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Université Mohammed V

Faculté des Sciences-Rabat

Département de Mathématiques

Module : Algèbre 1 (S1)

Filière :

Sciences de Matière Physique et Chimie (SMPC)

Chapitre 1: L"espace euclidien IRn.

Par :

M. Abdellah ALLA

Mme. Nadia BOUDI

M. Ahmed HAJJI

M. Houssame MAHZOULI.

Année universitaire 2015-2016

Université Mohammed V, Faculté des Sciences RABAT. Avenue Ibn Battouta, B. P. 1014 RP, Rabat - Maroc. Site web :

www.fsr.ac.ma, Tel : (+212) 05 37 77 18 76, Fax : (+212) 05 37 77 42 61.

1 L'ESPACE VECTORIELRNChapitre 1: L'ESPACE EUCLIDIENRn

1 L'espace vectorielRn

1.1 La structure de l'espace vectorielRn

Denition 1.1Soitn2N. L'ensembleRnest, par denition, forme desn-uplets (x1;:::;xn), oux1;:::;xn2R, c'est a dire: R n=f(x1;:::;xn) :x1;:::;xn2Rg:

Exemples 1.2

(2;p6)2R2; (27 ;cos1; )2R3: Denition 1.3Soitn2N. On munitRnde deux lois de composition, l'une interne et l'autre externe: i) La loi de composition interne est notee" + ", et est denie par: (x1;:::;xn) + (y1;:::;yn) = (x1+y1;:::;xn+yn); x1;:::;xn;y1;:::;yn2R: ii) La loi de composition externe est notee":", et est denie par: :(x1;:::;xn) = (x1;:::;xn); ;x1;:::;xn2R:

Exemples 1.41) DansR2:

(1;7) + (3;0) = (2;7); 2:(5;3) = (10;6):

2) DansR3:

(0;8;3) + (1;2;6) = (1;10;9);4:(5;1;6) = (20;4;24): Proprietes 1.5 (Proprietes de l'addition)On verie les proprietes suivantes:

1)L'addition est associative, c'est a dire:

8X;Y;Z2Rn: (X+Y) +Z=X+ (Y+Z):

2)L'addition est commutative, c'est a dire:

8X;Y2Rn:X+Y=Y+X:

3) 0 Rn= (0;:::;0)est un element neutre deRn, c'est a dire:

8X2Rn:X+ 0Rn= 0Rn+X:

4)SiX= (x1;:::;xn)2Rn, ecrivonsX= (1):X= (x1;:::;xn). AlorsX

est un oppose deXpour la loi "+", c'est a dire:

8X2Rn; X+ (X) = (X) +X= 0Rn:Profs.: A. ALLA, N. BOUDI1Profs.: A. HAJJI, H. MAHZOULI.

1 L'ESPACE VECTORIELRNRemarque 1.6Souvent, on ecrit0au lieu de0Rn.

Exemples 1.71) DansR2,

[(1;5) + (1;7)] + (3;4) = (1;5) + [(1;7) + (3;4)] = (3;16):

2) DansR3,

(6;7;8;9) + (0;1;1;5) = (0;1;1;5) + (6;7;8;9) = (6;8;7;14): Des proprietes de la multiplication et l'addition dansR, on deduit: Proprietes 1.8 (Proprietes de la loi externe)On verie les proprietes suivantes:

1)Pour toutX2Rn,1:X=X.

2)Pour tous;2R, pour toutX2Rn:(+):X=:X+:X.

3)Pour tout2R, pour tousX;Y2Rn::(X+Y) =:X+:Y.

4)Pour tous;2R, pour toutX2Rn:():X=:(:X).

Exemples 1.91)(23):(2;0;1) = 2:[3:(2;0;1)] = (12;0;6):

2)3:[(1;5) + (1;7)] = [3:(1;5)] + [3:(1;7)] = (0;36):

L'ensembleRn, muni des lois "+; :" est appele espace vectoriel, et est note (Rn;+;:). Ses elements sont appeles vecteurs. Les elements deRsont appeles scalaires. Sou- vent, lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion, la loi externe ":" est notee par juxtaposition. C'est a dire, on ecritXau lieu de:X, pour tout2Ret pour toutXdansRn. La notion d'espace vectoriel, dans le cadre general, sera etudiee plus tard (Algebre II). Pour ce semestre, nous allons juste enoncer la denition. Denition 1.10SoitEun ensemble muni de deux lois de composition "+" et ":", ou "+" est interne et ":" est externe denie deREversR. On dit que(E;+;:) est un espace vectoriel surRsi de plus, on a les proprietes:

1)L'addition est associative, c'est a dire:

8X;Y;Z2E: (X+Y) +Z=X+ (Y+Z):

2)L'addition est commutative, c'est a dire:

8X;Y2E:X+Y=Y+X:

3)L'addition admet un element neutre "U", c'est a dire:

9U2Everiant8X2E:X+U=U+X:

Cet element neutre est note0Eou0s'il n'y a pas de risque de confusion.Profs.: A. ALLA, N. BOUDI2Profs.: A. HAJJI, H. MAHZOULI.

1 L'ESPACE VECTORIELRN4)Tout element deEadmet un oppose pour +, c'est a dire:

8X2E;9Y2EveriantX+Y=Y+X=U:

L'oppose deXest noteX.

5)Pour toutX2E,1:X=X.

6)Pour tous;2R, pour toutX2E:(+):X=:X+:X.

7)Pour tout2R, pour tousX;Y2E::(X+Y) =:X+:Y.

8)Pour tous;2R, pour toutX2E:():X=:(:X).

Les elements de l'espace vectoriel(E;+;:)sont appeles vecteurs. Les elements deR sont appeles scalaires.

1.2 Familles libres et bases deRn

Denition 1.11Soientr;n2N. On dit qu'une famille de vecteursfX1;:::;Xrg deRnest lineairement independante (ou libre) si:

1X1+:::rXr= 0)1=:::=r= 0;81;:::;r2R:

Si la famillefX1;:::;Xrgn'est pas libre, on dit qu'elle est liee, ou lineairement dependante. Remarque 1.12Avec les notations de la denition ci-dessus,fX1;:::;Xrgest liee si:

9(1;:::;r)6= 0tel que1X1+:::rXr= 0:

Exemples 1.131) DansR2, la famillef(0;2);(3;0)gest libre, en eet:

Soient;2R.

(0;2) +(3;0) = 0)(3;2) = 0 )== 0:

2) La famillef(2;1;4);(1;12

;2)gn'est pas libre car (2;1;4) = 2 (1;12 ;2): Lemme 1.14DansRn, le vecteur0Rnne peut pas appartenir a une famille libre. Preuve.1Soientu1;:::;ur2Rnet considerons la famillef0Rn;u1;:::;urg. Soit un scalaire quelconque non nul. Alors

0Rn+ 0u1+:::+ 0ur= 0;

par contre(;0;:::;0)6= 0.Profs.: A. ALLA, N. BOUDI3Profs.: A. HAJJI, H. MAHZOULI.

1 L'ESPACE VECTORIELRNLemme 1.15SoientX1;X2deux vecteurs deRn. AlorsfX1;X2gest libre si, et

seulement si, les vecteursX1etX2ne sont pas colineaires, c'est a dire:

82R; X26=:X1etX16=:X2:

Preuve.2)) Supposons quefX1;X2gest libre. Alors pour tout2R,(1;)6=

0et donc

X

1X26= 0etX2X16= 0:

() Reciproquement, supposons que les vecteursX1etX2ne sont pas colineaires. Supposons de plus qu'il existe(;)6= 0tel queX+Y= 0. On a6= 0ou6= 0. Supposons par exemple que6= 0, alors X+

Y= 0;c'est a direX=

Y; ce qui contredit l'hypothese. Proprietes 1.161) Pour toutX2Rn, ouX6= 0, la famille formee d'un seul vecteurfXgest libre.

2) SoitfX1;:::;Xrgune famille libre deRn. Alors toute famille extraite defX1;:::;Xrg

est libre.

3) SoitfX1;:::;Xrgune famille liee deRn. Alors toute famille contenantfX1;:::;Xrg

est liee. Preuve.31) SoitX2Rntel queX6= 0. Alors pour tout scalaire6= 0,X6= 0.

D'ou ,fXgest libre.

2) Supposons qu'on a extrait une familleCdeB=fX1;:::;Xrg. Quitte a changer

les indices, on peut supposer que la famille extraite estC=fX1;:::;Xkg, ouk < r.

Soient1;:::;k2Rtels que

1X1+:::kXk= 0:

Alors

1X1+:::kXk+ 0Xk+1+:::0Xr= 0:

CommeBest libre, alors(1;:::;k;0;:::;0) = 0. D'ou ,(1;:::;k) = 0, et par suiteCest libre.

3) SoitD=fX1;:::;Xr;Xr+1;:::Xtgune famille de vecteurs deRntel queB=

fX1;:::;Xrgest liee. Soient des scalaires1;:::;rveriant

1X1+:::+rXr= 0et(1;:::;r)6= 0:

Alors

1X1+:::rXr+ 0Xr+1+:::0Xt= 0et(1;:::;r;0;:::;0)6= 0:Profs.: A. ALLA, N. BOUDI4Profs.: A. HAJJI, H. MAHZOULI.

1 L'ESPACE VECTORIELRNDenition 1.17DansRn, une famille libre ayantnelements est appelee base de

R n. Rappelons que siEest un ensemble ni, le nombre d'elements deEest appele cardinal deEet est note card E. Exemples 1.181) La familleB=f(1;0);(0;1)gest une base deR2. En eet, il est clair que(1;0)et(0;1)ne sont pas colineaires. DoncBest libre. Le cardinal de Best egal a2, doncBest une base deR2.Best appelee base "canonique" deR2.

2) La familleC=f(1;1;0);(0;2;2);(3;1;1)gest une base deR3. En eet,cardC=

3, donc il sut de montrer queCest libre. Soient;;

2Rtels que

(1;1;0) +(0;2;2) + (3;1;1) = 0:

Donc(+ 3

;+ 2+ ;2+ ) = (0;0;0). On en deduit que== = 0et par suiteCest libre. Lemme 1.19DansRn, considerons la famillefe1= (1;0;:::;0);e2= (0;1;0;:::;0); :::;e n= (0;:::;0;1)g. Alors la famillefe1;:::;engest une base deRn, elle est ap- pelee base canonique deRn.

Preuve.4Soient1;:::;n2R. Supposons que

1e1+2e2+:::+nen= 0:

Alors(1;:::;n) = 0. D'ou ,Best libre. Or,Bcontientnelements. D'ou ,Best une base deRn.

1.3 Coordonnees d'un vecteur deRndans une base

SoitX= (x1;:::;xn) un vecteur deRn. SoitB=fe1;:::;engla base canonique de R n. Remarquons que

X=x1e1+:::+xnen=nX

i=1x iei: Remarquons aussi que cette ecriture est unique, c'est a dire que si

X=x1e1+:::+xnen=x01e1+:::+x0nen;

alors (x1;:::;xn) = (x01;:::;x0n). Lemme 1.20SoitC=fu1;:::;ungune base deRn. Supposons que pour un vecteur XdeRn, il existey1;:::;yn;y01;:::;y0n2Rtel queX=Pn i=1yiui=Pn i=1y0iui. Alorsyi=y0ipour tout1in.Profs.: A. ALLA, N. BOUDI5Profs.: A. HAJJI, H. MAHZOULI.

1 L'ESPACE VECTORIELRNPreuve.5

X=nX i=1y iui=nX i=1y

0iui)nX

i=1(yiy0i)ui= 0 )yiy0i= 0;81in:

Nous admettrons le Theoreme suivant:

Theoreme 1.21SoitC=fu1;:::;ungune base deRn. Alors pour tout vecteur

XdeRn, il existey1;:::;yn2Rtel queX=Pn

i=1yiui. De plus, la famille de scalairesy1;:::;ynveriant l'egalite ci-dessus est unique. Denition 1.22SoientB=fu1;:::;ungune base deRnetXun vecteur deRn.

Soienty1;:::;yn2Rtel queX=Pn

i=1yiui. Alors le n-uplet(y1;:::;yn)est appele coordonnees deXdans la baseB, le scalaireyiest associe aui. Exemples 1.231) SoitX= (x1;:::;xn)2Rn. Alors(x1;:::;xn)represente les coordonnees deXdans la base canoniqueBdeRn.

2) Donnons les coordonnees(;)de(5;7)dans la baseC=f(5;0);(0;14)gdeR2.

(5;7) =(5;0) +(0;14)) (5;7) = (5;14)) = 1 ;=12 Etant donne une baseB=fu1;:::;ungdeRn, et un vecteurX2Rn, pour trou- very1;:::;yndansRtel queX=Pn i=1yiui, on resoud le systeme correspondant, apres avoir remplaceXet lesuipar leurs valeurs. Vocabulaire.1) Soitfu1;:::;urgune famille deRnet soitX2Rn. S'il existe des scalaires1;:::;rtel queX=Pr i=1iui, alors on dit queXs'ecrit comme combinaison lineaire deu1;:::;ur.

2) Si tout vecteur deRns'ecrit comme combinaison lineaire deu1;:::;ur, on dit

que la famillefu1;:::;urgest une famille generatrice de l'espace vectorielRn(ou engendre l'espace vectorielRn). Remarque 1.24Remarquons que toute base deRnengendre l'espace vectorielRn. Notation.Soientu1;:::;urdes vecteurs quelconques deRn, our2N. On note

Vecfu1;:::;urg=frX

i=1 iui;ou1;:::;r2Rg:

Ainsi, Vecfu1;:::;urgest l'ensemble des combinaisons lineaires deu1;:::;ur.Profs.: A. ALLA, N. BOUDI6Profs.: A. HAJJI, H. MAHZOULI.

2 LA STRUCTURE DE L'ESPACE EUCLIDIEN (RN;+;:;h:;:i)Exemples 1.251)f(1;1);(0;1)gest une base deR2, donc c'est une famille

generatrice deR2, c'est a dire

Vecf(1;1);(0;1)g=R2:

2)Vecf0Rng=f0Rng.

3) DansR3,Vecf(1;1;1)g=f(;;) :2Rg.

2 La structure de l'espace euclidien(Rn;+;:;h:;:i)

2.1 Produit scalaire, Norme et distance dansRn

Denition 2.1SoientX= (x1;:::;xn)etY= (y1;:::;yn)deux vecteurs deRn.

1)Le produit scalaire deXetYest la quantitee noteehX;Yiet denie par

hX;Yi=nX i=1x iyi:

2)La norme deXest la quantite noteekXket denie par :

kXk=phX;Xi:

3)La distance entreXetYest la quantite noteed(X;Y)et est denie par

d(X;Y) =kXYk:

4)L'ensembleRnmuni des operations+,:, et du produit scalaireh:;:iest appele

espace euclidien.

Exemples 2.2Dans l'espace euclidienR2,

h(1;2);(3;0)i= 3;k(3;4)k=p9 + 16 = 5;d((1;2);(1;3)) =k(2;1)k=p5: Proprietes 2.3 (Proprietes du produit scalaire)Pour tous elementsX;Y;Z deRnet pour tout2R, on a:

1)hX;Yi=hY;Xi

2)hX+Y;Zi=hX;Zi+hY;Zi.

3)hX;Y+Zi=hX;Yi+hX;Zi.

4)h:X;Yi=hX;:Yi=hX;Yi.

5)kXk2=hX;Xi 0, on dit que le produit scalaire est positif.

6)kXk2=hX;Xi= 0)X= 0.Profs.: A. ALLA, N. BOUDI7Profs.: A. HAJJI, H. MAHZOULI.

2 LA STRUCTURE DE L'ESPACE EUCLIDIEN (RN;+;:;h:;:i)Preuve.6PosonsX= (x1;:::;xn),Y= (y1;:::;yn)etZ= (z1;:::;zn). Alors

hX;Yi=nX i=1x iyi=nX i=1y ixi=hY;Xi: hX+Y;Zi=nX i=1(xi+yi)zi=nX i=1x izi+nX i=1y izi=hX;Zi+hY;Zi: La troisieme assertion decoule des deux premieres. h:X;Yi=nX i=1(xi)yi=hX;Yi: hX;Xi=nX i=1x

2i=kXk2:

D'ou , sikXk= 0alorskXk2= 0et par suitexi= 0pour tout1in, c'est a direX= 0. Les proprietes ci-dessus nous permettent d'etablir les egalites suivantes:

Proposition 2.4Pour tousX;Y2Rn, on a:

1)kX+Yk2=kXk2+ 2hX;Yi+kYk2.

2)kXYk2=kXk22hX;Yi+kYk2.

3)hX+Y;XYi=kXk2 kYk2.

4)hX;Yi=14

kX+Yk2 kXYk2(identite de polarisation).

Preuve.7

kX+Yk2=hX+Y;X+Yi =hX+Y;Xi+hX+Y;Yi =hX;Xi+hY;Xi+hX;Yi+hY;Yi =kXk2+ 2hX;Yi+kYk2: kXYk2=kX+ (Y)k2 =kXk2+ 2hX;Yi+k Yk2: =kXk22hX;Yi+kYk2: hX+Y;XYi=hX;Xi+hY;Xi+hX;Yi+hY;Yi =hX;Xi+hY;Xi hX;Yi hY;Yi =kXk2 kYk2: La quatrieme identite decoule de 1) et 2).Profs.: A. ALLA, N. BOUDI8Profs.: A. HAJJI, H. MAHZOULI.

2 LA STRUCTURE DE L'ESPACE EUCLIDIEN (RN;+;:;h:;:i)Exemple 2.5Calculonsh(2;3;0);(1;1;5)ide deux manieres dierentes:

1) Directement:h(2;3;0);(1;1;5)i= 2 + 3 + 0 = 5.

2) En utilisant l'identite de polarisation:

k(2;3;0) + (1;1;5)k2=k(3;4;5)k2= 50;k(2;3;0)(1;1;5)k2=k(1;2;5)k2= 30; par suiteh(2;3;0);(1;1;5)i=14 (5030) = 5: Denition 2.6Un vecteurvdeRnest dit unitaire si sa normekvkest egale a1. Remarque 2.7Sivest un vecteur quelconque non nul deRn, alorsvkvkest un vecteur unitaire deRn. On dit qu'on a normalise le vecteurv. Theoreme 2.8 (Inegalite de Cauchy Schwartz)Pour tousX;Y2Rn, on a: jhX;Yij kXk kYk: L'egalite est veriee si et seulement siXetYsont colineaires. Preuve.8SoientXetYdeux vecteurs xes deRn. Pour toutt2R, on a, kX+tYk20. Doncquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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