[PDF] Nombres complexes. - Module : Algèbre 1

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Université Mohammed V

Faculté des Sciences-Rabat

Département de Mathématiques

Module : Algèbre 1 (S1)

Filière :

Sciences de Matière Physique et Chimie (SMPC)

Chapitre 3: Nombres complexes.

Par :

M. Abdellah ALLA

Mme. Nadia BOUDI

M. Ahmed HAJJI

M. Houssame MAHZOULI.

Année universitaire 2015-2016

Université Mohammed V, Faculté des Sciences RABAT. Avenue Ibn Battouta, B. P. 1014 RP, Rabat - Maroc. Site web :

www.fsr.ac.ma, Tel : (+212) 05 37 77 18 76, Fax : (+212) 05 37 77 42 61.

Nombres complexs

1.Introduction

DansR, l'ensemble des nombres reels, tous les nombres positifs ont une racine carree. Par contre, aucun reel negatif n'a de racine carree (reel). Les nombres complexes orent la possibilite de pallier a cette insusance .

Denition 1.1(Le nombrei).

{Le nombreiest un nombre dont le carre vaut1. Ainsi,i2=1. {De plus, son opposeia aussi pour carre1. En eet :(i)2= i 2=1. {Les deux racines de1sont les deux nombres irreelsieti. Un peu d'histoire :La notationifut introduite parEuleren 1777, puis reprise parGaussau debut duXIXemesiecle. Cependant, le pre- mier a parler de nombre imaginaire futDescartesen 1637. Denition 1.2(Nombres complexes).Il existe un ensemble noteC, appele ensemble des nombres complexes qui possede les proprietes sui- vantes : {Ccontient l'ensemble des nombres reelsR. {Ccontient le nombre irreeli(tel quei2=1) {L'addition et la multiplication des nombres reels se prolongent aux nombres complexes et les regles de calcul restent les m^emes. {Tout nombre complexezs'ecrit de maniere uniquez=a+ibavec aetbreels.

2.Formes algebrique d'un nombre complexe

Denition 2.1(Forme algebrique).Soitzun nombre complexe. L'ecriture z=a+ibavecaetbsont des reels est appelee forme algebrique dez. aest la partie reelle dez, noteeRe(z),best la partie imaginaire de znoteeIm(z). Sib= 0, le nombrezest un reel. Sia= 0, le nombrezest dit imaginaire pur. L'ensemble des nombres complexes imaginaires purs est noteiR.

Exemple 2.2.Re(1 + 2i) = 1 etIm(1 + 2i) = 2.

Les calculs avec les nombres complexes se font comme avec les nombres reels avec la conventioni2=1.

Exemple 2.3.(1 + 2i)(53i) = 53i+ 10i6i2= 11 + 7i.

1

Profs.: A. ALLA, N. BOUDI, A. HAJJI, H. MAHZOULI.

Le resultat suivant justie l'unicite de la forme algebrique d'un nombre complexe. Proposition 2.4(Egalite de deux complexes).Soientx;y;x0ety0des nombres reels. Alors, x+iy=x0+iy0()x=x0ety=y0:

En particulier,x+iy= 0equivalent ax=y= 0.

Demonstration.Supposons quex+iy=x0+iy0. Alors,xx0=i(yy0). Ainsi, (xx0)2=i2(yy0)2=(yy0)2. Par suite, (xx0)2+(yy0)2=

0. Par consequent,xx0=yy0= 0. Le sens inverse et clair.

Remarques 2.5.Dans l'ensembleC,

(1) il n'y a plus la notion d'ordre usuelle (O nne p ourrapas com- parer un nombre complexe a un autre ou dire s'il est positif ou negatif etcexcepte pour les imaginaires purs ou l'on peut denir un ordre naturel comme pour les reels). (2) on eviteral'usage abusif du sym boleradical pqui reste reserve aux reels positifs. Denition 2.6(Representation geometrique des nombres complexes). Munissons le planPd'un repere orthonorme(O; ~e1; ~e2)direct. A tout nombre complexez=a+ib(avec a et b reels), on peut associer le pointM(a;b). le p ointM(a;b)s'appelle l'image du nombre complexez=a+bi. le nombr ec omplexez=a+ibs'appelle l'axe du pointM(a;b). ("Axe" est un nom feminin) on note souvent z=affixe(M)ouz=aff(M). L'axe des abscisses est d enommeaxe des r eels(puisqu'il ne c ontient que les points dont les axes sont des reels). L'axe des or donneesest d enommeaxe des imaginair espurs (puis- qu'il ne contient que les points dont les axes sont des imaginaires purs). 2

Profs.: A. ALLA, N. BOUDI, A. HAJJI, H. MAHZOULI.

SizA=xA+iyAest l'axe du pointAetzB=xB+iyBest l'axe du pointB, on peut associer au vecteur!ABle nombre complexe z

BzA= (xBxA) +i(yByA);

dit axe du vecteur !AB, et on note aff(!AB) =aff(B)aff(A) =zBzA: Cela permet de traduire des problemes de geometrie en relations entre nombres complexes. Par exemple, on utilisera souvent que deux vecteurs sont egaux si, et seulement si, ils ont m^emes axes. Ou encore, on utilisera que l'axe d'une somme de deux vecteurs est la somme des axes de ces vecteurs : aff(~u+~v) =aff(~u) +aff(~v) Exemple 2.7.SoientA(2;1) etB(1;3). Donc,aff(A) = 2iet aff(B) =1 + 3i. En plus, aff(!AB) =zBzA= (1 + 3i)(2i) =3 + 4i Si on considere les pointsI(1;0) etJ(0;1) alors!e1=!OIet!e2=!OJ. Donc,aff(!e1) =aff(!OI) =zIz0= 1 et de m^emeaff(!e2) =i.

3.Conjugue d'un nombre complexe. Inverse d'un nombre

complexe non nul Denition 3.1(Conjugue d'un nombre complexe).Soientaetbdeux nombres reels. Le nombre complexe conjugue dez=a+ibest le nombre complexez=aib. Remarque 3.2.(1)Il est clair que le conjugu ede zestz. On dit alors quezet zsont deux nombres complexes conjugues.3

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(2)Re(z) =Re(z) etIm(z) =Im(z). Les pointsMetM0d'axes respectiveszet zsont symetriques par rapport l'axe des reels :Exemple 3.3.23i= 2 + 3iet5i+ 1 =5i+ 1. Proposition 3.4(Critere pour qu'un nombre complexe soit reel (resp. imaginaire pur)).Soitzun nombre complexe. Alors, z+ z= 2Re(z) ;zz= 2iIm(z):

En particulier,

(zest reel()z= z)et(zest imaginaire pur()z=z): Demonstration.Notonsz=a+ibavecaetbdeux reels. Alors,z+z=

2aetzz= 2ib. En particulier,

z= z,b= 0,zreel; et z=z,a= 0,zimaginaire pur: Proposition 3.5(Inverse d'un nombre complexe).Tout nombre com- plexe non nulz=a+ib(avecaetbdeux reels non tout les deux nuls) admet un inverse pour la multiplication, note 1z dont la forme algebrique est1z =aiba 2+b2: Demonstration.Cherchonsz0=a0+ib0tel quez z0= 1. On a z z

0= (aa0bb0) +i(ba0+ab0):

Donc, z z

0= 1,aa0bb0= 1 etba0+ab0= 0,a0=aa

2+b2etb0=ba

2+b2: Proposition 3.6(proprietes du conjugue).Pour tout nombres com- plexeszetz0, on a :4

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(1)z+z0= z+z0 (2)z=z (3)z z 0=zz 0 (4)z n= (z)n(n2N) (5) zz 0=zz

0(z06= 0).

Demonstration.Exercice.

Exemple 3.7.Le conjugue dez=23i1+iest z=2+3i1i.

Exercice 3.8.Mettre sous la forme algebrique les nombres complexes suivants : z

1=3 + 2i23iz2=1 + 2i1i

2 z

3=1 + 2i1i12i1 +i:

4.Module d'un nombre complexe

Proposition 4.1.Pour tout nombre complexez=a+ib(avecaetb reels), la quantitezzest un nombre reel positif : zz=a2+b22R+:

Demonstration.Il sut de calculerzz.

Denition 4.2.Pour tout nombre complexez=a+ib(avecaetb reels), on appelle module dezla quantite positivejzj=pa

2+b2=pzz.

Exemple 4.3.j1+2ij=p1

2+ 22=p5 etjp32ij=p3 + 4 =

p7. Proposition 4.4(Proprietes de module).Soientzetz0deux nombres complexes. On a : (1)jzj= 0,z= 0;j zj=jzj;jzj=jzj; jz+z0j jzj+jz0j(Inegalite triangulaire). (2)jz z0j=jzjjz0j;jznj=jzjn(n2N) (3)Pourz06= 0;jzz

0j=jzjjz0j.

Demonstration.(1)jzj= 0 est equivalent aa2+b2= 0 (avecaetbdes reels tels quez=a+ib) ce qui est equivalent aa=b= 0.

On ajzj2=zz= (z)(z) =j zj2. Donc,jzj=j zj.

On ajzj2=zz= z z=jzj2. Donc,jzj=jzj.

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Soientz=a+ibetz0=a0+ib0les formes algebriques dezetz0.

Donc,z+z0= (a+a0) +i(b+b0). Ainsi,

jz+z0j2= (a+a0)2+ (b+b0)2 = (a2+b2) + (a02+b02) + 2aa0+ 2bb0 (a2+b2) + (a02+b02) + 2pa

2+b2pa

02+b02

p(a2+b2) +p(a02+b02) 2 = (jzj+jz0j)2: (2) On a jzz0j2=zz0zz

0=zzz0z0=jzj2jz0j2= (jzjjz0j)2:

Donc,jz z0j=jzjjz0j. La deuxieme egalite est deduite de la premiere par une simple recurrence. (3) On ajzj=jzz

0z0j=jzz

0jjz0j. Donc,jzz

0j=jzjjz0j.

Proposition 4.5(Interpretation geometrique de la notion de module). Munissons le planPd'un repere orthonorme(O; ~e1; ~e2). (1)Sizest l'axe du pointMalorsjzj=OM. (2)SizAetzBsont respectivement les axes des pointsAetB alorsAB=jzBzAj.Demonstration.On sait deja en geometrie que siM(a;b) alorsOM=pa

2+b2. Donc,OM=ja+ibj.

Aussi, sizA=xA+iyAetzB=xB+iyBalors

AB=p(xBxA)2+ (yByA)2=jzBzAj:

Exercice 4.6.Soitzun nombre complexe dierent de 1,Mle point d'axezetz0=z+iz1. DeterminerFl'ensemble des pointsMtels que jz0j= 1.6

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Exercice 4.7(Identite du parallelogramme).Soientzetz0deux nombres complexes. Montrer quejz+z0j2+jzz0j2= 2(jzj2+jz0j2). (Indication : Utiliser la relationjzj2=z z0). Exercice 4.8.Soientuetvdeux nombres complexes distincts et de m^eme module. Montrer que le nombre complexe u+vuvest imaginaire pur.

5.Argument d'un nombre complexe

Denition 5.1(Argument d'un nombre complexe).Munissons le plan Pd'un repere orthonorme(O; ~e1; ~e2). Soitzun nombre complexe non nul d'imageM. On appelle argument deztoute mesure, en radians, de l'angle oriente:=!e1;!OM . On le note=arg(z).Un nombre complexe possede une innite d'arguments. Siest un argument dez, tout autre argument dezest de la forme+ 2k(k2 Z). L'unique argumentappartenant a l'intervalle ];] s'appelle l'argument principal.

On notera par exemplearg(z) =4

[2]ouarg(z) =4 modulo2pour signier quearg(z)peut ^etre egal a=4mais aussi egal a n'importe lequel des nombres 4 + 2kou (k2Z). Attention!! Le nombre complexe nulz= 0 ne possede pas d'arguments car, dans ce cas, l'angle!e1;!OM ne se deni pas.

Exemples 5.2.arg(i) =2

[2];arg(1) = 0 [2];arg(1) =[2]; arg(1 +i) =4 [2]. Remarques 5.3.(1)un r eelstrictemen tp ositifa u nargume nt egal a 0[2] et un reel strictement negatif a un argument egal a[2].7

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On peut dire :

z2R,(z= 0 ouarg(z) = 0[]); (2) un imaginaire pur don tla partie imaginaire est strictemen tp o- sitive a un argument egal a 2 [2] et un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement negative a un argument egal a2 [2].

On peut dire :

z2iR,(z= 0 ouarg(z) =2 Methode generale pour calculer l'argument principal d'unnombre complexe non nul : On notez=a+ibavecaetbdes reels. Soitl'argument principal dez. Alorszest l'axe du pointM(a;b) du plan. Des coordonnees polaires deMsont (jzj;) et on a :(cos() =ajzj=Re(z)jzj sin() =bjzj=Im(z)jzj: Rappelons la preuve de ce resultat bien connu. Considerons d'abord les

2 cas suivants ouest positif :Cas ou20;2

cos() =OHOM =ajzj=Re(z)jzj; et sin() =HMOM =bjzj=Im(z)jzj:

Cas ou22

cos() =cos() =OHOM =ajzj=Re(z)jzj; et sin() =HMOM =bjzj=Im(z)jzj: 8

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Dans les cas ouest negatif, on raisonne de m^eme, en tenant compte du fait que sin() =sin() etHM=b. Dans tous les cas, nous avons :(cos() =ajzj=Re(z)jzj; sin() =bjzj=Im(z)jzj. Exemples 5.4.(1)Argumen tprincipal dez=2p3+2i: On a jzj2= 12+4 = 16. Nous devons maintenant resoudre le systeme suivant :cos() =2p3 4 =p3 2 sin() =24 =12 En utilisant le cercle trigonometrique, nous concluons :=56 (2) Argumen tprincipal dez= 34i: On ajzj2= 9 + 16 = 25. Nous devons maintenant resoudre le systeme suivant :cos() =35 sin() =45 Ce ne sont pas des valeurs remarquables. La calculatrice donne jj= 0;9273 rad. Mais sin() est negatif, doncest negatif : 0;9273 rad. Exercice 5.5.Donner un argument du nombre complexez=1+ip3p3i. De la gure suivanteon deduit le resultat suivant : Proposition 5.6.Pour tout nombre complexe non nulz, on a : arg(z) =arg(z)[2]; arg(z) =arg(z)+[2]; arg(z) =arg(z)[2]: Remarques 5.7.Soitzun nombre complexe non nul etun reel non nul.9

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(1)

Si >0,arg(z) =arg(z)[2],

(2)

Si <0,arg(z) =arg(z) +[2].

Les proprietes suivantes sur les arguments permettent de multiplier et diviser simplement deux nombres complexes : Proposition 5.8.Pour tous nombres complexeszetz0non nuls, on a : (1)arg(z z0) =arg(z) +arg(z0)[2] (2)arg1z =arg(z)[2] (3)argzz

0=arg(z)arg(z0)[2]

(4)arg(zn) =narg(z)[2]pour toutn2Z. Demonstration.(1) Soientz=a+ibetz0=a0+ib0les fomres algebriques dezetz0respectivement. Donc, la forme algebrique de zz

0estzz0= (aa0bb0) +i(ab0+a0b). Soitun argument dezz0et

soientet0des arguments dezetz0respectivement. Donc, cos() =aa0bb0jzz0j=ajzja

0jz0jbjzjb

0jz0j= cos()cos(0)sin()sin(0) = cos(+0):

De m^eme on trouve sin() = sin(+0). Donc,=+0[2].

(2) On a 0 =arg(1) =argz:1z =arg(z) +arg1z [2]. Donc, arg1z =arg(z)[2]. (3) On aargzz

0=argz1z

0=arg(z)+arg1z

0=arg(z)arg(z0)[2]

(4) Le resultat est deduit surNde (1) par une simple recurrence sur n, et il est prolonge aZen utilisant (2). Remarque 5.9.(1)On notera l'analogie en treces relations et les proprietes de la fonction logarithme. (2) P ourm ultiplierdeux nom brescomplexes non n uls,on m ulti- plie les modules et on additionne les arguments. Pour diviser deux nombres complexes non nuls, on divise les modules et on soustrait les arguments.

Exercice 5.10.Soientu= 1 +ietv=1 +ip3.

(1)

D eterminerles mo dulesde uetv.

(2)

Donner un argumen tde uet un argument dev.

(3) D eterminerl emo duleset un argumen tdes nom brescomplexes u,uv,v3etuv (4)

En d eduireles v aleursde cos 512

et sin512 (5)

Donner explicitemen tle nom brecomplexe v3.

10

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