[PDF] Relativité et électromagnétisme

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Relativite et electromagnetisme

Alain Comtet - alain.comtet@u-psud.fr, Notes de Florian Bolgar

Table des matieres

1 Symetries et principe de relativite 5

I) Symetries et groupes de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1) Changement de referentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2) Autres transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 II) Relativite galileenne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 III) Principe de relativite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Cinematique relativiste 13

I)Evenements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 II) Diagrammes d'espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III) Intervalle, invariance de l'intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 IV) Classication des intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1) Intervalle de genre temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2) Intervalle de genre espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3) Structure causale de l'espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 V) Temps propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Transformations de Lorentz 19

I) Transformations speciales de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 II) Loi de composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
III) Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1) Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2) Dilatation des temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3) Interpretation geometrique, diagramme de Minkowski . . . . . . . . .

24

4) References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

4 Groupe de Lorentz, formulation covariante 27

I) Elements de calcul tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1) Scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2) Vecteurs contravariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3) Vecteurs covariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4) Contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
2

5) Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

6) Espace euclidien en coordonnees euclidiennes . . . . . . . . . . . . . .

31
II) Groupe de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1) Espace de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2) Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36
III) Complements mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1) Groupe des rotations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2) Groupe de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

5 Dynamique relativiste 41

I) Particules massives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II) Particules de masse nulle, eet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
III) Collisions de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
IV) Eet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
V) Dynamique d'une particule chargee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
VI) Geodesiques de l'espace temps de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
VII) Lagrangien d'une particule chargee dans un champ electromagnetique . . . . 50
VIII) Energie d'une particule dans un champ electromagnetique . . . . . . . . . .51

6 Formulation covariante des equations de Maxwell 52

I) Introduction : champs et particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
II) Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III) Dualite et invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
IV) Lois de transformation des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1) Transformation sous les rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2) Transformation sous les transformations speciales de Lorentz . . . .

57
V) Invariants du champ electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7 Tenseur d'energie impulsion - lois de conservation 61

I) Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
II) Tenseur d'energie impulsion du champ libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III) Lois de conservation en l'absence de sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
IV) Lois de conservation en presence de sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8 Champs rayonnes par une source 71

I) Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
II) Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III) Potentiel de Lienard Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
IV) Calcul des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
V) Puissance rayonnee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
VI) Reaction de rayonnement : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3

9 Rayonnement multipolaire 85

I) Developpement multipolaire en electrostatique : . . . . . . . . . . . . . . . . 85
II) Expression du potentiel a longue distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
III) Approximation dipolaire electrique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
IV) Rayonnement d'une antenne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
V) Dip^ole magnetique et quadrupole electrique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
VI) Ordres de grandeur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10 Diusion de la lumiere 98

I) Modele de l'electron elastiquement lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
II) Diusion Thompson et Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
III) Notion de facteur de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
IV) Diusion par un milieu desordonne spatialement . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11 Mecanique quantique relativiste 111

I)Equation de Klein-Gordon : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 II) Atomes pioniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
III)Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 IV) Limite non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
V) Groupe des rotations, notion de spineur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4

1Sym etrieset princip ede relativit e

I)

Sym etrieset group esde transformation

1)

Changemen tde r eferentiels

La description d'une experience physique necessite un systeme de reference, c'est a dire un systeme de coordonnees servant a indiquer la position des particules dans l'espace. Dans la plupart des situations que nous traiterons, ce systeme de referenceRsera constitue d'un triedre orthonormeOxyz. La m^eme experience peut ^etre analysee par rapport a un autre referentielO0x0y0z0. Exemples de referentiels : le wagon d'un train, une station spatiale en orbite autour de la terre etc... On va s'interesser a ce qui se passe si un observateur attache au referentielR0observe le m^eme phenomene. Si les equations du mouvement dansR0exprimees en termes des co- ordonnees (x0y0z0) ont la m^eme forme que dans le referentielR, on dira que la loi physique regissant le phenomene est invariante. Prenons l'exemple de deux particules en interaction par un potentiel centralV(j~x1~x2j) : m1d2~x1dt

2=~r1V(j~x1~x2j)

m

2d2~x2dt

2=~r2V(j~x1~x2j)(1.1)

SoitR0deduit deRpar une translationg1(~a). Les coordonnees des particules dansR0sont ~x

01=g1(~a)~x1=~x1~aet~x02=g1(~a)~x2=~x2~a. Les equations du mouvement dansR0

s'ecrivent m

1d2~x01dt

2=~r1V(j~x01~x02j)

m

2d2~x02dt

2=~r2V(j~x01~x02j)(1.2)

Les equations gardent donc la m^eme forme.

Il est naturel de considerer un 3 eme observateur attache a un referentielR00. Pour passer du referentielRau referentielR00on est amene a composerg1avec une transformationg2 decrivant le passage du referentielR0au referentielR00. L'ensemble des transformations, muni de la loi de compositiong3=g2og1constitue un groupe (verier l'existence d'un element neutre et d'un inverse) 5 Dans le cas present, il s'agit du groupe des translations spatiales~x!~x0=~x~a. Chaque element du groupe depend de trois parametres. Le groupe des translations est un groupe continu a 3 parametres. De m^eme, si on eectue une rotation du referentiel independante du temps, les equations du mouvement vont garder la m^eme forme. Le groupe correspondant est le groupe des rota- tions engendre par les matrices orthogonales 33, groupe non-abelien a 3 parametres. Remarques :1) L'ensemble des transformations rotations et translations spatiales en- gendre un groupe a 6 parametres appele groupe euclidienE3deni par les transformations ~x!~x0=R~x~a(1.3) d'ou la loi de groupe (~a0;R0)(~a;R) = (~a0+R0~a;R0R) (1.4)

2) Point de vue passif et actif

Au lieu de considerer des transformations du referentiel, nous aurions pu tout aussi bien eectuer une transformation du systeme physique lui m^eme. On dira alors qu'on a aaire a des transformations actives. Le point de vue actif peut ^etre teste en laboratoire en faisant tourner les appareils. De m^eme l'ensemble du systeme solaire peut ^etre, par la pensee, transporte en un point quelconque de notre galaxie. On s'attend a observer les m^emes orbites et les m^emes periodes de revolution.

3) Les transformations que nous venons de considerer re

etent des proprietes d'homogeneite et d'isotropie de l'espace physique. 2)

Autres transformations

Translations temporelles:t!t0=t+t0.

Transformations discretes :renversement du sens du temps :t!t0=tet parite : ~x! ~x. Cette derniere operation s'obtient en composant une re exion par rapport a un plan (par exemple par rapport au planxOy) avec une rotation ( d'angleautour deOz). Sous cette transformation ~x!~x0=~xquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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