[PDF] Electromagnétisme et relativité

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J.M. Raimond

Laboratoire Kastler Brossel

jmr@physique.ens.fr

October 10, 2000

2

Table des Matiµeres

1 Formulation lagrangienne 19

1.2 Principedemoindreaction ................................. 21

1.2.2 EquationsdeLagrange................................ 21

1.3 ExpressionsdelafonctiondeLagrange........................... 23

1.3.1 Particuleuniquelibre ................................ 23

1.4.2 Casdesliaisonsnonholonomes........................... 32

1.5 Lagrangienetloisdeconservation ............................. 35

1.5.2 Translationspatiale:conservationdel'impulsion ................. 37

1.6 Actionenfonctiondelatrajectoire............................. 39

2 Formulation hamiltonienne 45

2.1 EquationsdeHamilton.................................... 45

2.2 CrochetsdePoisson ..................................... 48

2.3 Actionethamiltonien .................................... 51

2.4 Transformationscanoniques................................. 52

2.4.1 Principe........................................ 52

2.4.2 TransformationscanoniquesetcrochetsdePoisson................ 54

2.4.3 Exemplesdetransformationscanoniques...................... 55

2.4.4 Transformationscanoniquesetespacedesphases................. 56

3

4TABLE DES MATIµERES

Appendice 1 ModµeledeBohr 61

1.1 Unpeud'histoire....................................... 61

1.2 ModµeledeBohr........................................ 63

1.3 Au delµadumodµeledeBohr................................. 65

1.3.2 Intervalle.Invariancedel'intervalle......................... 81

1.3.4 Tempspropre..................................... 82

1.4 TransformationdeLorentz.................................. 85

1.4.1 FormedelatransformationdeLorentz....................... 85

1.5.1 Compositiondestransformations.......................... 89

1.6.3 Loidecompositiondesvitesses........................... 93

1.6.4 Contractiondeslongueurs.............................. 94

2 Notations Quadridimensionnelles 97

2.2 Autres4{vecteurs....................................... 104

2.2.4 Vecteurd'onde.................................... 106

2.3 Tenseurs............................................ 107

2.3.1 Tenseurscontravariants ............................... 108

2.3.2 Tenseurscovariants,tenseursmixtes........................ 108

2.3.3 Vocabulaireetexemples............................... 109

2.4.2 Analysevectorielle.................................. 111

TABLE DES MATIµERES5

3 Dynamique relativiste 115

3.1 ParticuleLibre ........................................ 115

3.2 Energie{impulsion ...................................... 118

3.3 Particule soumise µauneforce ................................ 119

3.4.2 E®etCompton .................................... 122

4.1.1 EquationsdeLagrange................................ 126

4.1.3 ForcedeLorentz................................... 129

4.2 Champenfonctiondessources ............................... 134

4.2.1 Interactionchamp{courant ............................. 135

4.2.2 Lagrangienduchamp ................................ 136

4.2.3 EquationsdeLagrange................................ 136

4.2.4 EquationsdeMaxwell................................ 137

4.3 Energie{impulsionduchamp ................................ 138

4.3.3 Applications ..................................... 142

III Propagation, di®raction 145

1.1 FonctiondeGreen ...................................... 149

1.1.1 Position du problµeme................................. 149

1.1.3 Approchequalitative................................. 151

1.2 Solutionrigoureuse...................................... 152

1.2.1 FonctiondeGreen .................................. 152

1.2.2 Formecovariante................................... 155

2.1 FormuledeKirchho®..................................... 158

2.2 PrincipedeHuygens..................................... 159

2.3 Di®ractiondeFraunhofer .................................. 163

2.3.1 Approximationparaxiale .............................. 163

2.3.5 Quelquesexemples.................................. 166

6TABLE DES MATIµERES

3 Applications de la di®raction 169

3.2 Traitementoptiquedusignal ................................ 171

3.2.1 Filtragespatial.................................... 171

3.3 Holographie.......................................... 176

3.3.1 Principe........................................ 176

3.3.2 Applications ..................................... 178

3.3.3 Holographieetconjugaisondephase........................ 179

Appendice 1 Jauges183

2.1.1 TransformationdeFourier.............................. 185

2.1.2 Champslongitudinauxettransverses........................ 186

2.2 Variablesnormales...................................... 187

2.2.2 Dynamiquedesvariablesnormales ......................... 188

Appendice 3 Faisceaux gaussiens 191

3.1 Constructiond'unmodegaussien.............................. 191

3.4 Optiquegaussienne...................................... 199

Appendice 4 Approximation eikonale 201

4.1 Eikonale............................................ 201

4.2.1 Equationdel'eikonale................................ 203

4.2.2 Notionderayonlumineux.............................. 204

4.3 Equationdesrayonslumineux................................ 205

4.3.1 Rayonseteikonale.................................. 205

4.3.2 Applications ..................................... 206

4.3.3 PrincipedeFermat.................................. 207

1 Rayonnement d'une particule en mouvement 213

1.2.4 Discussionphysique ................................. 220

1.3.1 Approchequalitative................................. 223

TABLE DES MATIµERES7

1.3.3 Application...................................... 225

1.4 Rayonnement du dip^ole ................................... 227

1.4.2 Champs µaunedistancearbitraire.......................... 232

2.1.1 Notations....................................... 237

2.1.2 Potentielvecteur................................... 239

2.2 Termesmultipolaires..................................... 240

2.3 Applications: quelques problµemesderayonnement .................... 248

2.3.1 Rayonnementd'unechargeoscillante........................ 248

2.3.2 Antennes ....................................... 250

3 Sources atomiques de rayonnement 255

3.1 ModµeledeThomson ..................................... 256

3.1.3 Di®usiondurayonnement............................... 259

3.2 Modµelesemi{classique.................................... 264

3.2.1 Rayonnementd'unatomequantique ........................ 264

3.2.2 Di®usiondurayonnement.............................. 266

3.3 Di®usionparunmilieudense................................ 276

3.3.2 Cas d'un milieu homogµene.............................. 279

3.3.3 Di®usionparuncristal ............................... 280

3.3.5 In°uence de la dynamique du milieu . . . . .................... 283

1 Equations de Maxwell dans la matiµere 295

1.1 Champsetchargesmicroscopiquesetmacroscopiques................... 295

1.2.2 Momentsmultipolaires................................ 297

1.3 EquationsdeMaxwellmacroscopiques........................... 303

8TABLE DES MATIµERES

2.6 Relations de Kramers{KrÄonig................................ 324

3.1 Equationsdepropagation .................................. 327

3.3 Milieuxconducteurs ..................................... 330

3.3.5 OndesdePlasma................................... 335

3.4 Relationsdepassage..................................... 336

3.4.1 Conditionsauxlimites................................ 336

Chapitre 1

C'est aussi dans le domaine de l'optique, visible, infrarouge ou micro-onde, que nous pouvons explorer

¡11

essentiellement µaceniveauparnotreconnaissanceimparfaitedelastructuredeshadrons(protonset la formulation moderne de la physique quantique. 9

lait en m^eme temps qu'il soit extr^emement rigide pour transmettre des vibrations transverses µagrande

quandonneconsidµere qu'un mode du rayonnement (une seule onde plane, par exemple), les choses se Il n'est bien entendu pas possible d'aborder ces problµemes dans un cours de licence. Nous nous

relativistes les plus simples que l'on puisse construire avec une interaction champ{matiµere non triviale.

clurons cette partie par un appendice sur le modµeledeBohrdelastructureatomique. Ils'agiten discussions qualitatives dans la suite du cours. 11

Newton. Nous construirons alors, en nous fondant sur des hypothµeses trµes simples et naturelles, une

la technique trµes puissante des fonctions de Green, qui sont d'un usage courant dans de nombreux

et trµes qualitative de quelques applications de la di®raction dans le domaine de traitement optique du

Dans le second, nous explorerons l'analogie formelle entre le rayonnement et l'oscillateur harmonique,

directe des principes de la di®raction, traitera des faisceaux gaussiens, essentiels en optique laser.

Nous nous pencherons ensuite, dans la quatriµeme partie, sur le problµeme du calcul des champs

explicite, elle n'est guµere manipulable dans la plupart des cas. Nous nous occuperons essentiellement

dans ce chapitre de trois types de sources. Nous commencerons par examiner le rayonnement produit

d'une simple charge oscillant de fa»con sinusoijdale au voisinage de l'origine. En raison de l'importance

de ce cas, nous expliciterons le calcul du champ µa des distances arbitraires. Nous examinerons, dans le

Nous nous pencherons en¯n, dans le dernier chapitre, sur le rayonnement de sources atomiques et

sont les limites de ce traitement ignorant le caractµere quantique du champ, en discutant en particulier

dispersion et absorption. Lµa encore, ces relations sont d'un champ d'application beaucoup plus large

la limite de Fraunhofer.

classique) que l'on peut trouver en versions anglaise et traduite. C'est un livre trµes (trop?) complet.

n'est pas inutile non plus de regarder les articles originaux d'Einstein. Un article de revue de 1907, en

indispensable d'avoir au moins parcouru le Jackson (Classical Electrodynamics). Ce trµes beau et

trµes gros livre est la bible du domaine. Il est extr^emement exhaustif et d'une lecture su±samment

intelligemment con»cu, les rµegles de transformation qui sont ¯nalement assez simples. Pour l'optique

13 pro¯t le Born et Wolf, vieux manuel ennuyeux mais extraordinairement exhaustif.

Remerciements

Partie I

15

Introduction

des contraintes (un cauchemar avec les formulations \standard"), µa l'utilisation de techniques de

perturbations, ce qui explique son succµes toujours certain auprµes des astronomes, elle est souvent d'un

analytique est trµes semblable µaladescriptiondesrayonslumineuxavecleprincipedeFermat. Lµa Surtout, et bien qu'il s'agisse d'un formalisme datant, avec Lagrange et Hamilton, de la ¯n du XVIII

µeme

ou du XIX

µeme

de fa»con naturelle les contraintes et nous examinerons comment on peut incorporer dans le formalisme

fondamentales de la nature (invariance dans le temps, dans l'espace, invariance par rotation) les lois

quelesujetestextr^emement vaste, en particulier en ce qui concerne les transformations canoniques et 17 18

Chapitre 1

Formulation lagrangienne

variant de 1 µaN. Une telle description peut convenir µatoutsystµeme discret de particules ponctuelles

,q ,r ,v =_r ,a =_v =Är vectorielles). m a =f =q (E(r )+v

£B(r

));(1.1) problµeme. 19

20CHAPITRE 1. FORMULATION LAGRANGIENNE

m 1 m 2 l 1 l 2 g

deux relations. Ensuite, le mouvement s'e®ectue dans un plan, ce qui fournit encore deux relations

1 etµ 2 des pendules avec la verticale. des particules sont holonomes: il existe 3N¡nrelations du typef j (r ) = 0. De telles relations est invariable) 1 glissement) mais nous verrons plus loin comment on peut en tenir compte. Il ne reste alors quen i ;i=1:::n. Soulignons une fois de plus d'une longueur. Avec des relations holonomes, les positionsr i 1 j (r

1.2. PRINCIPE DE MOINDRE ACTION21

1.2 Principe de moindre action

On postule qu'il existe une fonctionL(q

i ;_q i ;t), dite fonction de Lagrange ou lagrangien, homogµene µa 2 , qui est telle que l'action S= Z t 2 t 1 L(q i ;_q i ;t)dt ;(1.2) 1 at 2 entreq i (1) etq i (2), ci. Il y a de nombreux autres exemples de principes variationnels en physique. Les lois de l'optique

la premiµere est plus avantageuse pour varier l'action sur toutes les trajectoires possibles entre deux

points.

1.2.2 Equations de Lagrange

mentq i in¯niment proche, correspond µa chaque instant aux positionsq i (t)+±q i (t), oµu±q i (t) est un accroisse- conditions initiales et ¯nales. On a donc±q(1) =±q(2) = 0. Nous supposerons que lesq i et±q i i donnent la trajectoire e®ectivement suivie a pour dans les±q i

±S=

Z t 2 t 1 (L(q i +±q i ;_q i +_±q i ;t)¡L(q i ;_q i ;t))dt:(1.3) i ,ona:

±S=

X i Z t 2 t 1 @L i ±q i dt+ X i Z t 2 t 1 @L _q i d±q i dtdt :(1.4) 2

22CHAPITRE 1. FORMULATION LAGRANGIENNE

q i (1)q i (2) t 1 t 2 θq i (t)q i t Pour ¯xer la trajectoire, nous recherchons une condition sur les±q i

On obtient alors:

±S=

X i Z t 2 t 1 @L i ¡d _q i ±q i dt+ @L _q i ±q i t 2 t 1 :(1.5) i est identiquement nul. La somme, elle, ne peut s'annuler pour des±q i @L i ¡d _q i =0 (1in) (1.6) i

Quelques remarques s'imposent µacepoint.

le temps, dans l'espace..). Nous verrons, dans les prochains paragraphes, que cela conduit µades 0 =L+df(q i ;t)=dt(la i i et _q i ). L'actionS 0 deSqueparuntermedelaforme[f] t 2 t 1

1.3. EXPRESSIONS DE LA FONCTION DE LAGRANGE23

forme du lagrangien. 1 etq 2 et par les fonctionsquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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