[PDF] Fonction logarithme népérien cours de Terminale STG

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Fonction logarithme n´ep´erien, cours de

Terminale STG

F.Gaudon

22 mars 2008

Table des mati`eres1 Construction de la fonction logarithme n´ep´erien2

2 Propri´et´es alg´ebriques2

3 Propri´et´es analytiques3

3.1 ´Etude de la fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

3.2 Tableau de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

3.3 Tableau de signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

3.4 Repr´esentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

4 R´esolution d"´equations et d"in´equations avec le logarithme

n´ep´erien5

5 D´erivation de fonctions compos´ees avec la fonction logarithme

n´ep´erien6 1

1 Construction de la fonction logarithme n´ep´erien

Historiquement la fonction logarithme n´ep´erien a ´et´e introduite au XVI e si`ecle par Neper afin de simplifier les calculs astronomiques. En particulier la probl´ematique ´etait de rechercher une fonction transformant les multipli- cations en additions (source : document d"accompagnement des programmes de terminale STG). On cherche une fonction donc une fonctionfqui v´erifief(ax) =f(a) + f(x) pour tous les r´eels strictement positifsaetx.Propri´et´e : Soitfest une fonction d´erivable surRv´erifiant : pour tous r´eelsaetx strictement positifs,f(ax) =f(a) +f(x), alorsf?(x) =kx o`ukest un nombre r´eel.Preuve : On suppose dans un premier temps qu"une telle fonctionfexiste. Alors f(1) =f(1×1) =f(1) +f(1) doncf(1) = 2f(1) d"o`uf(1) = 0. D"autre part, soita >0, pour tous les r´eelsx >0, on af(ax) =f(a) +f(x) d"o`u en d´erivantaf?(ax) =f?(x) et pourx= 1 on obtientaf?(a) =f?(1) donc f ?(a) =f?(1)a . D"o`u pour tous les r´eelsx >0,f?(x) =f?(1)x . Choisissons f ?(1) =ko`ukest un r´eel quelconque puisqu"aucune contrainte ne semble fixerf?(1). On a doncf?(x) =1x pour tout r´eelx >0.Propri´et´e et d´efinition : Il existe une unique fonction not´ee ln d´efinie et d´erivable sur ]0;+∞[ dont l´e d´eriv´ee est ln ?(x) =1x etln(1) = 0. Cette fonction est appel´ee fonction logarithme n´ep´erien.2 Propri´et´es alg´ebriques

Propri´et´e :

Pour tous les r´eelsaetbstrictement positifs, ln(ab) = ln(a) + ln(b).2

Preuve :

Soita >0. On pose pour tout r´eelx >0,h(x) = ln(ax)-ln(a)-ln(x). Il s"agit de montrer quehest nullehest d´erivable sur ]0;+∞[ et pour tout x >0,h?(x) =a1ax -1x = 0.h?est donc la fonction nulle d"o`u ses primitives sont constantes.hest donc constante. Comme h(1) = ln(a)-ln(a)-ln(1) = 0,hest donc la fonction nulle aussi. D"o`u pour toutx >0 et touta >0 on a ln(ax) = ln(a) +ln(x).Propri´et´es : Pour tous les r´eelsaetbstrictement positifs,•ln( 1b ) =-ln(b);•ln( ab ) = ln(a)-ln(b);•pour tout entier relatifn, ln(an) =nlna;•ln( ⎷a) =12 ln(a);Preuve : •D"une part, ln(b×1b ) = ln(1) = 0.

D"autre part, ln(b×1b

) = ln(b) + ln(1b

Donc ln(b) + ln(1b

) = 0 d"o`u le r´esultat.•ln( ab ) = ln(a×1b ) = ln(a) + ln(1b

) = ln(a)-ln(b) d"apr`es ce qui pr´ec`ede.•D´ecoule directement du fait que ln(an) = ln(a) + ln(a) +...+ ln(a)????

nfois.•ln(a) = ln(⎷a×⎷a) = ln(⎷a) + ln(⎷a) = 2ln(⎷a). D"o`u le r´esultat.Exemples :

•ln(32) = ln(2

5) = 5ln(2);•ln(1/108) =-8ln(10).

3 Propri´et´es analytiques

3.1

´Etude de la fonctionPropri´et´e :

ln est strictement croissante sur ]0;+∞[.3

Preuve :

D´ecoule du fait que pour toutxr´eel strictement positif, ln?(x) =1x >0.Propri´et´e et d´efinition : Il existe un unique r´eel dont le logarithme n´ep´erien vaut 1, on appellee cet unique r´eel tel que ln(e) = 1.Preuve : D´ecoule de l"hypoth`ese (forte) que ln est d´erivable sur ]0;+∞[ et strictement croissante.

3.2 Tableau de variationx0 +∞ln

?(x)?+? ln(x)? ?

3.3 Tableau de signe

x0 1 +∞ln(x)?- 0 +3.4 Repr´esentation graphique On parle decroissance logarithmiquepour d´ecrire une telle ´evolution.4

0 1 2 3 4 5-10123

-1 -2 -3 -4

0 1 2 3 4 5-10123

-1 -2 -3 -44 R´esolution d"´equations et d"in´equations avec le logarithme n´ep´erienPropri´et´e : •ln(a) = ln(b) si et seulement sia=b.•ln(a)≥ln(b) si et seulement sia≥b.Preuve : D´ecoule de l"hypoth`ese (forte) que ln est d´erivable sur ]0;+∞[ et strictement croissante.Exemples : •ln(x-1) = 0 Premi`ere ´etape : d´etermination de l"ensemble de d´efinition. On ax-1>0 si et seulement six >1 donc l"ensemble de d´efinition est ]1;+∞[. Deuxi`eme ´etape : r´esolution de l"´equation. On a ln(x-1) = 0 qui s"´ecrit ln(x-1) = ln(1) ce qui ´equivaut `a x-1 = 1 doncx= 2. Comme 2 est dans l"ensemble de d´efinition, c"est donc l"unique solution de l"´equation.5 •ln(x-1) = 2 Premi`ere ´etape : on a affaire au mˆeme ensemble de d´efinition ]1;+∞[ que dans l"exemple pr´ec´edent. Deuxi`eme ´etape : ln(x-1) = 2 s"´ecrit ln(x-1) = ln(e2) ce qui ´equivaut `ax-1 =e2doncx= 1 +e2. Comme 1 +e2appartient `a l"ensemble de d´efinition, c"est l"unique solution.•ln(2x-1)<5 Premi`ere ´etape : d´etermination de l"ensemble de d´efinition.

On a 2x-1>0 qui donnex >12

donc l"ensemble de d´efinition est 12 Deuxi`eme ´etape : r´esolution de l"in´equation. ln(2x-1)<5 s"´ecrit aussi ln(2x-1)<5ln(e) c"est `a dire ln(2x-1)5 D´erivation de fonctions compos´ees avec la fonction logarithme n´ep´erienPropri´et´e : Soituune fonction d´efinie et strictement positive sur un intervalleI, alors la fonction d´efinie surIparx?-→ln(u(x)) est d´erivable et de d´eriv´ee (ln(u))?(x) =u?(x)u(x).Preuve : D´ecoule directement du th´eor`eme de d´erivation de fonction compos´ees.Exemple : Soitfla fonction d´efinie parf(x) = 2ln(3x+5) sur l"intervalle ]-53 On poseu(x) = 3x+5 et on au?(x) = 3 d"o`uf?(x) = 2u?(x)u(x)= 233x+5=62x+5.6quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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