[PDF] 1. Statistiques inférentielles

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Chapitre 3

PRINCIPES

DES

STATISTIQUES

INFERENTIELLES

Bases de la statistique inférentielle PLPSTA02 1

Chapitre 3

1. Problématique

2. Objectifs des statistiques inférentielles

2.1 Estimation ponctuelle

2.2 Estimation par intervalles

2.3 Tests d'hypothèses statistiques

3. Echantillonnage

3.1 Echantillon représentatif

3.2 Tirage aléatoire

Tirages al

éatoires simples avec ou sans

remise

En théorie

En pratique

3.3 Echantillon statistique

2

Chapitre 3 (suite)

4. Estimation ponctuelle des paramètres

4.1 Variable qualitative dichotomique

4.2 Variable quantitative

Calcul des estimations

a. données individuelles b. données regroupées Estimation sans biais ou corrigée de la variance

Calcul de l'estimation sans biais de la variance

a. données individuelles b. données regroupées Calcul de l'estimation sans biais de l'écart-type

5. Justification des statistiques

inférentielles

5.1 Loi des grands nombres

5.2 Interprétation des résultats

Efficacité d'un traitement des troubles de l'anxiété de l'enfant

Intensité de la dépression

Durée de chômage

3

1. Problématique (1)

La population P ne peut pas être étudiée

dans son entier -soit la population est de très grande taille (onéreux, long de faire une étude sur tous les sujets) -soit la population ne peut pas être

énumérée dans son entier

•Exemples : population française en dehors d'un recensement population des malades du SIDA population des SDF -soit la population est virtuelle (ou hypothétique) : elle est de taille infinie •Exemples : études expérimentales population des malades qui seront traités avec un nouveau traitement dont l'efficacité est étudiée 4 •Exemple : durée de chômage

P = { chômeurs français } N = ?

X = "durée de chômage" (en mois)

variable quantitative continue •Exemple : intensité de la dépression de sujets dépressifs

P = { sujets dépressifs } N = ?

X = "score de dépression (CES-D)"

(en points) variable quantitative discrète •Exemple : efficacité d'un traitement des troubles de l'anxiété de l'enfant

P = { enfants atteints de troubles de

l'anxiété, sous traitement } N =

X = "amélioration clinique" : oui, non

variable qualitative dichotomique

1. Problématique (2)

5

1. Problématique (3)

on ne peut pas recenser toutes les valeurs de la variable étudiée dans la population on ne peut pas calculer la valeur numérique du paramètre d'intérêt p, ou , ou dans la population P la valeur numérique du paramètre d'intérêt p, ou , ou est inconnue dans la population P 6

2. Objectifs des statistiques

inférentielles

P population de taille N

N très grand ou infini, en général inconnu

A partir de l'analyse statistique des données

d'un sous-ensemble d'individus ou échantillon de la population, de taille n avec n << N tirer des conclusions concernant la population entière P

2.1 Estimation ponctuelle

trouver une "bonne" approximation (ayant de bonnes propriétés statistiques) par une valeur numérique unique de la valeur inconnue du paramètre d'intérêt p, ou , ou dans la population P on "approche" la valeur du paramètre qui reste inconnue 7

2.2 Estimation par intervalles

trouver un intervalle ("fourchette") de valeurs numériques qui contient vraisemblablement (a de grandes chances de contenir) la valeur inconnue du paramètre d'intérêt p, ou , ou dans P elle fait intervenir le risque d'erreur que la "fourchette" trouvée ne contienne pas la valeur du paramètre par rapport à l'estimation ponctuelle, elle intègre la notion de précision ou de marge d'erreur de l'estimation 8

2.3 Tests d'hypothèses

statistiques valider ou rejeter une hypothèse concernant la valeur inconnue du paramètre d'intérêt p, ou , ou dans P il est impossible de répondre avec certitude, mais on peut établir les risques d'erreurs associés aux décisions envisagées (à l'aide du calcul probabiliste) 9

3. Echantillonnage

3.1 Echantillon représentatif

Dans quelles conditions est-il permis

d'extrapoler à la population entière les résultats obtenus (observés) sur l'échantillon ? -si l'échantillon est convenablement choisi, il doit refléter assez fidèlement les caractéristiques (paramètres) de la population entière -sinon, il y a un risque de biais (de sélection) c-a-d d'erreurs systématiques l'échantillon doit être représentatif de la population étudiée : •de taille n suffisamment "grande" (n 30) •obtenu par tirage au sort des individus de la population 10 •Exemples :

échantillon : groupe de TD

d'étudiants en 2 d année de licence de psychologie à Nanterre

X = "sexe"

X = "âge"

X = "durée des études"

P = { français }

P = { français de 15 à 35 ans }

P = { étudiants de Nanterre }

P = { étudiants en psychologie de

Nanterre }

11

3.2 Tirage aléatoire

P population de taille N

Pour assurer de bonnes propriétés aux

résultats obtenus sur l'échantillon, deux conditions sont nécessaires : -les tirages doivent être équiprobables •la probabilité de tirer au sort chaque individu de

P doit être la même,

c'est à dire égale à 1/N -les tirages successifs doivent être indépendants 12

Tirages aléatoires simples

avec ou sans remise tirage aléatoire simple avec remise (remplacement) d'un individu dans P : après avoir été tiré au sort, chaque individu est remis dans la population avant d'effectuer un nouveau tirage un même individu peut-être représenté plusieurs fois dans l'échantillon assure l'indépendance entre les n tirages successifs tirage aléatoire simple sans remise d'un individu dans P : après avoir été tiré au sort, l'individu tiré n'est pas remis dans la population un même individu n'est représenté qu'une seule fois dans l'échantillon il n'y a pas indépendance des tirages successifs 13

En théorie

Les propriétés théoriques seront

données pour une population de taille infinie un échantillon obtenu par tirage aléatoire simple avec remise 14

En pratique

-dans une population de grande taille (de l'ordre de milliers) on fait souvent un tirage aléatoire sans remise en appliquant les propriétés obtenues pour les tirages avec remise •le tirage aléatoire sans remise ne modifie pas beaucoup la population initiale et les tirages sont donc quasiment indépendants -dans une population de taille plus faible (de l'ordre de centaines), il faut faire un tirage aléatoire avec remise pour assurer l'indépendance des tirages et appliquer les propriétés qui en découlent -le plus souvent, il n'y a pas de tirage au sort d'où des difficultés d'extrapolation des résultats obtenus sur l'échantillon à la population étudiée 15

3.3 Echantillon statistique

échantillon statistique de la variable X

issu de la population

P de taille n

n individus tirés au sort 1, 2, ... n

échantillon (observé) ou observations

(x 1 , x 2 , ... x n ) : n valeurs de X recueillies (observées) sur les n individus de l'échantillon

En pratique :

échantillon de X issu de P de taille n :

(x 1 , x 2 , ... x n ) sont des valeurs de la variable étudiée X recueillies indépendamment sur n individus d'une même population dans des conditions identiques s'il n'a pas été obtenu par tirage au sort, l'échantillon n'est a priori pas représentatif de la population P pour la variable X 16 •Exemple : durée de chômage

P = { chômeurs français } N = ?

X = "durée de chômage" (en mois)

variable quantitative continue

échantillon de X issu de P de taille

n = 30 observations (x 1 , x 2 , ... x 30
( 3, 8, ... 6 )

30 durées observées sur 30 chômeurs

•Exemple : efficacité d'un traitement des troubles de l'anxiété de l'enfant

P = { enfants atteints de troubles de

l'anxiété, sous traitement } N =

X = "amélioration clinique" : oui, non

variable qualitative dichotomique

échantillon de X issu de P de taille

n = 63 observations ( x 1 , x 2 , x 3 , ... x 63
(oui, oui, non, ... oui)

63 valeurs "oui" ou "non" observées

sur 63 enfants atteints de troubles de l'anxiété, sous traitement

3.3 Echantillon statistique (2)

17

4. Estimation ponctuelle des

paramètres

On approche la valeur du paramètre

étudié par une valeur numérique

unique on estime le paramètre d'intérêt

ATTENTION

la valeur de l'estimation n'est pas

égale à celle du paramètre estimé

18

4.1 Variable qualitative

dichotomique

X variable qualitative dichotomique définie

sur E = {oui, non} p = proportion de "oui", inconnue dans P

échantillon (x

1 , x 2 , ... x n ) de X issu de P de taille n l'estimation ponctuelle de la proportion p est donnée par la fréquence observée sur l'échantillon fréquence (proportion) observée de "oui" notée f l'estimation ponctuelle de la proportion de "non" 1p est donnée par la fréquence observée de "non" sur l'échantillon notée 1 f il y a très peu de chance pour que f = p en général f p nn nf

1oui"" de observé effectif

nn nf

2non"" de observé effectif1

19

4.2 Variable quantitative

X variable quantitative définie sur E

= moyenne de X, inconnue dans P 2 = variance de X, inconnue dans P = écart-type de X, inconnu dans P

échantillon (x

1 , x 2 , ... x n ) de X issu de P de taille n l'estimation ponctuelle de la moyenne de

X dans P est donnée par la moyenne

observée sur l'échantillon notée une estimation ponctuelle de la variance 2 de X dans P donnée par la variance observée sur l'échantillon notée s 2 une estimation ponctuelle de l'écart-type de X dans P donnée par l'écart-type observé sur l'échantillon noté s il y a très peu de chance pour que = ou s 2 2 (ou s = ) en général et s 2 2 (et s ) x x x 20

Calculs des estimations (1)

a. données individuelles (n petit) observation (valeur observée) x i pour chaque individu i de l'échantillon, pour i = 1,... n avec s 2 0 avec s 0 nx x n i i 1 212
12 2 xnx nxx s n i in i i 2 ss 21

Calculs des estimations (2)

b. données regroupées (n grand) observation (valeur observée) x i pour n i individus de l'échantillon effectifs observés (n i , i = 1,... k) avec s 2 0 avec s 0 2 ss 212
12 2 xnxn nxxn s k i iik i ii nxn x k i ii 1 22

Estimation sans biais ou

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