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Faculte des Sciences de Rabat SMPC-S1

Departement de Mathematiques M3-E1 : Analyse

Serie d'exercices 2Exercice 1Les suites suivantes sont-elle majorees, minorees? monotones? :

1.un=n2252n2+ 1; un= (1)n

2.un= cosn6

; un= sin1pn

3.un=n2+ 1; un=1n

2+ (1)n(n+ 1)

Exercice 2On considere la suite(un)denie parun=Pn

k=11n 2+k2.

En utilisant le fait que

1n

2+n261n

2+k261n

2pour tout06k6n, donner un encadrement deun. Que

peut-on en deduire? Exercice 3Soit(un)la suite reelle denie par recurrence en posantu0= 1etun+1=p1 +unsi n2N.

1. Montrer que(un)est croissante et majoree.

2. Montrer que(un)converge vers le nombre reel positif`qui

verie`2`1 = 0et calculer`.

3. On suppose maintenantv0= 1etvn+1=p1 +v2nsin2N. Montrer quevnest croissante non

bornee. Exercice 4Etudier la suite(un)denie paru0= 1etun+1=12 un(u2n3un+ 5)8n>0:Montrer queundiverge. ( On montrera queun+1>kunpour un certaink >1. Exercice 5Les enonces suivants sont-ils vrais ou faux?

1. Une suite a termes positifs qui tend vers 0 est decroissante a partir d'un certain rang.

2. Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs a partir

d'un certain rang. Reciproque?

3. La somme de deux suites converge si et seulement si les deux suites convergent.

Exercice 6Une methode ancienne ( attribuee a Platon) permettait d'extraire la racine carree d'un nombre par un procede iteratif. Pour calculer la racine carree d'un nombrekconstruit la suite reccurenteuo= 1etun+1=un+ku n+1. On suppose dans notre cask= 2.

1. Montrer que16un62pour toutn

2. Verier queVn=u2netWn=u2n+1monotone

3. En deduire quevnetwnconvergent toute les deux versp2

4. donnerp2a 4 chire apres la virgule.

Exercice 7Dans l exercice prec"dent on au vu calculerp2; On donne deux autre suites recurrente dont on admet la convergencev0= 1,vn+1=vn2 +1v netw0= 1,xn+1=xn(x2n+6)3x2n+2.

1. Montrer quevnetxnconverge versp2

2. en calculantv2etx2laquelle des deux suites vous semble la plus ecace.

1

Correction 11.un=n2252n2+ 1croissante bornee

2.un= (1)nbornee non monotone

3.un= cosn6

; unalterne un nombre ni de valeurs : bornee non monotone

4.un= sin1pn

bornee decroissante

5.un=n2+ 1;croissante non bornee

6.un=1n

2+ (1)n(n+ 1)borne non monotone (elle est toutefois decroissante a partir den= 2)

u n+1un=1(n+1)2(1)n(n+2)1n

Correction 2

12n6un61n

pourn>2. Doncunconverge vers zero.

Correction 3u0= 1etun+1=p1 +unsin2N.

1. Par recurrence06un62, et on au0= 16u1=p2et par induction siun16unon

auraun=p1 +un16p1 +un=un+1, donc(un)est croissante et majoree.

2.(un)est croissante et majoree, donc que(un)converge vers le nombre reel positif`qui verie

l=p1 +let par suite`2`1 = 0. On resoud l' equation pour avoirl=1+p5 2

3. La croissance s obtient de la m^eme maniere,par contre si on suppose qu elle est majoree, on

aura croissante majoree, donc convergente verslsatisfaisantl=p1 +l2et donc`2`+1 = 0 impossible.

Correction 4On aun+1=12

un(u2n3un+ 5) =12 un(un32 )2+114 )>118 un Correction 51. Une suite a termes positifs qui tend vers 0 est decroissante a partir d'un certain rang. Fauxun=exp(1)nn

2. Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs a partir

d'un certain rang. Vrais (cours)

Reciproque Fauxun=1n

3. La somme de deux suites converge si et seulement si les deux suites convergent. Fauxun=net

v n=1n n Correction 6On posef(x) =x+2x+1, alorsfest decroissante, on ecritf(x) = 1+1x+1si on veut eviter la derivee.

1. par induction16un62on auraf(2)6f(un)6f(1)ce qui donne16un+162

2.vnetwnverientvn+1=fof(vn)etwn+1=fof(wn)et commefofcroissante, implique que

u

2netu2n+1sont monotones

3. les deux suiteS sont monotones bornees, donc convergente versl1etl2respectivement. On resoud

l

1=f(l2etl2=f(l1pour trouverl1=l2=p2.

Correction 71. On passe a la limite dans la formule dexnet devnpour montrer quel=p2

2. par la calculatricep2 = 1;4142135623730950488016887242096980. On av1= 1:5;v2= 1:41;v2=

1;41421etx1= 1:41x2= 1;414213;x3= 1;414213562373095048

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