémentaires des fonctions en escalier » reste valable pour les fonctions continues par morceaux.
En particulier,??[a,b],?est à la fois un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de?[a,b]. 2Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
?Attention !Des fonctions aussi simples que la fonction inverse et la fonction logarithme ne sont pas continues par
morceaux sur[0,1]quand bien même on les prolonge artificiellement en 0 car le prolongement ne pourra jamais se faire
par continuité. L"exigence de prolongement par continuitéde la définition n"est pas anodine.
Définition-théorème(Caractère borné d"une fonction continue par morceaux)Toute fonction continue par mor-
ceaux sur[a,b]est bornée et possède donc une norme infinie?f?∞. ?Attention !Bornée oui...MAIS ELLE N"ATTEINT PAS FORCÉMENT SES BORNES!Faites un dessin.DémonstrationSoitf? ??[a,b],?. Notons(x0,...,xn)une subdivision de[a,b]adaptée àf. Pour tout
i??0,n-1?, le prolongement par continuité de la fonctionRÉELLE|f| ]xi,xi+1[à[xi,xi+1]est borné d"aprèsle théorème des bornes atteintes, disons par un certainMien valeur absolue. Le maximum des réels positifs
M1,...,Mnet??f(x0)??,...,??f(xn)??majore dès lors|f|sur[a,b]tout entier.
2.3 APPROXIMATION UNIFORME PAR DES FONCTIONS EN ESCALIER
On rappelle que pour toutes fonctionsf,g? ??[a,b],?: ?f?∞=0??f=0 et?f+g?∞??f?∞+?g?∞(inégalité triangulaire). Définition(Distance uniforme et convergence uniforme) ab g f ?f-g?∞ ab |f-g| ?f-g?∞Distance uniforme :Pour toutes fonctions f,g? ??[a,b],?, le réel?f-g?∞est appelé ladistance uniforme entre f et g. Convergence uniforme :Soient(fp)p??? ??[a,b],??une suite de fonctions etf? ??[a,b],?. On dit que la suite(fp)p??converge uniformément vers f sur[a,b]si limp→+∞?fp-f?∞=0.Il existe tout plein de distances en mathématiques, pas seulement celle à laquelle on est habitué dans le plan ou l"espace.
Nous venons de définir une notion de distance sur l"ensemble??[a,b],?des fonctions continues par morceaux.
Théorème(Approximation uniforme d"une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier)Toute
fonction continue par morceaux sur[a,b]à valeurs dans?est la limite uniforme d"une suite de fonctions en escalier
sur[a,b]à valeurs dans?.En d"autres termes, par analogie avec la définition que nous avons donné de la densité d"une partie de?, l"ensemble des
fonctions en escalier sur[a,b]à valeurs dans?estdense dans??[a,b],?au sens de la convergence uniforme.
DémonstrationSoitf? ??[a,b],?. Il nous suffit de montrer que pour tout? >0, il existe une fonction
?:[a,b]-→?en escalier pour laquelle?f-??∞??. Si on veut ensuite une suite(?p)p??, on peut par
exemple choisir?=2-ppour toutp??. Fixons donc? >0.Cas oùfest continue sur[a,b]:D"après le théorème de Heine,fest uniformément continue sur[a,b],
donc il existe un réelα >0 pour lequel pour tousx,y?[a,b]:|x-y|< α=???f(x)-f(y)??< ?.Fixons un entiern???pour lequelb-a
n< αet posonsxk=a+kb-anpour toutk??0,n?. Notons enfin?la fonction définie sur[a,b]par : ?i??0,n-1?,?x?[xi,xi+1[,?(x) =f(xi) et?(b) =f(b).Par construction,?est en escalier sur[a,b].
a=x0x1x2x3x4x5x6...xn-1xn=b fIl reste à vérifier que?f-??∞??. Or pour toutx?[a,b[,xappartient à[xi,xi+1[pour un certain
i??0,n-1?, donc|x-xi|Cas général :Soit(x0,...,xn)une subdivision de[a,b]adaptée àf. Grâce au point précédent,fétant
continue sur]xi,xi+1[et prolongeable par continuité enxietxi+1, il existe pour touti??0,n-1?une fonction en escalier?i:[xi,xi+1]-→?pour laquelle??f(x)-?i(x)????pour toutx?]xi,xi+1[. On entire une fonction en escalier?sur[a,b]en " accolant »?1,...,?nles unes à la suite des autres, sauf aux
points de subdivision où l"on pose?(xi) =f(xi)pour touti??0,n?. Ainsi?f-??∞??.En vue d"une utilisation ultérieure, remarquez bien que dans cette preuve, sifest réelle positive,?l"est aussi car les
valeurs de?ont été choisies comme des valeurs def. A fortiori, dans ce cas,fest la limite uniforme d"une suite de fonctions
en escalier réelles positives.3 CONSTRUCTION DE L"INTÉGRALE
Le principe " base×hauteur » va nous permettre de définir l"intégrale d"une fonction en escalier assez facilement, mais
c"est l"intégrale d"une fonction continue que nous visons.Comment définir " l"aire sous la courbe » pour une fonction continue
quelconque? Réponse : par approximation de celle-ci par desfonctions en escalier grâce au résultat de densité précédent.
Mais soyons plus précis. Pour construire l"intégrale d"unefonction continue, on a commencé par augmenter le stock des
fonctions étudiées en introduisant le concept de fonction continue par morceaux. L"espace vectoriel??[a,b],?contient
ainsi à la fois celui des fonctions en escalier sur[a,b]qui nous intéresse peu mais sur lequel nous savons définir facilement
l"intégrale, et?[a,b],?qui nous intéresse mais sur lequel nous ne savons pas définir l"intégrale. Par densité, la notion
d"intégrale d"une fonction en escalier va être étendue aux fonctions continues par morceaux. En particulier, les fonctions
continues auront ainsi chacune une intégrale. Ce qui est assez cocasse dans cette affaire de densité, c"est que l"intersection
de?[a,b],?et de l"ensemble des fonctions en escalier sur[a,b]est toute petite, c"est juste l"ensemble des fonctions
constantes. La construction de l"intégrale consiste donc àtransporter un concept d"un premier endroit vers un deuxième qui
n"a presque rien à voir avec le premier. Vive la densité!3.1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION EN ESCALIER
Définition-théorème(Intégrale d"une fonction en escalier)Soientf:[a,b]-→?en escalier et(x0,...,xn)une
subdivision de[a,b]adaptée àf. Siyidésigne pour touti??0,n-1?la valeur defsur]xi,xi+1[, le nombre complexe
n-1? i=0y i(xi+1-xi)ne dépend pas de la subdivision(x0,...,xn)choisie. On l"appelle l"intégrale de f sur[a,b], notée? [a,b]fou? [a,b]f(t)dt. xixi+1 yi ????Aire algébrique y i(xi+1-xi) dans le cas où fest réelleOn définit ici directement l"intégrale d"une fonction en escalierCOMPLEXE. Une telle intégrale ne peut bien sûr pas être
interprétée en termes d"" aire sous la courbe », fût-elle algébrique. DémonstrationPour toute subdivisionσ= (x0,...,xn)de[a,b]adaptée àf, posonsIσ=n-1? i=0y i(xi+1-xi).Soientσ= (x0,...,xn)etσ?deux subdivisions de[a,b]adaptées àf. On supposeσ?incluse dansσ.
Montrons queIσ=Iσ?. L"inclusion deσdansσ?nous permet écrire queσ?=x?(1),...,x?(n?)pour un
certainn???et une certaine fonction?:?0,n??-→?0,n?strictement croissante pour laquelle?(0) =0 et?(n?) =n c"est le principe des suites extraites. Pour touti??0,n-1?, notonsyila valeur defsur ]xi,xi+1[, et pour toutj??0,n?-1?,y?jsa valeur sur]x?(j),x?(j+1)[. Iσ?=n
?-1? j=0y jx?(j+1)-x?(j)=n ?-1? j=0?(j+1)-1? k=?(j)y j(xk+1-xk)y j=yk=n ?-1? j=0?(j+1)-1? k=?(j)y k(xk+1-xk) =n-1? i=0y i(xi+1-xi) =Iσ.Montrons enfin queIσne dépend pas du choix deσ. Soientσ,σ?deux subdivisions de[a,b]adaptées à
f. La réunion deσetσ?est encore une subdivision de[a,b]adaptée àfet contient à la foisσetσ?, donc
d"après le point précédent :Iσ=Iσ?σ?=Iσ?.ExemplePour toutn??:?
[0,n+1]?t?2dt=n k=0k2(k+1)-k=n
k=0k2=n(n+1)(2n+1)6.
4Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Théorème(Deux propriétés de l"intégrale d"une fonction en escalier)Soientf:[a,b]-→?etg:[a,b]-→?
en escalier etλ,μ??. (i)Linéarité :? [a,b](λf+μg) =λ? [a,b]f+μ? [a,b]g. (ii)Inégalité triangulaire et même mieux :????? [a,b]f???? [a,b]|f|?(b-a)?f?∞.DémonstrationDonnons-nous une subdivision(x0,...,xn)de[a,b]adaptée àfet àg, donc àλf+μget|f|.
(i) [a,b](λf+μg) =n-1? i=0Valeur deλf+μgsur]xi,xi+1[? (λf+μg) xi+xi+1 2 (xi+1-xi) =λn-1? i=0f xi+xi+1 2Valeur defsur]xi,xi+1[(xi+1-xi) +μn-1?
i=0g xi+xi+12Valeur degsur]xi,xi+1[(xi+1-xi) =λ?
[a,b]f+μ? [a,b]g. (ii) [a,b]f???? =????n-1? i=0f xi+xi+1 2 (xi+1-xi)???? ?n-1? i=0??? f xi+xi+12 ?(xi+1-xi) =? [a,b]|f| n-1? k=0?f?∞(xi+1-xi) = (b-a)?f?∞.3.2 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE PAR MORCEAUX
Nous avons vu qu"IL EXISTEtoujours une suite(?p)p??de fonctions en escalier sur[a,b]dontfest la limite uniforme.
On aurait bien envie du coup de définir l"intégrale? [a,b]fcomme la limite limp→+∞? [a,b]? pdans l"idée que l"aire algébrique sousptend vers l"aire algébrique sousflorsqueptend vers+∞. Cette " définition » pose hélas trois problèmes :
La limite existe-t-elle?
Ne dépend-elle pas du choix de la suite(?p)p??? Pour les fonctions en escalier, la limite obtenue coïncide-t-elle bien avec l"intégrale du paragraphe précédent?
Définition-théorème(Intégrale d"une fonction continue par morceaux)Soitf? ??[a,b],?.Pour toute suite de fonctions en escalier(?p)p??sur[a,b]qui converge uniformément versf, la suite"?
[a,b]? p" p??converge et sa limite ne dépend pas du choix de(?p)p??. Cette limite unique est appelée l"intégrale de f sur[a,b]et notée? [a,b]fou? [a,b]f(t)dt. En outre, sifest en escalier sur [a,b], cette définition coïncide avec la précédente.Démonstration
Soient(?p)p??et(ψp)p??deux suites de fonctions en escalier sur[a,b]dontfest la limite uniforme. Pour
toutp??, d"après les deux propriétés de l"intégrale d"une fonctionen escalier déjà démontrées :?????
[a,b]? p-? [a,b]ψ p???? [a,b](?p-ψp)???? ?(b-a)??p-ψp?∞?(b-a) ?f-?p?∞+?f-ψp?∞ Il en découle par encadrement queSI JAMAISles suites"? [a,b]? p" p??et"? [a,b]ψ p" p??convergent, elles ont la même limite, indépendante de(?p)p??et(ψp)p??.Il reste à montrer que la suite"?
[a,b]? p" p??converge. Or limp→+∞?f-?p?∞=0, donc?f-?p?∞?1 àpartir d"un certain rang, et ainsi :??p?∞=??p-f+f?∞??f?∞+?f-?p?∞??f?∞+1, donc :?????
[a,b]? p???? [a,b]|?p|?? [a,b] ?f?∞+1= (b-a)?f?∞+1. Bornée, la suite"? [a,b]? p" p??possède alors une suite extraite [a,b]?quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] Circuits combinatoires et Séquentiels Prof Abdelhakim El Imrani
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