[PDF] Probabilités cours pour la classe de Terminale STG

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Probabilit

´es, cours pour la classe de Terminale

STG

F.Gaudon

16 f

´evrier 2008

Table des mati

`eres1 Probabilit

´es (rappels)2

2

´Ev´enements3

3 Calculs de probabilit

´es4

4 Probabilit

´es conditionnelles5

4.1 Notion de probabilit

´e conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . .5

4.2 Arbre pond

´er´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

4.3 Ind

´ependance d"´ev´enements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1

1 Probabilit

´es (rappels)

D

´efinitions :•Une exp

´erience est diteal

´eatoirelorsqu"elle a plusieurs issues aussi ap- pel

´ees´

eventualit´espossibles dont on ne peut pas pr

´evoir laquelle sera

r

´ealis´ee.•L"ensemble de toutes les

´eventualit´es constituel"universde tous les pos- sibles.Exemple :

Le lancer d"un d

´e`a six faces constitue une exp´erience al´eatoire d"issuexi pouriallant de 1`a 6 et correspondants`a la sortie de la faceidu d´e. Il y a donc 6 issues ou

´eventualit´es possibles.D

´efinition :SoitE={x1;x2;...;xr}l"ensemble des issues d"une exp´erience al´eatoire, on d

´efinitune loi de probabilit

´esurEen associant`a chaque issuexiun

nombrepitel que :•pour tout entieritel que0?pi?1;•p

1+p2+...+pn= 1.

p iest appel´ee probabilit´e de l"issuexi.Propri

´et´e :Si on r

´ep`ete une exp´erience al´eatoire dont les issues sont{x1;x2;...;xn}un nombrende fois, alors•les fr ´equences d"apparition desxiv´erifientf1+f2+...+fr= 1et0? f i?1;•sindevient grand, les fr´equences se stabilisent autour de la probabilit´epi

(loi des grands nombres).Exemple :On jette un d´e 100 fois et on note la face apparue`a chaque lancer. Si le

1 appara

ˆıt 12 fois la fr´equence de sortie est12100 = 0,12. On af1+f2+...+f6= 1.

Si le nombre de lancers devient grand, les fr

´equences se stabilisent autour de

16 , probabilit´e d"apparition du 1.2

Exemple :

Une pi

`ece de monnaie est truqu´ee de sorte que la probabilit´e d"obtenir pile est le double de celle d"obtenir face. On appellep1la probabilit´e d"obtenir pile etp2 celle d"obtenir face. On a doncp1+p2= 1. Orp1= 2×p2donc2p2+p2= 1 d"o `u3p2= 1etp2=13 etp1= 1-13 =23 .D

´efinition :Lorsque lesrissues d"une exp´erience al´eatoire ont la mˆeme probabilit´epde

se r

´ealiser, on parle deloi

´equir´epartie. Alorsp=1r

.Exemple :

Pour le lancer d"un d

´e non truqu´e`a six faces, chaque face ayant la mˆeme probabilit ´e d"apparaˆıtre, la loi est´equir´epartie et chaque faceia une probabilit´e p id"apparaˆıtre´egale`api=16 2

´Ev´enements

D

´efinition :SoitEl"univers associ´e`a une exp´erience al´eatoire.•Toute partie de l"univers est appel

´e un´

ev´enementet le nombre d"

´el´ements

d"un

´ev´enementAest appel´e soncardinal.

•Tout ´ev´enement form´e d"une seule´eventualit´e est appel´e´ ev´enement el´ementaire. •∅est appel´e´ ev´enement impossible. •Eest l"´ev´enementcertain.

Exemple :lancer d"un d´e`a six faces :•"obtenir 1 ou 2»est un´ev´enement;•"obtenir 1»est un´ev´enement´el´ementaire;•"obtenir 7»est l"´ev´enement impossible.3

D

´efinition :SoitPune loi de probabilit´e d´efinie sur un ensembleE, alors la probabilit´e

d"un ´ev´enement est la somme des probabilit´es des issues qui le r´ealise.Propri ´et´e :•P(∅) = 0;•P(E) = 1;•pour tout

´ev´enementA,0?P(A)?1.Propri

´et´e (cas d"une loi´equir´epartie) :Dans le cas d"une loi ´equir´epartie, la probabilit´e d"un´ev´enementAest : P(A) =nombre d"issues favorables`a Anombre d"issues possibles dans E

3 Calculs de probabilit

´es

D ´efinition :SoientAetBdeux´ev´enements.•L" ´ev´enementA∩B(lire"AinterB»ou"AetB») est l"ensemble des issues qui r ´ealisent`a la foisAetB.•Lorsqu"aucune issue ne r ´ealiseAetB, c"est`a direA∩B=∅, on dit que

AetBsont incompatibles.•L"

´ev´enementA?B(lire"AunionB»ou"AouB») est l"ensemble des issues qui r ´ealisentAouB, c"est`a dire au moins l"un des deux´ev´enements.•L"

´ementaireoucontrairedeAest

l"ensemble des issues qui ne r

´ealisent pasA.Propri

´et´e :4

SoitPune loi de probabilit´e sur un ensembleE.•Pour tous les

´ev´enementsAetB, on a :

P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B)•En particulier, siAetBsont des´ev´enements incompatibles, alorsP(A?

B) =P(A) +P(B).•Pour tout les

´ev´enementsAetB,

P(¯A) = 1-P(A)Preuve :

•Ilsuffitded

´enombrerlesissues´el´ementairescomposantchacundes´ev´enements.•SiAetBsont incompatibles, on aA∩B=∅doncP(A∩B) = 0d"o`u la

formule.•On aE=A?¯AetA∩¯A=∅doncAet¯Asont incompatibles etP(E) = P(A?¯A) =P(A) +P(¯A). OrP(E) = 1donc1 =P(A) +P(¯A)d"o`u

P(¯A) = 1-P(A).4 Probabilit

´es conditionnelles

4.1 Notion de probabilit

´e conditionnelle

D

´efinition :Pour tout

´ev´enementAet tout´ev´enementBnon impossible, on appellepro- babilit

´e conditionnelle deAsachantBet not

´eePB(A)le nombre

P

B(A) =P(A∩B)P(BExemple :

Lors d"un sondage, 50% personnes des interrog

´ees d´eclarent pratiquer un

sport r ´eguli`erement et 75% des personnes interrog´ees d´eclarent aller au cin´ema r ´eguli`erement. De plus, 40% des personnes d´eclarent faire du sport et aller au5 cin ´ema r´eguli`erement. On interroge`a nouveau une de ces personnes au hasard et onconsid et"la personne interrog´ee va au cin´ema r´eguli`erement»que l"on notentSetC respectivement. On cherche `a calculer la probabilit´e que la personne pratique un sport r ´eguli`erement sachant qu"elle va r´eguli`erement au cin´ema. On aP(C) = 0,75etP(S∩C) = 0,4. DoncPC(S) =P(S∩C)P(C)=0,40,75≈0,53.Remarque : SoientAetBdeux´ev´enements non impossibles d"un univers donn´e. La connaissance de la probabilit ´e d"un´ev´enementBet de la probabilit´e condition- nelle d"un ´ev´enementsAsachantBpermet de retrouver la probabilit´eP(A∩B) de l"intersection deAetBavec la formuleP(A∩B) =PB(A)P(B).4.2 Arbre pond

´er´esD

´efinition :Le sch

´ema ci-dessus est appel´earbre pond

´er´eouarbre

`a probabilit´es. Il com- porte 4chemins:A∩B,A∩¯B,¯A∩Bet¯A∩¯B. Unnoeudest un point d"o `u partent plusieurs branches.Propri

´et´e :6

Dans unarbre pond

´er´eouarbre

`a probabilit´escomme ci-dessus, •La somme des probabilit ´es port´ees sur les branches issues d"un mˆeme noeud est ´egale`a 1 (par exemple,PB(A) +PB(¯A) = 1);•la probabilit ´e d"un chemin est le produit des probabilit´es port´ees par ses branches (par exemple,P(A∩B) =P(B)×PB(A));•la probabilit ´e d"un´ev´enement est la somme des probabilit´es des chemins qui le compose(par exemple,P(A) =P(A∩B) +P(A∩¯B)).Exemple :

La tableau suivant montre la r

´epartition d"une population dans une usine :CadresOuvriersTotal

Hommes100200300

Femmes50150200

Total150350500

On rencontre un employ

´e au hasard. On noteHl"´ev´enement"l"employ´e ren- contr ´e est un homme»etCl"´ev´enement"l"employ´e rencontr´e est un cadre».

On aP(H) =300500

= 0,6,PH(C) =100300 =13 etPH(¯C) =200300 =23 . On a bien P H(C)+PH(¯C) = 1. En outre,P(H∩C) =P(H)×PH(C) = 0,6×1/3= 0,2et

P(C) =P(C∩H) +P(C∩¯H).4.3 Ind

´ependance d"´ev´enements

D

´efinition :On dit que deux

´ev´enementsAetBsontind

´ependantslorsque

P(A∩B) =P(A)P(B)Remarque :

SiP(B)?= 0alors deux´ev´enementsAetBsont ind´ependants`a condition quePB(A) =P(A)(ouPA(B) =P(B)siP(A)?= 0), ce qui signifie que la probabilit que l"autre se r

´ealise.7

Exemple :

On tire au hasard une carte d"un jeu de 32 cartes. On appelleAl"´evenement "on tire un as»,Tl"´ev´enement"on tire un tr`efle»etCl"´ev´enement"on tire un carreau». On aP(A) =432 =18 ,P(T) =832 =18 etP(C) =832 =14 D"une partA∩Test l"´ev´enement"on tire l"as de tr`efle»etP(A)P(T) =18 14 =132 qui est bien´egal`aP(A∩T)ce qui montre queAetTsont ind´ependants. D"autre part,T∩Cest l"´ev´enement"on tire un tr`efle et un carreau»dont la probabilit

´e est 0 mais on aP(T)P(C) =14

14 =116 ?=P(T∩C)ce qui confirme que les ´ev´enementsTetCne sont´evidemment pas ind´ependants.8quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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