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Rachid MESRAR Examen de mécanique du solide - session normale 2013

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FACULTE DES SCIENCESFACULTE DES SCIENCESFACULTE DES SCIENCESFACULTE DES SCIENCES 2012/20132012/20132012/20132012/2013

DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

DEPARTEMENT DE PHYSIQUE DEPARTEMENT DE PHYSIQUE DEPARTEMENT DE PHYSIQUE ---- AGADIRAGADIRAGADIRAGADIR

Problème : étude mécanique d"un culbutoProblème : étude mécanique d"un culbutoProblème : étude mécanique d"un culbutoProblème : étude mécanique d"un culbuto (*)

Un solide de révolution (S) appelé culbuto est constitué par une demi-sphère (S

1) et un cylindre (S2) de

même base. On désigne par a le rayon de cette base et par H son centre ; la hauteur du cylindre

circulaire (S

2) est notée h. (S1) et (S2) sont des solides pleins homogènes de masses respectives m1 et m2

et de même densité volumique r. On note ),(zHrl"axe de révolution du solide (S) orienté de (S1) vers (S

2), et ),,,(zyxHRrrrun repère orthonormé direct lié à (S).

FigureFigureFigureFigure ---- description générale du description générale du description générale du description générale du systèmesystèmesystèmesystème

On note M la masse totale du système et G son centre d"inertie tel que zLHGr=.

Soit ),,,(

0000zyxORrrrun repère orthonormé direct supposé être galiléen, avec ),(0zOrvertical ascendant.

On repère la position de (S) dans ce référentiel par les coordonnées (x, y, z) de G et par les angles

d"Euler habituels),,( jqy. On note),,,(01zvuORrrr et),,,(2zwuORrrr les deux repères intermédiaires. Le solide (S) est situé dans le demi-espace 0

0fz et est assujetti à se déplacer de telle façon que sa partie

hémisphérique soit en contact ponctuel en un point I avec le plan fixe ),,(00yxOrr (voir figure).

(*) Jouet pour enfant qui se redresse toujours même quand on le renverse car sa base est lestée.

I O ur j 0zr y (S) zr 0zr 0yr 0xr G q H

Examen de mécanique du solide indéformableExamen de mécanique du solide indéformableExamen de mécanique du solide indéformableExamen de mécanique du solide indéformable

Session normale Session normale Session normale Session normale ---- Janvier 2013 Janvier 2013 Janvier 2013 Janvier 2013

SM3 SM3 SM3 SM3 ---- SMI3 SMI3 SMI3 SMI3 ---- ERDD3 ERDD3 ERDD3 ERDD3 DuréeDuréeDuréeDurée : 1h 30": 1h 30": 1h 30": 1h 30"

Rachid MESRAR Examen de mécanique du solide - session normale 2013

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PARTIE A PARTIE A PARTIE A PARTIE A ---- ETUDE CINEM ETUDE CINEM ETUDE CINEM ETUDE CINEMATIQUEATIQUEATIQUEATIQUE (7,5 points)(7,5 points)(7,5 points)(7,5 points)

Q1- Représenter les figures de calcul et donner l"expression du vecteur instantané de rotation )/(0RSWr.

Q2- Quelles sont les composantes de )/(0RSWrdans la base de Résal ),,(zwurrr ? Q3- Déterminer la condition géométrique de contact entre (S) et le plan fixe),,(00yxOrr. ???? Dans la suite du problème, cette condition de maintien de contact sera prise en compte. Q4- Quel est alors le nombre de degrés de liberté du système ?

Q5- Calculer la vitesse )/(0RGVr.

Q6- Calculer l"accélération )/(0RGGr.

Q7- Déterminer la vitesse de glissement en I de (S) par rapport au plan),,(00yxOrrpar ses composantes

dans la première base intermédiaire),,(0zvurrr. Commenter le résultat obtenu.

PARTIE B PARTIE B PARTIE B PARTIE B ---- GEOMETRIE DES MASSES GEOMETRIE DES MASSES GEOMETRIE DES MASSES GEOMETRIE DES MASSES (7.5(7.5(7.5(7.5 points) points) points) points)

???? Dans cette partie, toutes les grandeurs vectorielles et matricielles seront exprimées dans la

base),,(zyxrrr. Q8- Déterminer la position du centre d"inertie 1Gde la demi-sphère (S1).

Q9- En déduire la positionHG du centre d"inertie G du système, en exprimant L en fonction de a et h.

Q10- Déterminer la matrice d"inertie en H de la demi-sphère (S1). Q11- Déterminer la matrice d"inertie en H du cylindre (S2). Q12- En déduire la matrice d"inertie en H du système (S).

Q13- Par application du théorème de Huygens généralisé, déterminer la matrice centrale d"inertie du

culbuto.

PARTIE C PARTIE C PARTIE C PARTIE C ---- ETUDE CINETIQUE ETUDE CINETIQUE ETUDE CINETIQUE ETUDE CINETIQUE ((((5555 points) points) points) points)

???? Afin de simplifier l"écriture dans cette partie, on adoptera pour la matrice centrale d"inertie de (S), la forme de Binet suivante: ),,()(000000zGGG S GCAA

Mr--)))

Q14- Déterminer le torseur cinétique en G de (S) dans son mouvement par rapport à (R0). Q15- Déterminer le torseur dynamique en G de (S) dans son mouvement par rapport à (R0). Q16- En utilisant le théorème de Koenig, calculer l"énergie cinétique du système.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

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