[PDF] Maximum de vraisemblanceFiche TD n°2

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DRAFTMaximum de vraisemblance

Fiche TD n°2FSES

L3Exercice 1Exercice 1On considère la loi géométrique de paramètrep >0Déterminer l"estimateur du maximum de vraisem-

blance dep.Exercice 2Exercice 2 La hauteur maximaleHde la crue annuelle d"un fleuve est observée avec attention, car une crue

supérieure à 6 m serait catastrophique. On modélise la distribution de la variable aléatoireHpar une

loi de Rayleigh dont la densité de probabilité est donnée par : f(x) =8 >>><>>>:xa exp(x22a) six >0

0 sinon

oùaest paramètre inconnu. Durant une période de 8 ans, on a observé les hauteurs (supposées être

indépendantes) de crues suivantes en mètres : 2,1; 2,8;1,7;0,9;1,8;2,5;2,2;2,9. 1.

Donner l" estimateur

ˆadu maximum de vraisemblance du paramètrea. 2. Déterminer la f onctionde répartition de la v ariableH 3. C alculerla probabilité d" avoirune ca tastrophe 4. Déterminer la probabilité de ne pas a voirde cru ecen tennale.

Exercice 3

Le tableau suivant donne la distribution de taille des particules d"un ciment :t, taille enm3,15,08,916,025,639,1109,2

Pourcentage de particule de taille inférieur àt152050759099,7 1. Représen tergr aphiquementla distribution de ln( t). Quelle distribution peut-on reconnaître? 2. On suppose queXsuit une loi normale de paramètre(;2)(>0). Montrer queT=eXsuit une loi dont la densité est : t7!1p2texp((ln(t))222)1]0;+1[(t) 3.

C alculer

E(T) 4. Soit(T1;T2;;Tn)un échantillon deT. On suppose queest connu (= 0;7). Donner l"estimateur du maximum de vraisemblance de. 5.

En déduire une estimation de la valeur du paramètrepour la distribution des tailles des particules

du ciment de la première question.

Exercice 4

On considère la série statistique suivante :x]3,5]]5,7]]7,10]]10,20]]20,30]

Effectifs72116472364

1.

Représen terla série sta tistique.

2.

En supposant que la répartition est homogène dans chaque classe, donner une valeur approchée

de la moyenne empirique. 3.

On considère que les valeurs de la série,(xi)i2~1;N, sont des réalisations d"un échantillon de taille

N= 997d"une variable aléatoireX. On suppose queXsuit une loi de Pareto de paramètrea,>2. La loi de Pareto est une loi continue; une densité de cette loi est donnée par : f:t7!at(+1)1[a;+1[(t)23 juin 2018 V. Ledda

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L3(a)i. Mon trerque

E(X) =1a

ii.

En prenan ta= 3, donner une estimation de.

(b)aétant supposé connu. On souhaite estimerpar la méthode du maximum de vraisemblance.

On note!xle vecteur de coordonnées (xi)i2~1;N.

i. Écrire la l og-vraisemblancel(!x;) en fonction de N,aet. ii. Déterminer l" estimateurd umaxim umde vr aisemblancede . iii. On donne P997i=1ln(xi) = 1480;893 eta= 3, donner une estimation de.

Exercice 5

On considèrenvariables aléatoiresX1;;Xnindépendantes de même loi(k;)aveckconnu et inconnu. La loi(k;) est une loi continue de densité : f(x;k;) =xk1ex (k1)!k1]0;+1[(x) 1.

Écrire la vr aisemblancedes observ ations.

2. C alculerl" estimateurd umaxim umde vr aisemblancede . Si X suit une loi(k;), l"espérance de X estE(X) =k. 3. L "estimateurd umaxim umde vr aisemblancede est-il sans biais? 4.

C etestima teurest -ilcon vergent?(justifier)

Exercice 6

Calculer l"information de Fisher dans les modèles statistiques suivants : 1.

Loi de P oissonde par amètre.

2.

Loi normale N(m;2)Exercice 7Exercice 7Soit2Rinconnu. Considérons une variable aléatoire X dont la fonction de densité est donnée par :

f(x) =(exp((x)) six >

0 sinon

1. V érifierque fest bien une densité de probabilité. 2.

C alculerl" espéranceet la v ariancede X .

Donnons-nous maintenant unn-échantillon (X1;;Xn) de même loi que X. 3.

Donner deux estima teurs

ˆ1etˆ2deobtenus par la méthode des moments. 4.

Quelle est la fonction de vraisemblance associée aux observations? En déduire l"estimateurˆ3du

maximum de vraisemblance de. 5.

Donner la fonction de répartition deˆ3(indice : exprimer cette fonction de répartition en fonction

de celle de X1). En déduire la densité deˆ3et calculer son biais.23 juin 2018 V. Ledda

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L31 Éléments de correctionLes éléments de correction n"ont pas pour objectif de donner un corrigé type. Parfois la rédaction est volontaire-

ment lacunaire, c"est au lecteur de combler les manques pour parfaire sa compréhension des sujets abordés.

Correction 1

L(~x;p) =ni=1(1p)xip=pn(1p)Pxi

L(~x;p) =nln(p)+(X

x i)ln(1p)

€L(~x;p)€p

=np Pxi1p

€L(~x;p)€p

= 0,np =Pxi1p,p= (1+X)

1Énoncé de l"exercice n°1.Énoncé de l"exercice n°1.

Correction 2

1. Soitxun élément de(R+)netaun réél strictement positif.L(x;a) =1a n( nQ i=1xi)exp(n P i=1x2i2a). En posant l:a7!ln(L(x;a)), on al(a) =nP i=1xin P i=1x2i2anln(a).lest deux fois dérivable sur ]0;+1[ et l

0(a) =n

P i=1x2i2a2na l(ˆa) = 0,ˆa=n P i=1x2i2n.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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