Corrigé : Estimation Paramétrique PDF

Rappels : méthode de maximum de vraisemblance

Quel est l'estimateur du maximum de vraisemblance de α ? Corrigé Exercice 4. Rappelons que la densité d'une v.a X suivant la loi uniforme U([−α α]) s'écrit.

Université de Paris Ouest Année Universitaire 2009/2010 Licence

Dec 3 2009 xi. )−1/α−1 . 3. (2.5 points) Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de α. Corrigé Il est équivalent de maximiser la log- ...

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qui est continue et le modèle est donc régulier et l'estimateur du maximum de vraisemblance est asymptotiquement efficace. Exercice 4 : lois translatées. 1.

Exercices de Statistique

1) Quel est l'estimateur du maximum de vraisemblance de θ. On le note. ˆ θn. 2) Montrer que n(ˆθn −θ) a une loi limite lorsque n → +

Maximum de vraisemblanceFiche TD n°2

Jun 23 2018 Calculer l'estimateur du maximum de vraisemblance de θ. Si X suit ... Les éléments de correction n'ont pas pour objectif de donner un corrigé type ...

Semaine 2: Estimateur du maximum de vraisemblance 1

Éléments de corrigé Proposer un estimateur asymptotiquement efficace. Correction. On a vu à l'exercice 1 que l'information de Fisher de l'échantillon de ...

CTU Master Enseignement des Mathématiques Statistique

Exercice 4 (Maximum de vraisemblance pour un modèle de loi uniforme). On l'estimateur du maximum de vraisemblance (Cf. Chapitre 7 Section 3). On ...

Probl`emes inverses — Estimation par maximum de vraisemblance

Corrigé de la feuille d'exercices — Exercices 9 10 et 11. Exercice 9. 1. La est l'estimateur du maximum de vraisemblance de θ. 2. Les v.a. Xi suivent la ...

Corrigé du TD no 1

Calculons `a présent l'estimateur du maximum de vraisemblance sur Θ =]0+∞[

TD no 9 : Méthode du maximum de vraisemblance

3 3 1 1 1 6 4 2 3 1 5 5 2 7 4. Donner une estimation ponctuelle pour λ. Exercice 2. Soient p ∈]01[ et X une var suivant la loi géométrique G(p)

Rappels : méthode de maximum de vraisemblance

déf : estimation du maximum de vraisemblance Calculer la log-vraisemblance et en déduire l'estimateur du maximum de vraisemblance ... Corrigé Exercice 1.

CTU Master Enseignement des Mathématiques Statistique

Ce polycopié contient le cours les sujets d'exercice et leurs corrigés ainsi que les On appelle estimateur du maximum de vraisemblance la.

Université de Paris Ouest Année Universitaire 2009/2010 Licence

3 déc. 2009 Exercice 1 (4 points). ... Exercice 2 (9.5 points). ... Corrigé L'estimateur du maximum de vraisemblance est donc la moyenne empirique d'un ...

Corrigé : Estimation Paramétrique

Corrigé : Estimation Paramétrique. Exercice 1. 1. Bernouilli B(p); ? = p ? [01]. obtient les mêmes estimateurs par maximum de vraisemblance.

Maximum de vraisemblanceFiche TD n°2

23 juin 2018 Exercice 2. ? Exercice 2. La hauteur maximale H de la crue annuelle ... Donner l'estimateur ˆa du maximum de vraisemblance du paramètre a.

Feuille dexercices n°15 : Estimation

Elle est choisie comme estimation du paramètre p. On définit alors L'estimateur Zn du maximum de vraisemblance par : Zn = h(V1

´ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS´EES EXERCICES

25 nov. 2005 Trouvez l'estimateur par maximum de vraisemblance ; est-il sans biais ? sinon comment le. ”corriger” pour le ”débiaiser” (en conservant le ...

Correction de lexamen de Statistique du Mardi 7 décembre 2010

7 déc. 2010 Exercice 1 : Estimation ... Estimateur du Maximum de Vraisemblance. 1) La vraisemblance de (x1 ...

Statistique L3 CPES Notes de cours

16 oct. 2021 3.2 Estimation par maximum de vraisemblance . ... Exercice 2 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N.

E(X1) =p? ????^pEMMn=X

n=1n P n ????? ??p???E(^pEMMn) =p?P(Xi=xi) =p? ??xi= 1? ??1p??xi= 0?

L=P(X1=x1;:::;Xn=xn) =pPxi(1p)nPxi?

logL= (Pxi)logp+ (nPxi)log(1p)? @@p logL=1p(1p)(Pxinp) = 0 =)^pEMVn=1n P n i=1Xi= ^pEMMn:= ^pn?

V(^pn) =V(X1)n

=p(1p)n logL) =V(1p(1p)(Pxi np)) =np(1p)? ??????V(^pn) =1I ??????? ?????? ??????n! 1? ??? ?? ???? ?? ?E(X1) =1 ? ????^EMMn=1X n=nP n i=1Xi? i=1Xi???? ?? ??? ?????G(n;)? ??? i=1exp(xi)? ???? ?? ??????? logL= 0? ?? ???????^EMVn=^EMMn=nP n i=1Xi? >0? ^EMMn=^EMVn=X ?? ???????N(m;2)?= (m;2)2RR+? (m=E(X);2=E[(XE(X))2])? ????(^mEMMn=X n;^2EMM n=1n P n i=1(XiX i=1fX1(xi)?????fX1(xi) = 1 p2exp((xim)222)?? ???? ?? ???????@@m logL= 0??@@(sigma2)logL= 0? ?? ^mn??? ?? ??? ??m? ????^2n=S2n??? ?????? ?E(S2n) =n1n

2? ?????

n i=1(XiX n)2 ??? ??? ????? ?? ??? ??2? ?? ?????(;)?= (;)2R+R+? ?? ???? ???? ?? ??? ????? ???E(X) = ??V(X) =

2? ???? ?

=(E(X))2V(X)??=E(X)V(X)? ????? ? ^EMMn=(X n)2S

2n??^EMMn=X

nS logL= 0?? i=1a iXi???? n X i=1a n X i=1a i=1a

2i)(nX

i=11n 2) nX i=1a in )2???????nX i=1a i= 1? ?? ?????? ???nX i=1a 2i1n ??ai=1n n=1n n X i=1X i: log(Ln(x1; :::; xn;)) =n2 log(22)122n X i=1(ximi)2 log(Ln(x1; :::; xn;)) =1 2n X i=1(ximi); log(Ln(x1; :::; xn;)) = 0,=1n n X i=1(ximi): 1n n X ^n=1n n X i=1(Ximi): 2@

2log(Ln(x1; :::; xn;)) =n

2; I n= E[@2@

2log(Ln(X1; :::; Xn;))] =n

2: ?????Var(^n) =2n =1I N(;2n 2n X i=11m log(Ln(x1; :::; xn;)) =n2 log(22)122n X i=1(ximi)2 2@

2log(Ln(x1; :::; xn;)) =1

2n X i=1m 2i; I n= E[@2@

2log(Ln(X1; :::; Xn;))] =1

2n X i=1m 2i: ???(^n) =2n 2n X i=11m 2i: 1n 2n X i=11m 2i1P n n? ???? ??????mi6=mj? log(Ln(x1; :::; xn;)) =1 2n X i=1m i(ximi): n=P n i=1miXiP n i=1m2i ~n??? ?? ???N(;2P n ^n: ??? ?^n'88:66:1;^n'1:0880:006??~n'1:0870:006? ??? ?? ?? ??????? ??? ?? ????U+V??? ?? ???G(a+b;)

U!G(a;)?V!G(b;)

U(t) =it

a ?? ?????U(t) =EeitU=R

ReitufU(u)du=R+1

0eitua(a)ua1eudu=R+1

0 a(a)ua1e(it)udu ????z=it u

U(t) =R+1

0 a(a) zit a1ezitdz=it aR+1 0 a(a)za1ezdz=it a U+V(t) =Eeit(U+V)=EeitUeitV=EeitUE(eitV)????U??V????

U+V(t) == U(t)V(t) =it

ait b=it a+b =)U+V!G(a+b;) ?? ??????? ??? ??? ?? ????cU??? ?? ???Ga;c ????Z=cU

Z(t) = cU(t) =EeitcU= U(ct) =ict

a= 11i(c )t a =)Z=cU!G(a;c ??X!N(0;1)??U!G(a;)? f

X(x) =1p2ex22

8x2R??fU(u) =a(a)ua1eu8x >0

?? ??????? ??? ?? ??????? ?? ?? ????X2??? ?? ???G12 ;12 ????Z=X2 F

Z(z) =P(Zz) =P(X2z) =P(pzXpz) = 2FX(pz)1

Z(z) =@@z

FZ(z) =22

pz fX(pz) =1pz

1p2ez2

8z >0 f

Z(z) =(12

)12 (12 )z12 1e12
u8z >0

Z=X2!G12

;12 ?? ?? ?? ????T=XpU ????fT;S(t;s)?? ??????? ?? ??????(T;S)T=XpU S=pU ()X=TS U=S2 x2R=)t=xpu 2R s=pu >0 f

T;S(t;s) =fX;U(ts;s2)jdetJj????t2R??s >0

??J= @x(t;s)@t @x(t;s)@s @u(t;s)@t @u(t;s)@s =s t 0 2s jdetJj= 2s2 f

X(ts)fU(s2)

T;S(t;s) =fX;U(ts;s2)jdetJj=1p2et2s22

a(a)(s2)a1es22s2=2ap2(a)s2ae(+t22 )s2 ????t2R??s >0 f f

T(t) =R

RfT;S(t;s)ds=R+1

02ap2(a)s2ae(+t22

)s2dsz=s2=R+1

02ap2(a)zae(+t22

)z12 pz dz= R +1 0 ap2(a)za12 e(+t22 )zdz ap2(a)R +1

0z(a+12

)1e(+t22 )zdz=ap2(a)(a+12 +t22 a+12 =ap2(a)(a+12 a+12 1+t22 a+12 (a+12 )p p2(a)1 1+t22 a+12 =)fT(t) =(a+12 )p p2(a)1 1+t22 a+12 8t2R: ?? ??????? ???? ?????? ? ?????? ?? ???? ?? ???? ?? ??????? ?? ?? ????X21+:::+X2n

X!N(0;1)?????X2!G12

;12 ????X2i!G(12 ;12 )??X21+:::+X2n!G(n2 ;12 Yr X

21+:::+X2nn

U!G(a;)?????cU!G(a;c

21+:::+X2n!G(n2

;12 ) =)1n (X21+:::+X2n)!G(n2 ;n2 ?? ??????? ??T=XpU ??X!N(0;1)??U!G(a;)???fT(t) = (a+12 )p p2(a)1 1+t22 a+12 8t2R Yr X

21+:::+X2nn

??Y!N(0;1)??X21+:::+X2nn !G(n2 ;n2 ??? ?? ??????? ??T=XpU ????a=n2 ??=n2 f Yr X

21+:::+X2nn

(t) =(n2 +12 )pn 2 p2(n2 )1 1+t2n n2 +12 =(n+12 )pn(n2 )(12 )1 1+t2n n+12 8t2R

0??????

X i!B(p)??p= 0:4? ??n??????? f n=P n i=1Xin ?? ???????n??? ???P(0:35fn0:45)0:9 fnE(fn)pV(fn)L!n!1N(0;1)

E(fn) =E

Pn i=1Xin 1n E(Pn i=1Xi) =1n P n i=1E(Xi) =1n nE(Xi) =p

V(fn) =V

Pn i=1Xin 1n 2V(Pn i=1Xi) =1n 2Pn i=1V(Xi) =1n 2n

V(Xi) =p(1p)n

f n=fnE(fn)pV(fn)=fnpqp(1p)n =fn0:4p0:24n

L!n!1N(0;1)

P(0:35fn0:45)0:9()P

0:350:4p0:24n

fn0:4p0:24n

0:450:4p0:24n

0:9 P

0:05p0:24n

fn0:05p0:24n

0:9()P

jfnj 0:05p0:24n 0:9

2FN(0;1)

0:05p0:24n

10:9()FN(0;1)

0:05p0:24n

0:95

0:05p0:24n

N(0;1)(0:95)()q0:24n

0:051:64()n258:2

f n=P n i=1Xin =72128 = 0:5625 ?? ????? ?? ?????? ???= 0:05 f n=fnpqp(1p)n

L!n!1N(0;1)

P f npqp(1p)n t12 = 1()P f nt12 qp(1p)n pfn+t12 qp(1p)n 1 P p2 f nt12 qp(1p)n ; fn+t12 qp(1p)n = 1 IC

1(p) =

f nt12 qp(1p)n ; fn+t12 qp(1p)n f n= 0:5625 n= 128 ^fn=qf n(1fn)n =q0:5625(10:5625)128 = 4:3848102 t 12 =t0:975

Pjfnj t12

= 1()2FN(0;1)t12

1 = 1()FN(0;1)t12

12 ()t12 =F1

N(0;1)12

0:975=F1

N(0;1)(0:975) = 1:96

95%(p) =

0:56251:96q0:5625(10:5625)128

;0:5625 + 1:96q0:5625(10:5625)128 [0:4766;0:6484]

64:84%?

2? ?S2=1n1P

n i=1XiX2 (n1)S2 2=Pn i=1 X iX 2

2!2(n1)

P 22
;n1(n1)S2 2212
;;n1 = 1 22
??? ????? ???P 222
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[PDF] Corrigé : Estimation Paramétrique

E(X1) =p? ????^pEMMn=X

L=P(X1=x1;:::;Xn=xn) =pPxi(1p)nPxi?

V(^pn) =V(X1)n

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2i)(nX

2log(Ln(x1; :::; xn;)) =n

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U!G(a;)?V!G(b;)

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Z(z) =P(Zz) =P(X2z) =P(pzXpz) = 2FX(pz)1

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FZ(z) =22

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Z=X2!G12

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X(ts)fU(s2)

T;S(t;s) =fX;U(ts;s2)jdetJj=1p2et2s22

T(t) =R

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P(0:35fn0:45)0:9()P

0:350:4p0:24n

0:450:4p0:24n

0:05p0:24n

0:9()P

2FN(0;1)

0:05p0:24n

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0:05p0:24n

0:05p0:24n

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L!n!1N(0;1)

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Pjfnj t12

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0:56251:96q0:5625(10:5625)128

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