[PDF] Transformation adiabatique dun gaz parfait

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Transformation adiabatique d"un gaz parfaitadiabatique=Aucune chaleur ne peut p´en´etrer ou s"´echapper du syst`eme.

C"est ce qui se produit dans le cas d"un syst

`eme extrˆemement bien isol´e ou d"un processus se d ´eroulant avec une telle rapidit´e que la chaleur -dont la pro- pagation se fait lentement- n"a le temps ni d"entrer ni de sortir. La dilatation des gaz dans un moteur `a combustion interne constitue un tel exemple. CommeQ= 0, on aΔU=-Wet si le gaz se d´etend (W >0),Udoit di- minuer et par cons ´equent la temp´erature baisse. Alors le produitPV(=nRT) prend une valeur moindre au pointCqu"au pointB(la courbeABest un pro- cessus isotherme). Au cours d"une compression adiabatique, du travail s"effec- tue sur le gaz si bien que son ´energie interne augmente et que sa temp´erature s" ´el`eve. Dans un moteur diesel, la compression adiabatique rapide de l"air par un facteur≂20 r´esulte en une´el´evation de temp´erature si consid´erable que, lorsque l"essence y p

´en`etre, le m´elange s"enflamme spontan´ement.On trouve que :PVγ=constanteo`uγest une constante qui vautCpCV=5/23/2≂1,67

pour les gaz monoatomiques,

7/25/2≂1,4pour les gaz

diatomiques et≂1,3pour les gaz polyatomiques.Universit´e de Gen`eve 14-18 C. Leluc

Transformation adiabatique : d´emonstrationSupposons que la transformation se fasse de telle sorte que le volume change

tr `es peu de mani`ere`a ce que la pression`a l"int´erieur du gaz reste constante : ceci nous permet d" ´ecrire que le travail fait par le gaz pendant l"augmentation de volume est

´egal`aPdV. On a donc :

dU=dQ-dW=dQ-P dV maisdQ= 0pour une tranformation adiabatique. D"autre partdU=nCVdT ainsi n C

VdT+P dV= 0

ExprimonsdTen fonction dePetVpour un gaz parfait :PV=nRT

P dV+V dP=nR dT dT=1nR(P dV+V dP)

n C

V1nR(P dV+V dP) +P dV= 0

CVR+ 1)P dV+CVRV dP= 0

MaisCP=CV+R, ce que l"on peut´ecrire comme :(CVR+ 1) =CPRUniversit´e de Gen`eve 14-19 C. Leluc

Transformation adiabatique : d´emonstration (suite)Remplac¸ant et simplifiant parR, on obtient :

C

PP dV+CVV dP= 0

Divisons les 2 membres parCVV P, on obtient :

C

PCVdVV+dPP=γdVV+dPP= 0

avecCP/CV=γ. En int´egrant : ?dVV+?dPP= 0

γlnV+ lnP=cteln(PVγ) =cteP Vγ=ctePour un gaz parfait (PV=nRT), on peut remplacerPparnRT/V, ce qui

donneT V(γ-1)=cteUniversit´e de Gen`eve 14-20 C. Leluc

Transformation adiabatique : libre expansionIl y a des processus adiabatiques dans lesquels aucun travail n"est fait ni rec¸u

par le syst `eme. AinsiQ=W= 0et d"`apr`es la 1ere loi de la Thermo, on a donc

ΔU= 0expansion libre

Ce processus diff

`ere des autres processus vus jusqu"a pr´esent car il ne peut pas ˆetre fait lentement, d"une mani`ere control´ee. Ce qui a pour cons´equence que le gaz n"est jamais en ´equilibre thermique. On peut mettre les valeurs initiales et finales dans un diagrammeP-V, mais on ne peut pas dessiner l"expansion elle-m

ˆeme.

D"autre part, commeΔU= 0, la temp´erature de l"´etat final doitˆetre´egale`a la temp ´erature de l"´etat initial,Ti=Tf.Si on a affaire`a un gaz parfait (PV=nRT), comme il n"y a pas de variation de temp

´erature, le produitPVdoitˆetre constant,

soit : P iVi=PfVfUniversit´e de Gen`eve 14-21 C. Leluc

Tableau r´ecapitulatif des transformationsR´esultats sp´eciauxCheminQuantit´eType de(ΔU=Q-WetconstanteprocessusΔU=n CVΔTpour tous chemins)1PIsobareQ=n CPΔT;W=PΔV2TIsothermeQ=W=n R Tln(Vf/Vi); ΔU= 03PVγ,TV(γ-1)adiabatiqueQ= 0;W=-ΔU4VIsochoreQ= ΔU=n CVΔT;W= 0Universit´e de Gen`eve 14-22 C. Leluc

Exemple 1 : dilatation adiabatique et isothermeOn laisse un gaz parfait monoatomique se dilater lentement jusqu"`a ce que sa

pression soit `a exactement la moiti´e de sa valeur initiale. Par quel facteur son volume varie-t-il s"il s"agit d"un processus (a) adiabatique, (b) isotherme? SOLUTION : (a) Pour un processus adiabatique,P1Vγ1=P2Vγ2, soit : V

2V1= (P1P2)1/γ= (2)3/5= 1,52

puisqueγ=CP/CV= (5/2)(3/2) = 5/3. (b) Lorsque la temp

´erature reste constante (T1=T2),P1V1=P2V2

conform ´ement`a la loi des gaz parfaits. Il en r´esulte que : V

2V1=P1P2= 2Universit´e de Gen`eve 14-23 C. Leluc

Exemple 2 : dilatation adiabatiqueL"argon`a l"´etat gazeux (monoatomique) est comprim´e tr`es lentement et adia-

batiquement, dans un cylindre bien isol

´e, jusqu"`a la moiti´e de son volume

initial de 0,100 m

3. S"il´etait initialement`a la pression atmosph´erique et`a

27,0
◦C, quelles seront sa temp´erature et pression finales? SOLUTION : La transformation est adiabatique et impliqueP,VetT. Pour un gaz monoatomiqueγ= 1,67, ainsi P f=Pi( (((V iVf) = (0,101MPa)(2)1,67= 0,322MPa

On trouve la temp

´erature`a l"aide de l"´equation des gaz parfaits que l"on´ecrit pour l"

´etat initial et final :

T f=Ti( ((PfPi) ((VfVi) ))= (300K)(3,19)( ((12) ))= 479KUniversit´e de Gen`eve 14-24 C. Leluc Cycles thermiquesNous ne consid´erons ici que des transformations r´eversibles et nous voulons qu"apr `es leur ex´ecution, le syst`eme revienne`a son´etat initial,soitΔU= 0. Le diagramme dans le planP-Vrepr´esente alors un cycle.Le cas le plus simple consiste`a enfermer un gaz parfait dans un cylindre ferm

´e par un

piston, le mettre en contact avec un bain `a temp

´erature constante et le d´etendre suivant

un isotherme. Une quantit

´e de chaleurQAC

est rec¸ue par le syst `eme entreAetC, le tra- vail effectu

´e par le syst`eme estWAC>0et

commeΔT= 0, on a aussiΔU= 0.Le travail fait par le gaz est l"aire au-dessous de la courbe.Si nous revenons au pointAen suivant le mˆeme isotherme mais en sens in-

verse, le gaz rec¸oit du travail et fournit de la chaleur, tels queQAC=-QCA etWAC=-WCA. Le syst`eme revient`a son point de d´epart. Si on ajoute ces 2 travauxWAC+WCA= 0, le travail total`a la fin du cycle est nul.

Le travail total est repr

´esent´e par l"aire`a l"int´erieur de la courbe ferm´ee repr

´esentant le cycle dans le planP-V. Ici cette surface est nulle.Universit´e de Gen`eve 14-25 C. Leluc

Cycles thermiques (suite)ΔU=Q-WIci on a un cycle tel que le travail effectu´e par le gaz (l"aire du cycle) est positif.

En allant deA`aB, un travail est produit par

le gaz car son volume augmente (VB> VA).

Sa temp

´erature augmente (on passe d"une

isotherme `a une isotherme de temp´erature plus

´elev´ee), doncUaugmente, etQABest

positif : une quantit

´e de chaleurQABentre

dans le syst `eme.

En allant deB`aC, aucun travail n"est fait et

la temp

´erature diminue, doncUdiminue et de

la chaleurQBCest c´ed´ee par le syst`eme. En allant deC`aAle long de l"isotherme (ΔU= 0), le gaz est comprim´e (VC> VA) et un travail n´egatif est effectu´e qui doitˆetre accompagn´e par une quantit ´e de chaleur´egale n´egative, donc sortante. CommeΔU= 0sur le parcours ferm ´e, le travail total effectu´e par le syst`eme est´egal`a la chaleur totale rec¸ue.

Ce cycle fait penser au fonctionnement d"un moteur thermique.Universit´e de Gen`eve 14-26 C. Leluc

Moteurs thermiquesUn moteur thermique est un dispositif cyclique qui convertit l"´energie thermique en travail, qu"il c `ede`a l"ext´erieur. On utilise un fluide moteur qui permet de transf ´erer la chaleur et qui subit des processus de d´etente et de compression.Processus cyclique qui ram`ene le fluide moteur dans son

´etat initial

U

2-U1= ΔU= 0 =Q-W→Q=W

Le moteur travaille entre un r

´eservoir`a haute

temp

´erature,TH, et un r´eservoir`a basse

temp

´erature,TL.

Q

H>0QL<0W >0

La chaleur nette absorb

´ee par cycle :

Q=QH+QL=|QH| - |QL|.

Le travail fourni par la machine :

W=Q=|QH| - |QL|

L"exp ´erience montre qu"il est impossible de transformer toute la chaleur Q Hen travail;QLn"est jamais nul.Universit´e de Gen`eve 14-27 C. Leluc Cycle de CarnotLe cycle de Carnot est un cycle id´eal ne correspondant`a aucun moteur r

´ealisable, mais permettant de calculer des rendements.Le moteur de Carnot est un simple cylindre ferm´e par

un piston, contenant un gaz et qu"on am `ene alter- nativement en contact avec une source de chaleur `a haute temp

´erature(vapeur) puis avec un r´eservoir de

chaleur (eau de refroissement) dans lequel la chaleur est rejet ´ee. Ce cycle est une suite de 4´etapes :1.A→B:d´etente isotherme(ΔU= 0,W >

0doncQ >0) dans laquelle le gaz rec¸oit une

quantit ´e de chaleurQH`a haute temp´eratureTH2.B→C:d´etente adiabatique (Q= 0,W=-ΔU)3.C→D:compression isotherme(ΔU= 0,

W <0doncQ <0) dans laquelle le gaz rejette

une quantit ´e de chaleur (-QL)4.D→A:compression adiabatique (Q= 0,W=-ΔU)Universit´e de Gen`eve 14-28 C. Leluc

Rendement d"une machine thermiqueLa raison pour laquelle le moteur de Carnot est si important est qu"il repr´esente

un dispositif id ´eal qui a la meilleure efficacit´e possible.Son rendement est la limite sup ´erieure du rendement de tout moteur thermique r´eel. D"une mani`ere g ´en´erale, on d´efinit le rendement´energ´etiquerd"une transformation comme : r=Energie disponible sortanteEnergie entrante

Pour un moteur thermique, l"

´energie utile est le travail effectu´e et l"´energie fournie est la chaleur prise `a la source chaude. Ainsi pour un cycle : r=Travail sortantChaleur entrante

1er principe donne|Ws|=|QH(entrante)| - |QL(sortante)|

r=|Ws||QH|=|QH| - |QL||QH|= 1-|QL||QH| Le rendement augmente siQLdiminue, devenant 1 si aucun rejet de chaleur est effectu ´e. Les moteurs r´eels dissipent de l"´energie par frottement et perdent une quantit ´e appr´eciable d"´energie`a l"environnement par convection, conduc- tion et radiation. Ainsi pour le moteur d"une voiture,rdevrait valoir 55% mais son rendement effectif est seulement de 25%. Pour une centrale thermique, le rendement effectif est de 30% et th ´eorique de 40%.Universit´e de Gen`eve 14-29 C. Leluc

Cycle de Carnot : RendementEffectuons un cycle de transformation r´eversible sur 1 mole d"un gaz parfait.

Calculons le rendement. Sur les 2 adiabatiques, nous avons les relations sui- vantes : V

γ-1

BTH=Vγ-1

CTLet Vγ-1

DTL=Vγ-1

ATH

Effectuons leur rapport de mani

`ere`a´eliminer les temp´eratures :(VCVD)γ-1= (VBVA)γ-1→VCVD=VBVA

Calculons maintenant le rapport

|QL||QH|sur les 2 iso- thermes :

|QL||QH|=R TLln(VC/VD)R THln(VB/VA)=TLTHrc= 1-|QL||QH|= 1-TLTHR´esultat valable pour tout moteur id´eal r´eversible.Cela constitue le rende-

ment maximal. Pour avoir un moteur parfait, il faudrait queQL= 0ce qui est possible seulement siTL= 0K ouTH→ ∞, conditions impossibles`a r ´ealiser.Universit´e de Gen`eve 14-30 C. Leluc

Exemple : Centrale´electrique thermiqueLe rendement le plus´elev´e possible pour une machine`a vapeur op´erant entre

200
◦C et 27,0◦C est : r c= 1-330K473K= 1-0,634 = 36,5%

En pratique, les pertes r

´eduisent cette valeur du tiers environ.Une centrale´electrique thermique moderne utilise de la vapeur chauff

´ee`a environ 500◦C.

Cette vapeur

`a haute pression se d´etend dans une turbine, frappe et pousse ses lames pour la faire tourner. La turbine propulse un g ´en´erateur´electrique de haute tension. Une grande diff

´erence de pression est maintenue

a travers la turbine en condensant la vapeur.

La vapeur est expuls

´ee vers un condensa-

teur froid `a≂373K. Le rendement th´eorique vaut 53% bien que les pertes thermiques (en fum

´ee par exemple) le r´eduisent`a environ

40%.Universit´e de Gen`eve 14-31 C. Leluc

Combustion interneCarnot a discut´e les possibilit´es de faire tourner un moteur en enflammant un gaz dans un cylindre, mais c"est J.Lenoir qui conc¸ut en 1859 le premier moteur `a combustion interne. C"est N.Otto qui construisit le premier moteur`a combustion interne pour lequel il obtint un brevet.Universit´e de Gen`eve 14-32 C. Leluc

R´efrig´erateurs/ClimatiseursOn peut consid´erer le r´efrig´erateur comme un moteur thermique marchant`a

l"envers : il rec¸oit un travail m

´ecaniqueWet l"utilise pour pomper une petite

quantit ´e d"´energie thermiqueQLd"une source`a basse temp´erature et c´eder une quantit ´e de chaleur plus grandeQH=QL+W`a une source`a haute temp ´erature, ainsiQL>0QH<0W <0. Si on refroidit une pi`ece plutot que des aliments, on a un climatiseur.Le travail fourni par la moteur :W=Q=|QH|-|QL| Le coefficient de performanceηest le rapport de la quantit ´e de chaleur enlev´ee`a la source froide au tra- vail effectu

´e pour l"extraire :

η=|QL||W|=|QL||QH| - |QL|

Plusηest grand, plus la machine de r´efrig´eration est

efficace et une valeur de l"ordre de 5 est courante.La meilleure performance est celle d"une machine de Carnot op´erant en sens

inverse. On peut re ´ecrire cette´equation avec les temp´eratures et on obtient ainsi le coefficient de performance d"un syst `eme id´eal, soit :ηc=|TL||TH| -|TL|.

Il faut toujours fournir du travail pour transf

´erer de la chaleur d"une

source froide `a une source chaude.Universit´e de Gen`eve 14-33 C. Leluc Exemple : ClimatiseurD´eterminer le meilleur coefficient de performance possible d"un climatiseur maintenant une pi `ece`a 21◦C, quand la temp´erature ext´erieure est 36◦C. Sup- posons que la chaleur qui p ´en`etre dans la pi`ece en 1 heure est de 5,0MJ. La machine rejette la chaleur, qu"elle engendre pendant qu"elle fonctionne, vers l"ext ´erieur de la pi`ece`a l"aide d"un ventilateur. Quel travail ce ventilateur doit-il effectuer pour maintenir la temp ´erature de la pi`ece? Quelle est la quantit´e de chaleur totale rejet

´ee vers l"ext´erieur par heure?

SOLUTION :ηc=|TL||TH| - |TL|=294K(309K)-(294K)= 19,6

La quantit

´e de chaleur horaire est la chaleurQLqui entre dans le climatiseur`a basse temp ´erature. Le travail qui doitˆetre effectu´e par heure pour´evacuerQL:

W=QLηc=5,0MJ19,6= 0,26MJ

Ainsi pour extraire 5,0 MJ, cette machine n"effectue qu"un travail de 0,26 MJ.

Dans cette transformation, cette

´energie de 0,26 MJ est convertie en´energie thermique, rejet

´ee vers l"ext´erieur. Nous avons donc :

Q

H=QB+W= 5,0MJ+ 0,26MJ= 5,3MJ

C"est la chaleur totale rejet

´ee vers l"ext´erieur.Universit´e de Gen`eve 14-34 C. Lelucquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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