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CL01

Calculs de sommes et de produits

finisVersion du 21-09-2022 à 08:50

Contexte

Dans tout ce chapitre,n,petqdésigneront des entiers naturels et(uk)k∈Ndésigne une suite de nombres réels.

□1.Le symb oled esommation ΣDéfinition 1 - Le symboleΣSens du symbole Lasommeu0+u1+...+undesn+ 1premiers termes de la suite(uk)k∈Nest notéen X k=0u k. On lit cette écriture " somme dek= 0jusqu"àndeuk».Nombre de termes de la somme n X k=0u k=u

0+u1+u2+...+un|{z}

il y an+ 1termesLa " variable »kest appeléeindicede la somme ou que lasomme est indexée park.Extension de la notation

Lasommeup+up+1+...+uqdes termes de la suite(uk)k∈Ndont les indices sont compris entrepetqavec k=pu k=u p+up+1+...+uq|{z} il y aq-p+ 1termesIllustration 6 X k=0=u

0+u1+u2+u3+u4+u5+u6u

0+u1+u2+u3+u4=4

X k=0u k9 X k=3=u

3+u4+u5+u6+u7+u8+u9u

5+u6+u7+u8+u9+u10=10

X k=5u k□

CPGE-BL - Mathématiques

Version du 21-09-2022 à 08:501

Application|[2490]| 1| Utilisation du symboleXÉcrire les sommes à l"aide du symbole X: (1).S1= 1 +12 +13 +14 +15 +...+115 (2).S2= 32+ 42+...+ 872; (3).S3=23 +34
+45
+...+1415 (4).S4= 2×3 +×3×4 +...+ 15×16; (5).S5= 1 + 2 + 4 + 8 +...+ 1024; □Application|[2491]| 2| Expliciter une sommeÉcrire explicitement les sommes : A=5X k=012k+ 1etB=7X k=32k2k-1 puis les calculer. □CPGE-BL - Mathématiques

Version du 21-09-2022 à 08:502

Théorème 1 - Sommes des premiers entiers et des puissances Sommes desnpremiers entiers∀n∈N∗,nX k=1k=n(n+ 1)2

Illustration

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =8×(8 + 1)2

=8×92 =72 2=36

Cette formule est encore vraie si l"indice

de départ est0:nX k=0k=n(n+ 1)2Somme desn+ 1premières puissances∀q̸= 1,∀n∈N,nX k=0q k=1-qn+11-qIllustration 2

0+ 21+ 22+ 23+ 24=1-24+11-2=1-251-2=1-32-1=31

Éléments de preuve:

Application|[2494]| 3| Calculer une sommeCalculer les sommes suivantes en donnant le résultat sous forme fractionnaire :

(1).S1=192X k=1k; (2).S2=8X k=0(-3)k;(3).S3=10X k=012 k (4).S4=9X k=0 -110 k □CPGE-BL - Mathématiques

Version du 21-09-2022 à 08:503

2.Manipuler les s ommesfinies

Proposition 1 - Relation de Chasles

Pour tout entier natureln0∈Jp;qKavecp < q, on a :qX k=pu k= n 0X k=pu qX k=n0+1u k!Application au calcul des sommes tronquées

Pour tousp < q:qX

k=pu k=q X k=0u k-p-1X k=0u kIllustration 38
X k=12k=24X k=12k+ 38X
k=25k38 X k=12k=38X k=1k- 11X k=1k□

Application|[2496]| 4| Somme tronquéeCalculer les sommes suivantes en donnant le résultat sous forme fractionnaire :

(1).S1=192X k=125k; (2).S2=8X k=4(-3)k;(3).S3=10X k=312 k (4).S4=9X k=2 -110 k □CPGE-BL - Mathématiques

Version du 21-09-2022 à 08:504

Proposition 2 - Opérations sur les sommes de même indexation Pour(uk)k∈Net(vk)k∈Ndeux suites de réels :Pour tout réelλ: qX k=p(λuk) =λ× qX k=pu q X k=p(uk+vk) = qX k=pu qX k=pv Linéarité de la somme q X k=p(λuk+vk) =λ qX k=pu qX k=pv Illustration 12 X k=3(2k) =2 12X k=3k!21 X k=9 k+k2= 21X
k=9k! 21X
k=9k 2!21 X k=9

3k+ 4k2=3

21X
k=9k! + 4 21X
k=9k

2!□

Application|[2499]| 5| Opérations sur les sommesExprimer en fonction denles sommes : S 1=nX k=0(2k)etS2=nX k=1(2k-1) □CPGE-BL - Mathématiques

Version du 21-09-2022 à 08:505

3.Changement d"indice dans une somme

Introduction - Histoire de décalage

On a :

10X k=0ln(k+ 3) =Mais on a aussi : 13X i=3ln(i) =Ainsi : La relation entre les deux indices de ces sommes est. □Proposition 3 - Changement d"indice dans une somme

Lechangement d"indicek=ℓ-plaisse la sommenX

k=0u kinchangée :n X k=0u k=n+pX ℓ=pu ℓ-pIllustration 10 X i=0u i=10+3 X ℓ=0+3u ℓ-3=13 X ℓ=3u ℓ-313 X k=4u k=13-4X i=4-4u i+4=9 X i=0u i+412 X m=3u m+2=12+2 X n=3+2u n=14 X n=5u n□ Point méthode 1 - Effectuer un changement d"indice dans une somme

Ancien indice :k

Nouvel indice :ℓRelation entrek

etℓde la forme k=ℓ±poùp∈NCalcul des nou- velles bornes : quandk=... on aℓ=...Transformation du terme général de la somme : " on remplace kparℓ±p»□ Application|[2500]| 6| Changement d"indiceEffectuer un changement d"indice dans la somme n+1X k=3ln(k) de sorte que la somme soit indexée à partir de0. □CPGE-BL - Mathématiques

Version du 21-09-2022 à 08:506

Application|[2501]| 7| Changement d"indiceEffectuer un changement d"indice dans la somme nX k=0(k+ 2)2de sorte que le terme général de la somme deviennei2oùiest le nouvel indice de sommation. □4.Sommes téléscopiques

Proposition 4 - Téléscopage de termes

Le premier moins le dernier

k=p(uk-uk+1) =up-un+1Illustration | Justification 12 X k=3(uk-uk+1) = (u3-u4) + (u4-u5) +...+ (u12-u13) =u3-u13Le dernier moins le premier n X k=p(uk+1-uk) =un+1-upIllustration | Justification 12 X k=3(uk+1-uk) = (u4-u3) + (u5-u4) +...+ (u13-u12) =u13-u3On parle dans ce cas desommes téléscopiquesaIllustration 18 X k=3(ln(k)-ln(k+ 1)) = ln(3)-ln(18)18 X k=3(ln(k+ 1)-ln(k)) = ln(18-ln(3)□

a. notamment lorsque le terme général de la somme s"exprime comme la différence de deux termes successifs d"une même suite.Éléments de preuve:

C"est une conséquence de la linéarité de la somme et d"un changement d"indice.CPGE-BL - Mathématiques

Version du 21-09-2022 à 08:507

Point méthode 2 - Calculer une somme à l"aide d"un téléscopage

•on essaie de transformer le terme général de la somme de sorte à écrire la somme sous la forme...X

k=...(uk+1-uk) ou ...X k=...(uk-uk+1); •on détermine les deux termes qui restent à l"issue du télescopage. □Application|[2503]| 8| Somme tél/"escopiqueCalculer nX k=11k(k+ 1)oùn≥1, en remarquant que :∀k∈N∗,1k(k+ 1)= 1k

-1k+ 1□Application|[2504]| 9| Somme téléscopiqueÀ l"aide d"un téléscopage de termes, exprimer en fonction den≥2la sommenX

k=2ln 1-1k □CPGE-BL - Mathématiques

Version du 21-09-2022 à 08:508

5.Pro duitsfinis

Définition 2 - Le symbole

YSens du symbole

Leproduitu0×u1×...×undesn+ 1premiers termes de la suite(uk)k∈Nest notéen Y k=0u k. On lit cette écriture" produit dek= 0jusqu"àndeuk».Nombre de facteurs du produit n Y k=0u k=u

0×u1×u2×...×un|{z}

il y an+ 1facteursLa " variable »kest appeléeindicedu produit ou que leproduit est indexé park.Extension de la notation

Leproduitup×up+1×...×uqdes termes de la suite(uk)k∈Ndont les indices sont compris entrepetqavec

k=pu k=u p×up+1×...×uq|{z} il y aq-p+ 1facteursIllustration 6 Y k=0=u

0×u1×u2×u3×u4×u5×u6u

0×u1×u2×u3×u4=4

Y k=0u k9 Y k=3=u

3×u4×u5×u6×u7×u8×u9u

5×u6×u7×u8×u9×u10=10

Y k=5u k□ Application|[2507]| 10| Manipuler le symboleYÉcrire à l"aide du symbole

Y, le produit12

×14

×16

×...×120

□CPGE-BL - Mathématiques

Version du 21-09-2022 à 08:509

Proposition 5 - Relation de Chasles

Pour tout entier natureln0∈Jp;qKavecp < qq

Y k=pu k= n 0Y k=pu qY k=n0+1u k!Produits tronqués | Pour toutp < qq Y k=pu k=q Y k=0u kp-1Y k=0u kSous réserve que la suite ne s"annule pas....Illustration 22
Y k=8u k= 13Y k=8u k! 22Y
k=14u k!16 Y k=8u k=16 Y k=0u k7 Y k=0u k□ Proposition 6 - Opérations sur les produits de même indexation Pour(uk)k∈Net(vk)k∈Ndeux suites de réels etλ∈R:q Y k=p(uk×vk) = qY k=pu qY k=pv 24 Y k=8 k2(k+ 1)= 24Y
k=8k 2! 24Y
k=8(k+ 1)!q Y k=p(λuk) =λ q-p+1× qY k=pu 21 Y k=7(2k) =2

21-7+1×

21Y
k=7k!□ Proposition 7 - Changement d"indice dans un produit Lechangement d"indicek=ℓ-plaisse le produitnY k=0u kinchangé :nY k=0u k=n+pY ℓ=pu ℓ-p □CPGE-BL - Mathématiques

Version du 21-09-2022 à 08:5010

Proposition 8 - Téléscopage de facteurs

Le premier sur le dernier

k=p uku k+1 =u pu n+1Le dernier sur le premier k=p uk+1u k =u n+1u pIllustration | Justification 31
Y k=12u ku k+1=u 12u

13×u13u

14×...×u30u

31×u31u

32=u
12u

32On parle dans ce cas deproduits téléscopiques.

□Sous entendu que tous ces quotients aient du sens... Application|[2510]| 11| Opérations sur les produitsDonner une autre écriture du produitP=14Y k=42 k-2à l"aide du symboleY. □Proposition 9 - Passer d"un produit à une somme et vice-versa Les opérations sur la fonction exponentielle donnent :

Somme vers produit

exp nX k=0u k! =nY k=0e ukProduit vers somme ln nY k=0u k! =nX k=0ln(uk)Sous réserve que :∀k∈N, uk>0□

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Version du 21-09-2022 à 08:5011

6.F actorielled"u nentier et co efficientsbinomiaux

Définition 3 - Factorielle d"un entier naturel

On appellefactorielle denle nombre entier que l"on noten!, que l"on lit " factoriellen» défini par :Définition formelle

n! = 1sin= 0quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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